一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
2．（5分）函数y=5x+1的反函数是（ ）
| A． | y=log5（x+1） | B． | y=logx5+1 | C． | y=log5（x﹣1） | D． | y=log（x﹣1）5 |
3．（5分）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合{2，7，8}是（ ）
| A． | A∪B | B． | A∩B | C． | （∁IA）∪（∁IB） | D． | （∁IA）∩（∁IB） |
4．（5分）函数是（ ）
| A． | 周期为的奇函数 | B． | 周期为的偶函数 | |
| C． | 周期为的奇函数 | D． | 周期为的偶函数 |
5．（5分）已知c＜0，则下列不等式中成立的一个是（ ）
| A． | c＞2c | B． | C． | D． |
6．（5分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，，87，92，86，90，92，88，90，91，86，，92，95，88它们的和是（ ）
| A． | 17 | B． | 1799 | C． | 1879 | D． | 19 |
7．（5分）已知某正方体对角线长为a，那么，这个正方体的全面积是（ ）
| A． | B． | 2a2 | C． | D． |
8．（5分）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（ ）
| A． | D=E | B． | D=F | C． | E=F | D． | D=E=F |
9．（5分）（2004•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | |
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
10．（5分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
二、解答题（共12小题，满分0分）
11．（5分）求方程的解．
12．（5分）已知的值．
13．（5分）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积．
14．（5分）求
15．（5分）求展开式中的常数项．
16．（5分）求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．
17．（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．
18．（12分）求满足方程的辐角主值最小的复数Z．
19．（12分）已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP：PA=1：2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．
20．（12分）甲、乙、丙、丁四个公司承包工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式．
21．（12分）已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b．求证：
（1）当b≠时，tg3A=．
（2）（1+2cos2A）2=a2+b2．
22．（12分）已知数列{an}，其中，且当n≥3时，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求．
1986年全国统一高考数学试卷（文科）
参与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 复数的基本概念． |
| 分析： | 复数的三角形式是r（cosθ+isinθ），观察所给的四种形式，只有一种形式符合要求，注意式子中各个位置的符号，可得结果． |
| 解答： | 解：∵Z=r（cosθ+isinθ）， ∴Z=2（cos+isin）， 故选B |
| 点评： | 复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误． |
2．（5分）函数y=5x+1的反函数是（ ）
| A． | y=log5（x+1） | B． | y=logx5+1 | C． | y=log5（x﹣1） | D． | y=log（x﹣1）5 |
| 考点： | 反函数． |
| 分析： | 本题考查指数式和对数式的互化、反函数的求法、函数值域的求法等相关知识；根据已知，利用反函数的定义结合指对互化即可得到x，再由原函数确定值域即可． |
| 解答： | 解：由y=5x+1及指数式与对数式的互化得x=log5（y﹣1） 又函数y=5x+1的值域为y＞1 ∴函数y=5x+1的反函数是y=log5（x﹣1）（x＞1） 故选C |
| 点评： | 本题小巧，所用知识单一，较为容易，尽管题目简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力． 注意反函数结果是否把定义域写入的问题，本题选项没有注明定义域，这是因为反函数解析式确定的x的范围和原函数的值域相同，所以省略，我们在求反函数时，一般是给出定义域的． |
3．（5分）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合{2，7，8}是（ ）
| A． | A∪B | B． | A∩B | C． | （∁IA）∪（∁IB） | D． | （∁IA）∩（∁IB） |
| 考点： | 交集及其运算． |
| 分析： | 可以看出2，7，8既不在A中，也不再B中，故需求补集． |
| 解答： | 解：∁IA={1，2，6，7，8} ∁IB={2，4，5，7，8} （∁IA）∩（∁IB）={2，7，8} 故选D． |
| 点评： | 本题考查集合的交集和补集运算，较简单． |
4．（5分）函数是（ ）
| A． | 周期为的奇函数 | B． | 周期为的偶函数 | |
| C． | 周期为的奇函数 | D． | 周期为的偶函数 |
| 考点： | 二倍角的正弦． |
| 分析： | 逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题． |
| 解答： | 解：∵y=sin2xcos2x=sin4x ∴T=2π÷4=， ∵原函数为奇函数， 故选A |
| 点评： | 利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式．化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数．把函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式再解决三角函数性质有关问题． |
