§15.1  向量自回归模型（VAR(p)）

   传统的经济计量立方程模型建摸方法, 是以经济理论为基础来描述经济变量之间的结构关系，采用的是结构方法来建立模型，所建立的就是联立方程结构式模型。这种模型其优点是具有明显的经济理论含义。但是，从计量经济学建摸理论而言，也存在许多弊端而受到质疑。

一是在模型建立之处，首先需要明确哪些是内生变量，哪些是外生变量，尽管可以根据研究问题和目的来确定，但有时也并不容易；

二是所设定的模型，每一结构方程都含有内生多个内生变量，当将某一内生变量作为被解释变量出现在方程左边时，右边将会含有多个其余内生变量，由于它们与扰动项相关， 从而使模型参数估计变得十分复杂，在未估计前，就需要讨论识别性；

三是结构式模型不能很好地反映出变量间的动态联系。

为了解决这一问题，经过一些现代计量经济学家门的研究，就给出了一种非结构性建立经济变量之间关系模型的方法，这就是所谓向量自回归模型（Vector Autoregression Model）。VAR模型最早是1980年，由C.A.Sims引入到计量经济学中，它实质上是多元AR模型在经济计量学中的应用，

VAR模型不是以经济理论为基础描述经济变量之间的结构关系来建立模型的，它是以数据统计性质为基础，把某一经济系统中的每一变量作为所有变量的滞后变量的函数来构造模型的。它是一种处理具有相关关系的多变量的分析和预测、随机扰动对系统的动态冲击的最方便的方法。而且在一定条件下，多元MA模型、ARMA模型，也可化为VAR模型来处理，这为研究具有相关关系的多变量的分析和预测带来很大方便。

    15.1.1  VAR模型的一般形式

   1、非性VAR模型（高斯VAR模型）,或简化式非性VAR模型

设为一维随机时间序列，为滞后阶数，为一维随机扰动的时间序列，且有结构关系

                                                               （15．1．1）

     若引入矩阵符号，记

可写成                 ，     （15．1．2）

     进一步，若引入滞后算子，则又可表示成

                 （15. 1. 3）

其中: ,为滞后算子多项式.

     如果模型满足的条件:

        参数阵

特征方程 的根全在单位园外；

，，即 相互，同服从以为期望向量、为方差协方差阵的维正态分布。这时，是维白噪声向量序列，由于没有结构性经济含义，也被称为冲击向量；，即与及各滞后期不相关。则称上述模型为非性VAR模型（高斯VAR模型）,或简化式非性VAR模型。

    2、受性VAR模型，或简化式受性VAR模型

    如果将做为一维内生的随机时间序列，受维外生的时间序列

影响（），则VAR模型为

                  ，     （15．1．4）

或利用滞后算子表示成

          （15. 1. 5）

    其中：                          

此时称该模型为受性VAR模型，简化式受性VAR模型。

对于受性VAR模型，可通过对作OLS回归，得到残差估计

，从而将变换成（15.1.2）或（15.1.3）形式的非性VAR模型，即

 ，       （15．1．6）

                             （15. 1. 7）

这说明受性VAR模型可化为非性VAR模型。

    简化式非、受VAR模型，皆简记为。

     3、结构式非性VAR模型

    如果中的每一分量受其它分量当期影响, 无维外生的时间序列影响（）,则模型化为

                ，          （15．1．8）

或利用滞后算子表示成

                （15. 1. 9）

其中： ,这时的

此时称该模型为结构式非性VAR模型。

  如果可逆，既逆阵存在，则结构式非性VAR模型可化为简化式非性VAR模型

，       （15．1．10）

或利用滞后算子表示成

                     （15. 1. 11）

    这时，其中的

  4、结构式受性VAR模型

    如果将做为一维内生的随机时间序列，其中每一分量受其它分量当期影响,且还受维外生的时间序列影响（），则VAR模型为

                  ，     （15．1．12）

或利用滞后算子表示成

            （15. 1. 13）

此时称该模型为结构式受性VAR模型。

如果可逆，既逆阵存在，则结构式受性VAR模型可化为简化式受性VAR模型

，  （15．1．14）

或利用滞后算子表示成

           （15. 1. 15）

这时，其中的

结构式非、受VAR模型，皆简记为。

     15.1.2  简化式VAR模型的参数估计

   VAR模型参数估计, 简化式VAR模型比较简单可采用Yule-Walker估计、OLS估计、极大似然估计法等进行估计,且可获得具有良好统计性质的估计量。结构式VAR模型参数估计比较复杂，可有两种途径：一种是化成简化式，直接估计简化式模型参数，然后再通过简化式模型参数与结构式模型参数的关系，求得结构式模型参数估计，但这存在一个问题是否可行，什么情况下可行，这与结构式模型的识别性有关。另一种途径是直接对结构式模型参数进行估计，但这也存在一个问题，上述方法不可应用，原因是每一方程含有众多内生的与扰动项相关变量，那么，如何估计？这也与结构式模型的识别性有关。

对于简化式VAR模型（15.1.1）—（15.1.3），在冲击向量满足假设，，即 相互，同服从以为期望向量、为方差协方差阵的维正态分布。这时，是维白噪声向量序列的条件下，模型参数阵及也可采用Yule-Walker估计、OLS估计、极大似然估计。

设,为长度为的样本向量

    Yule-Walker估计

   在充分大时, 首先估计自协方差阵

                                                              (15.1.16)

令      ,

则可得模型参数阵的Yule-Walker估计(矩估计)为

                           （15.1.17）

估计

模型参数阵的OLS估计，即求使

下的作为估计。

    记                                                  (15.1.18)

由此可推得

                                 （15.1.19）

由此可见, 模型参数阵的OLS估计(15.1.15)与Yule-Walker估计(15.1.13)形式相同, 

但式中的的计算不同. 但是, 当充分大时,(15.1.16)与(15.1.18)相差很小, 这时(15.1.17)与(15.1.19)相差也很小,这时二者的估计及估计量的性质等价。因此，在充分大时, 可直接采用Yule-Walker估计比较简单方便。

   而的估计为                                      （15.1.20）

其中：

   极大似然估计

可证明, 模型参数阵的极大似然估计与OLS估计完全等价。

除此之外，还有递推估计法（参见：马树才，《经济时序分析》，辽宁大学出版社，1997.1.pp199）,

这里不在赘述。

15.1.3  简化式VAR模型的预测

   在已知时，对的一步线性预测

                     （15.1.21）

   其一步预测误差为     

一步预测误差的方差阵为的估计为

                           （15.1.22）

在已知时，如果利用模型参数的估计量，对进行一步线性预测，则

的实际一步线性预测为                     （15.1.23）

其一步预测误差为     

一步预测误差的方差阵为的估计为

                                          （15.1.24）

15.1.4VAR模型阶数p的确定

VAR模型的定阶是一个矛盾过程，阶数p的确定，既不能太大，又不能太小，必须兼顾。因为，一方

面，希望滞后阶数p要大一些，以便使模型能更好地反映出动态特征，但另一方面，又不希望太大，否则，阶数p太大，会造成需要估计的模型参数过多，而使模型自由度减少。因此，在定阶时需要综合考虑，以既要有足够大的滞后项，又能有足够大的自由度为原则确定阶数。

VAR模型的定阶方法有多种：

1、FPE准则(最小最终预测误差准则)

FPE准则(最小最终预测误差准则)，即利用一步预测误差方差进行定阶。因为，如果模型阶数合适，则模型对实际数据拟合优度必然会高，其一步预测误差方差也必然会小；反之，则相反。

设给定时间序列向量长度为的样本向量为,，则其一步预测误差方差阵的估计量为（15.1.24）式,它是一个阶阵,因此可定义其最终预测误差为

              （15.1.25）

显然, 是的函数。

所谓最小最终预测误差准则，就是分别取=1，2,…，M, 来计算, 使值所对应的, 为模型合适阶数。相应的模型参数估计为最佳模型参数估计。其中，M为预先选定的阶数上界,一般取之间。

 在实际计算过程中，可如下判断：如果的值，随着从1开始逐渐增大就一直上升，则可判定=1；如果如果的值，随着从1开始逐渐增大就一直下降，则可判定该随机时间序列不能用AR（p）模型来描述；如果的值，在某一值下降很快，而后又缓慢下降，则可判定该值为所确定的阶数；；如果的值，随着从1开始逐渐增大而上下剧烈跳动，难以找到最小值，这可能由于样本数据长度T太小造成的，应增大样本长度，重新进行定阶、估计模型参数，建立模型。