5．（5分）已知c＜0，则下列不等式中成立的一个是（ ）
| A． | c＞2c | B． | C． | D． |
| 考点： | 有理数指数幂的化简求值． |
| 分析： | 注意指数函数的单调性跟底的范围有关． |
| 解答： | 解： 故 |
| 点评： | 本题是对指数函数性质的考查，属简单题． |
6．（5分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，，87，92，86，90，92，88，90，91，86，，92，95，88它们的和是（ ）
| A． | 17 | B． | 1799 | C． | 1879 | D． | 19 |
| 考点： | 收集数据的方法． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 本题要求求20个数字的和，数字个数较多，解题时要细心，不要漏掉数字或重复使用数字． |
| 解答： | 解：由题意知本题是一个求和问题， 87+91+94+88+93+91++87+92+86+90+92+88+90+91+86++92+95+88=1799， 故选B． |
| 点评： | 本题是一个最基本的问题，考查的是数字的加法运算，这样的题目若出上，则是一个送分的题目． |
7．（5分）已知某正方体对角线长为a，那么，这个正方体的全面积是（ ）
| A． | B． | 2a2 | C． | D． |
| 考点： | 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 先求正方体的棱长，然后求全面积． |
| 解答： | 解：设正方体的棱长为x，则有：a2=3x2，所以正方体的表面积是6x2=2a2． 故选B． |
| 点评： | 本题考查正方体的对角线和边长的关系，是基础题，学生必须会做题目． |
8．（5分）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（ ）
| A． | D=E | B． | D=F | C． | E=F | D． | D=E=F |
| 考点： | 圆的一般方程． |
| 分析： | 圆关于直线y=x对称，只需圆心坐标满足方程y=x即可． |
| 解答： | 解：曲线关于直线y=x对称，就是圆心坐标在直线y=x上，圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）中，D=E． 故选A． |
| 点评： | 本题考查圆的一般方程，对称问题，是基础题． |
9．（5分）（2004•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | |
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
| 考点： | 必要条件、充分条件与充要条件的判断． |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 由题设条件知p⇒r⇒s⇒q．但由于r推不出p，所以q推不出p． |
| 解答： | 解：依题意有p⇒r， r⇒s， s⇒q， ∴p⇒r⇒s⇒q． 但由于r推不出p， ∴q推不出p． 故选A． |
| 点评： | 本题考查充分条件，必要条件，充要条件的判断，解题时要认真审题，注意公式的合理运用． |
10．（5分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 函数的图象与图象变化． |
| 专题： | 压轴题；数形结合． |
| 分析： | 要分析满足条件的y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象情况，我们可以使用排除法，由二次项系数a与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系，可排除A，C；由二次函数常数项c为0，函数图象过原点，可排除B． |
| 解答： | 解：在A中，由二次函数开口向上，故a＞0 故此时一次函数应为单调递增，故A不正确； 在B中，由y=ax2+bx，则二次函数图象必过原点 故B也不正确； 在C中，由二次函数开口向下，故a＜0 故此时一次函数应为单调递减，故C不正确； 故选D． |
| 点评： | 根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握． |
二、解答题（共12小题，满分0分）
11．（5分）求方程的解．
| 考点： | 指数函数综合题． |
| 分析： | 将方程两侧化成以5为底数的指数式，由同底数的指数式相等必有指数相等即可解． |
| 解答： | 解：∵=== ∴ ∴ |
| 点评： | 本题主要考查解指数方程的问题．注意方程两侧可都化成同底数后再求解． |
12．（5分）已知的值．
| 考点： | 复数代数形式的混合运算． |
| 分析： | ω的值是1的一个立方虚根，ω2+ω+1=0是它的性质． |
| 解答： | 解：由==0 |
| 点评： | 本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题． |
13．（5分）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积．
| 考点： | 棱柱、棱锥、棱台的体积． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 画出图形，旋转后的几何体是一个圆台，去掉一个倒放的圆锥，求出圆台的体积，减去圆锥的体积即可． |
| 解答： | 解：在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3），这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体是：底面半径为3，高为2，上底面半径为1的圆台，去掉一个底面半径为1，高为1的圆锥， 所以几何体的体积是：=． 故答案为： |
| 点评： | 本题是基础题，考查旋转体的体积，旋转体的图形特征，棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型． |
14．（5分）求
| 考点： | 极限及其运算． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 分子分母同时除以n2，把转化为，由此可得的值． |
| 解答： | 答：==． |
| 点评： | 本题考查型函数的极限问题，解题时要注意公式的正确选取． |
15．（5分）求展开式中的常数项．