利用FPE信息准则还可以用来检验模型的建立是否可由部分分量，比如前个分量，来进行。

记（15.1.21）式中的阶矩阵的左上角阶子方阵为, 则前个分量，的最终预测误差为

            （15.1.26）

当时，（15.1.26）为(15.1.25)式。

    如果，，则可认为仅用前个分量，建立模型即可，没有必要采用维随机时间序列建立模型，因为从最小最终预测误差准则角度，用维随机时间序列建立模型比仅采前个分量，建立模型，带来拟合优度的显著改善；反之，则相反。

2、AIC(Akaike Information Criterion)与SC（Bayes Information Criterion）信息准则

AIC、SC信息准则，也称最小信息准则，定义

                    ，            （15.1.27）

其中：为模型需要估计参数个数，对（15.1.1）,；对于(15.1.4),；对于（15.1.8), ；对于（15.1.12），。

所谓最小信息准则，就是分别取=1，2,…, 来计算AIC或者SC, 使AIC或SC值所对应的, 为模型合适阶数。相应的模型参数估计为最佳模型参数估计。

3、似然比检验法（Likelihood Ratio,LR检验）：

     由于，，即 相互，同服从以为期望向量、为方差协方差阵的维正态分布。因此，

记，则在给的条件下，的条件，即                    

于是，在给的条件下，的联合分布密度，即似然函数为

对数似然函数为   

将参数估计代入，则有

，   又 

因此，有                                 （15.1.28）

   现在，欲检验假设 样本数据是由滞后阶数为的VAR模型生成；样本数据是由滞后阶数为的VAR模型生成

   取似然比统计量为

  分布     （15.1.29）

在给定的显著性水平下，当，则拒绝，表明增加滞后阶数，可显著增大似然函数值；否则，则相反。

检验在小样本下，可取似然比统计量为

分布                  （15.1.30）

其中,.

15.1.5VAR模型的Granger因果关系检验

     VAR模型的另一重要应用是可用来检验一个变量与另一变量间是否存在Granger因果关系，这也是建立VAR模型所需要的。

1、Granger因果关系的涵义

     设为一维随机时间序列，如果在给定的滞后值下的条件分布与仅在给定的的滞后值下的条件分布相同，即

则称对存在Granger非因果性关系，否则，对存在Granger因果性关系。

     Granger因果性关系涵义的另一表述：在其条件不变下，如果加上的滞后值，并不对只由的滞后值下对进行预测有显著改善，则称对存在Granger非因果性关系，否则，对存在Granger因果性关系。

2、Granger因果关系检验

设为一维随机时间序列，为滞后阶数，为一维随机扰动的时间序列，则有2元VAR模型为

                                                                  （15．1．31）

显然，欲检验对是否存在Granger非因果性关系，等价地，

检验假设；中至少有一个不为0。

其用于检验的统计量为

                               （15．1．32）

其中，为模型（15.1.31）中第1方程残差平方和, 为模型（15.1.31）中第1方程去掉各期滞后项后拟合残差平方和。

     在给定的显著性水平下，当时，拒绝。

如果模型（15．1．31）满足，，即 相互，同服从以为

期望向量、为方差协方差阵的维正态分布条件，则

     也可采用如下统计量进行检验

                （15．1．33）

在给定的显著性水平下，当时，拒绝，

上述Granger因果性关系检验，可推广到对任意维VAR模型以及SVAR模型中的某一或某几个随机时

间序列（包括内生、外生变量）是否对另一时间序列具有Granger因果性的检验上去。

§15.2  VAR（p）模型的脉冲响应函数与方差分解

在实际应用中，由于通常所设定的VAR模型都是非经济理论性的简化式模型，出它无需对变量作任何先验性约束，因此，在分析应用中，往往并不利用VAR模型去分析某一变量的变化对另一变量的影响如何，而是分析当某一扰动项发生变化，或者说模型受到某种冲击时，对系统的动态影响，这钟分析方法称为脉冲响应函数方法（Impulse Response Function,IRF）。

15．2．1脉冲响应函数基本思想

对VAR模型采用脉冲响应函数分析扰动项发生变化，或者说模型受到某种冲击时，对系统的动态影响，就是分析扰动项发生变化是如何传播到各变量的。

设为一维随机时间序列，滞后阶数=2，为一维随机扰动的时间序列，则有2元VAR模型为

                                                                  （15．2．1）

扰动项满足白噪声假设条件，即

；

；

     现在假设上述VAR模型系统从时期开始运行，并设，在时给定扰动项 并且其后，即在时给定一脉冲，我们来讨论的响应。

     由于 由（15．2．1），在时，于是有，；

     将上述结果再代入（15．2．1），在时，于是有，；

     再将上述结果代入（15．2．1），在2时，于是有，

如此下去，可求得结果，称此结果为由的冲脉冲引起的的响应函数；

所求得的，称为由的冲脉冲引起的的响应函数。

    反过来，也可求得在时，给定扰动项并且其后，即在

给定一脉冲时，由的冲脉冲引起的、的响应函数。

15．2．2VAR模型的脉冲响应函数

假设有VAR(p)模型    ，     （15．2．2）

引入滞后算子，表示成

                 （15.2. 3）

其中: ,为滞后算子多项式.

     在满足特征方程 的根全在单位园外条件下，则

VAR(p)是可逆的，即可将表示成白噪声滑动和形式

                                     （15.2. 4）

其中：阶单位阵）

    （15.2. 4）中第方程为

                         （15. 2. 5）

 当时, (15.2.4)为

                                                                  （15．2．6）

现在假定在基期给一个单位脉冲, 即

  而 

则可求得由的脉冲引起的响应函数为：

     由此可看出，对于（15.2. 4）式的一般情形，由的脉冲引起的响应函数为：

由的脉冲引起的累积响应函数为： 

     由（15. 2. 4）式, 其中的 中的第行、第列元素可表示为

                                  （15. 2. 7）

作为的函数，它描述了在时期，其他变量和早期变量不变的情况下，对的一个冲击的反应，称

为脉冲——响应函数。

    用矩阵可表示为                 =                            （15. 2. 8）

即 中的第行、第列元素等于时期的第变量扰动项增加一个单位，其它时期扰动项为常数时，对

时期的第个变量值的影响。

15．2．3   方差分解

VAR模型的脉冲响应函数是用来描述VAR模型中一个内生变量的冲击给其它内生变量所带来的影响的，

它是随时间的推移，观察模型中各变量对于冲击是如何反应的。而方差分解是要通过分析每一结构冲击对内生变量变化（通常用方差来度量）的贡献度，进一步评价不同结构冲击的重要性的，与脉冲响应函数相比，方差分解是一种比较粗糙的把握变量间关系的方法，它给出的是对VAR模型中的变量产生影响的每个扰动项的相对重要信息。

方差分解的基本思想是：

由（15. 2. 5）式

            （15. 2. 9）

可知，左边括号内为是第扰动项从过去无限远至现在时点对第内生变量影响的总和。

在，无序列相关的假设下，对其求方差，可得

     （15. 2. 10）

它是把第扰动项从过去无限远至现在时点对第内生变量影响总和，用方差加以评价的结果。

如果为对角阵，则的方差为

                        （15. 2. 11）

由此可知，的方差可分解成个不相关的（）的影响。

 由此，可测定出各个扰动项对方差的相对方差贡献率为

             （15. 2. 12）

 在实际应用计算中，不可能从过去无限远的来评价。在模型满足平稳性条件下，由于随着的增大是按几何级数衰减的，故只要取前有限项计算即可。其近似相对方差贡献率为

           ，          （15. 2. 13）

      有如下性质：

                                                             （15. 2. 14）

                                           （15. 2. 15）

如果大，则意味着第变量（第扰动项）对第变量影响大，反之，则相反。

§15.3  SVAR(p)模型

15．3．1  SVAR模型的识别与约束条件

如果中的每一分量受其它分量当期影响, 无维外生的时间序列影响（）,则由（15．1．8）式，结构式非性SVAR（p）模型为

                ，          （15．3．1）

或利用滞后算子表示成

                （15. 3. 2）

其中： ,  这时的

此时称该模型为结构式非性SVAR模型。

    结构式非性SVAR模型，即使在扰动项满足白噪声条件下也不能采用普通最小二乘法估计模型参数来建立模型，因为每一方程含有同期相关的变量。

  如果可逆，既逆阵存在，则结构式非性SVAR模型可化为简化式非性VAR模型

，       （15．3．3）

或利用滞后算子表示成

                     （15. 3. 4）

这时，其中的

若记                    （15．3．5）

则（15. 3. 4）可写成

，           （15．3．6）

简化式非性模型VAR所含需要估计参数个数为     

                        （15．3．7）

其中，为扰动项的方差协方差阵所含未知待估计参数个数。在扰动项满足白噪声条件下，（15．3．6）式可采用普通最小二乘法估计上述模型参数，来建立其简化式非性VAR模型。

我们知道，结构式非性SVAR模型（15．3．1），即使在扰动项满足白噪声条件下也不能采用普通最小二乘法估计模型参数来建立模型，因为每一方程含有同期相关的变量。既然其简化式非性VAR模型（15．3．6）模型参数可以通过普通最小二乘法估计，那么，可否根据上述简化式非性VAR模型的模型参数与结构式非性SVAR模型的模型参数之间的关系式（15．3．5），通过已估计的简化式非性VAR模型参数，得到相应的结构式非性SVAR模型参数建立模型？这就涉及到结构式非性SVAR模型（15．3．1）的识别性（关于识别性及其方法，可见14章联立方程内容），或者说取决于对结构式非性SVAR模型所施加的约束条件。

因为，由结构式非性SVAR模型（15．3．1）可知，其需要估计的模型参数个数共

                             （15．3．8）

，所以，如果不对结构式非性SVAR模型（15．3．1）施加条件，其模型参数不可估计。那么，对结构式非性SVAR模型（15．3．1）需要施加多少或约束条件？需要施加的约束条件数恰好为

[]—[]               （15．3．9）

即只要施加个约束条件，则结构式非性SVAR模型（15．3．1）的模型参数就可估计。所施加的约束条件既可以是短期（同期）的，也可以是长期的。

1、短期约束

结构式非性SVAR模型（15．3．1）式

                    ， 

其中：                        

在可逆，既逆阵存在时，可化成简化式非性VAR模型（15．3．6）

， 

进一步，在满足特征方程 的根全在单位园外条件下，则VAR(p)可逆，从而又可将表示成白噪声滑动和形式

                ，    其中，      （15.3.10）

根据Cholesky分解基本思想，短期约束可直接施加在矩阵上，只要使成为主对角线上元素为1的下三角形矩阵，即

则结构式非性SVAR模型（15．3．1）式就可变成一递归形式的结构式非性SVAR模型，从而为恰好识别，可直接采用OLS从第1方程开始估计该结构式模型的模型参数，建立模型。

在实际中，对结构式非性SVAR模型（15．3．1）式施加短期约束，也可以不呈下三角形，只要施加约束条件数，即可。

例如，如果我们要建立一个以（GDP）、（税收）、（支出）为变量的的结构式非性SVAR模型，则只需施加个约束条件：，当期（GDP）影响当期（税收），不影响当期（G支出）；，当期（税收）影响当期（G支出）；，

根据以往研究已得知，税收关于产出弹性为1.71, 则所建结构式非性SVAR模型即可识别,从而可估计。

2、长期约束

所谓长期约束, 通常是指施加在（15．3．10）式上的约束, 也可是单独施加在某一上的约束而言。比较简单的是一般都施加在上，与短期约束类似，也可将长期约束直接施加在上来进行。

15．3．2  SVAR模型的三种类型

SVAR模型根据模型特点主要有三种类型：K型、C型和AB型。其中最常用的是AB型，K型和C型可视为是AB型的特殊形式。

1、：K型SVAR模型

设为一维随机时间序列，为滞后阶数，为一维随机扰动的时间序列，且其VAR模型结构关系为

即                 ，              （15．3．11）

或写成滞后算子形式

                     （15. 3. 12）

其中: ,为滞后算子多项式.

设为一个阶可逆阵，左乘（15. 3. 12），则

                      （15. 3. 13）

如果，则称满足上述条件的（15.3.13）为K型SVAR模型。

由于

在已知下，这意味着对已施加了个非线性约束条件，中还余下个自由参数，因此，只需给出个短期约束条件即可。

3、C型SVAR模型

对于VAR模型（15．3．11）

                 ，     

或写成滞后算子形式

                （15. 3. 14）

设为一个阶可逆阵，如果，且，则称满足上述条件的（15. 3. 14）模型为C型SVAR模型。

由于，在已知下，这意味着对已施加了个非线性约束条件，中还余下个自由参数。

3、AB型SVAR模型

设为阶可逆阵，左乘（15. 3. 12），则

                      （15. 3. 15）

且满足条件：，则称（15. 3. 15）为AB型SVAR模型。

显然，当为单位阵时，AB型SVAR模型就化为C型SVAR模型；当为单位阵时，AB型SVAR模型就化为K型SVAR模型。

由                   

可知                                      

在已知下，它是对施加了个非线性约束条件，余下了个自由参数。

15．3．3SVAR模型的脉冲响应函数

设有VAR(p)模型（参见15．2．2） 

   ， 

写成滞后算子形式为

其中: ,为滞后算子多项式.

     在满足特征方程 的根全在单位园外条件下，则

VAR(p)是可逆的，即可将表示成白噪声滑动和形式

其中：阶单位阵）

由于、（称为非正交化），故需要进行正交化变换。

因是正定对称阵，故可以将其分解成

其中，是一下三角阵，是唯一的一个主对角线上元素大于零的对角阵。

利用对作变换，             ，即 

则                    （为正交）

这时有，             

    于是与（15. 2. 7）、（15. 2. 8）同理，可导出一个正交的脉冲响应函数为

           （15. 3. 16）

由的脉冲引起的累积响应函数为：  （15. 3. 17）

其中，是的第行、第列元素（。

用矩阵可表示为                 =                               （15. 3. 18）

即 中的第行、第列元素等于时期的第变量扰动项增加一个单位，其它时期扰动项为常数时，对

时期的第个变量值的影响。

对于SVAR模型（15．3．1）式

                    ， 

由于在可逆，既逆阵存在时，可化成简化式非性VAR模型

， 

进一步，在满足特征方程 的根全在单位园外条件下，则VAR(p)可逆，从而又可将表示成白噪声滑动和形式

因此，其脉冲响应函数用矩阵也可表示为  

                     =                               （15. 3. 19）

     如果SCAR模型为AB型，则其脉冲响应函数为

                                                   （15. 3. 20）

累积脉冲响应函数为                          （15. 3. 21）

§15.4  Johansen协整检验与向量误差修正模型(VEC)

    前面我们已经介绍了单方程的协整检验与误差修正模型。且其协整检验方法是以回归模型为基础的基于回归残差序列的ADF检验法进行检验的。现在我们把它推广到VAR模型上去，并给出以VAR模型为基础基于回归系数的协整检验方法。

   在单方程协整检验中，由于是基于回归残差序列进行，故在第一阶段需要采用OLS进行回归分析，应用很不方便。为此，Johansen（1988）及Juselius(1990)提出了一个以VAR模型为基础的基于回归系数的特别适合于多变量的协整检验法。

15．4．1  Johansen协整检验

   1、协整定义：设为一维随机时间序列，，如果

      且每一，

     存在非零向量=，使

则称为协整，记为，为协整向量。

若为协整，则最多存在个线性无关的协整向量。即若记由的所有协整向量组成的矩阵为，

则秩，。

例如，=2，，，若有使，按照上述，最多存在个线性无关的协整向量，则协整向量唯一。

因为若有

这与已知矛盾，故，即唯一。

2、Johansen协整检验基本思想

设为一维随机时间序列，，且 即每一，，受维外生的时间序列影响（），则首先可建立VAR模型

               ，          （15．4．1）

将上式进行差分变换，也称为协整变换，可写成

                                             （15．4．2）

其中，                                           （15．4．3）

在（15．4．2）中，由于 所以、，因此，只要 则，亦即之间具有协整关系，而之间是否具有协整关系取决于阶矩阵的秩。因为，与模型全部参数阵有关，故称为压缩矩阵（影响矩阵）。

设，则有3种情况：

如果，这意味着是一列满秩阵，则只有当时，才能保证 但这与已知相矛盾，故

如果，则 由（15．4．2），这时用不着讨论之间是否具有有协整关系。

除上述两种极端情形外，一般情况是：

如果，这意味着中一定存在个协整关系（协整组合），其余个关系仍然为关系。在这种情况下，可将分解成两个阶阵的乘积

且、。

     将其代入到（15．4．2）式中，有

                                             （15．4．4）

上式要求，向量，其每一行都是变量，即的每一列都是一协整向量， 所以决定了之间协整向量的个数和形式，故称称为协整向量阵，为协整向量个数。

的每一行是出现在上述每一方程中的个协整组合的一组权数，故称为调整参数阵，或修正参数阵。显然，在假定条件下，最大可能，这就是对于维向量最大可能存在个线性无关的协整向量的道理。

根据上述分析，可知欲检验是否具有协整关系，就转化为对矩阵的秩数的检验，由于=的非零特征根的个数，因此，就可以通过检验的非零特征根的个数，来检验，从而来判定是否具有协整关系。这就是Johansen协整检验的基本思想。

3、 Johansen协整检验

现在假设的个特征根为。

Johansen协整检验有两种方法：

   1、特征根迹检验（trace检验）

由于个最大特征根可得到个协整向量，而对于其余个非协整组合而言，应该有，因此，检验是否等于，等价地

检验假设

可用于检验的特征根迹统计量为

                                   （15．4．5）

具体显著性检验程序如下：

当某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即不显著时，接受，表明有个特征根，0个协整向量，即不存在协整关系。

当某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即显著时，拒绝，表明至少有1协整向量。这时必须接着检验。

当某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即不显著时，接受，表明只有1个协整向量。

依次进行下去，直到接受，说明存在个协整向量时为止。这时，这个协整向量就是最大的个特征根所对应的经过正规化的特征向量。

显然整个检验过程应该是序贯进行的，整个序贯检验过程如下：

当某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即不显著时，接受，表明只有0个协整向量（即不存在协整关系）。

当某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即显著时，拒绝，表明至少有1协整向量。这时必须接着检验。

当某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即不显著时，接受，表明只有1个协整向量。

当某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即显著时，拒绝，表明只少2个协整向量。

当某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即不显著时，接受，表明只有个协整向量。

2、最大特征根检验

由于个最大特征根可得到个协整向量，而对于其余个非协整组合而言，应该有，因此，最大特征根检验用于检验假设

用于检验的最大特征根检验的统计量为

                                 （15．4．6）

具体显著性检验程序如下：

当临界值，不显著时，接受，表明最大特征根为0，无协整向量；

当临界值，显著时，拒绝，接受，表明至少有1个最大特征根不为0，至少有1个协整向量。须接着检验。

当临界值，不显著时，接受，表明最大特征根不为0，其余特征根皆为0，只有1个协整向量；检验截止。

当临界值，显著时，拒绝，接受，表明至少有两个最大特征根不为0，至少有2个协整向量。须接着检验。

依次进行下去，直到接受，共有个协整向量时为止。

4、协整方程形式

15．4．2  向量误差修正模型(VEC)

由（15.4.1）式可知，设为一维随机时间序列，，且 即每一，，如果不受维外生的时间序列影响（），VAR模型变为

                       ，          （15．4．7）

将上式进行协整变换，可写成

                                                     （15．4．8）

其中，                                              （15．4．9）

    如果存在协整关系，则（15.4.8）的这时可写成

                          (15．4．10）

其中, 即为误差修正项, 反映的是变量之间的长期均衡关系。即，上式可写成

                          (15．4．11）

(15.4.11)即为向量误差修正模型（VEC）,其中每一方程都是一个误差修正模型（ECM）。

VEC模型中的参数向量，反映的是变量之间的均衡关系偏离长期均衡状态时，将其调整到均衡状态的调整速度，故称其为调整参数阵，或修正参数阵。所有作为解释变量的差分项的系数向量，反映的是各变量的短期波动对作为被解释变量的短期变化的影响。在实际应用中，对于影响不显著的那些短期波动的项可以从模型中剔除。

上述只是讨论了简单的VEC模型，我们也可以象VAR模型那样构造结构式VEC模型，也可以对VEC模型讨论Granger因果关系检验、脉冲响应函数和方差分解等等。关于这些更详细的内容，可参见Davidson和Mackinnon(1993)以及汉蜜而顿（1999）的著作。

Davidson,Russell and James G.Mackinnon.Estimation and Inference in Econometrics.Oxford:Oxford University Press,1993,715-730.

詹姆。汉密尔顿：时间序列分析（刘明志译），中国社会科学出版社，1999，第19章。下载本文