| 考点： | 二项式定理． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0求出常数项． |
| 解答： | 解：展开式的通项Tr+1=（﹣1）r25﹣rC5rx15﹣5r 令15﹣5r=0得r=3 所以展开式的常数项为﹣22C53=﹣40 |
| 点评： | 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． |
16．（5分）求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．
| 考点： | 双曲线的标准方程． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 根据椭圆方程求得焦点坐标，进而得到双曲线的焦点，设双曲线方程，根据离心率和焦点求得a和b，方程可得． |
| 解答： | 解：椭圆的焦点为（±，0） 设双曲线方程为=1 则a2+b2=5 =， 联立解得a=2，b=1 故双曲线方程为 |
| 点评： | 本题主要考查了求双曲线标准方程的问题．常用待定系数法，设出双曲线的标准方程，根据题设条件求出a和b． |
17．（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．
| 考点： | 平面与平面垂直的判定． |
| 专题： | 证明题；综合题． |
| 分析： | 要证明平面PAC垂直于平面PBC，直线证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可． |
| 解答： | 证明：连接AC ∵AB是圆O的直径 ∴∠ACB=90°即BC⊥AC 又∵PA⊥圆O所在平面，且BC在这个平面内 ∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线 ∴BC⊥平面PAC∴△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直． |
| 点评： | 本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题． |
18．（12分）求满足方程的辐角主值最小的复数Z．
| 考点： | 复数的代数表示法及其几何意义． |
| 分析： | 首先明确z对应点的轨迹，再进一步求解． |
| 解答： | 解：满足方程的复数在复平面上所对应的点的全体组成了如图所示的一个圆， 其圆心A对应的复数为，半径为，因而圆与x轴相切于点Q，点Q对应的复数是﹣3 从点O作圆的另一条切线OP，P为切点， 则点P所对应的复数为所求的复数 ∵， 设点B对应的复数为1， ∴∠BOA=150°，|OA|=，∠QOA=180°﹣∠BOA=30° ∵OP、OQ是同一点引出的圆的两条切线，A是圆心， ∴∠AOP=∠QOA=30°，∠QOP=2∠QOA=60°， ∠BOP=180°﹣∠QOP=120°， |OP|=|OA|cos∠AOP=． ∴所求的复数Z=． |
| 点评： | 本题是复数的几何意义和简单解析结合的综合的考查． |
19．（12分）已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP：PA=1：2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．
| 考点： | 直线与圆锥曲线的关系． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 设出点P（x，y）和点B（X，Y），由定比分点公式得到这两个坐标的关系．即用x，y来表示X，Y．再根据B点在抛物线上，满足抛物线方程，即可得x，y的关系，亦即轨迹方程，进而进一步判断曲线类型． |
| 解答： | 解：设点B的坐标（X，Y），点P的坐标为（x，y），则 ∴ ∵点B在抛物线上，∴Y2=X+1， 将（1），（2）代入此方程，得 化简得3y2﹣2y﹣2x+1=0， ， 因此轨迹为抛物线 |
| 点评： | 在求解轨迹方程的问题时，一般都是“求什么设什么”的方法，再利用题中的条件列出等式即可得到轨迹方程，这也是高考中学生不易把握的一个知识点． |
20．（12分）甲、乙、丙、丁四个公司承包工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式．
| 考点： | 排列、组合的实际应用． |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 根据题意，依次分析甲、乙、丙、丁的选法种数，甲公司承包工程中的3项有C83种，乙公司承包甲剩下的5项中的1项有C51种，丙公司承包剩余4项中的2项有C42种，丁公司承包剩余的2项有C22种，由乘法原理，计算可得答案． |
| 解答： | 解：甲公司承包工程中的3项有C83种，乙公司承包甲剩下的5项中的1项有C51种， 丙公司承包剩余4项中的2项有C42种，丁公司承包剩余的2项有C22种， 由乘法原理，可得共C83•C51•C42•C22=1680（种） 答：共有1680种承包方式． |
| 点评： | 本题考查组合的应用，难度不大，解题时须注意元素数目的变化． |
21．（12分）已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b．求证：
（1）当b≠时，tg3A=．
（2）（1+2cos2A）2=a2+b2．
| 考点： | 三角函数恒等式的证明． |
| 专题： | 证明题；压轴题． |
| 分析： | （1）通过和差化积公式分别对sinA+sin3A+sin5A和cosA+cos3A+cos5A进行化简，最后两式相除即可证明． （2）通过和差化积公式分别对sinA+sin3A+sin5A和cosA+cos3A+cos5A进行化简，两式分别平方后相加化简后即可证明结论． |
| 解答： | 证明：（1）sinA+sin3A+sin5A=sinA+sin5A+sin3A =2sincos+sin3A =2sin3A•cos2A+sin3A=sin3A（1+2cos2A）， ∴sin3A（1+2cos2A）=a ① 同理有cos3A（1+2cos2A）=b ② 两式相除，即得tan3A= （2）∵根据（1）sin3A（1+2cos2A）=a，① cos3A（1+2cos2A）=b，② ∴①2+②2 sin23A（1+2cos2A）2+cos23A（1+2cos2A）2=a2+b2， ∴（1+2cos2A）2（sin23A+cos23A）=a2+b2， ∴（1+2cos2A）2=a2+b2． |
| 点评： | 本题主要考查了三角函数恒等式的证明．证明此类题常涉及两角和公式、倍角公式、同角三角函数的关系等．公式多、难度大故应在这方面多下功夫． |
22．（12分）已知数列{an}，其中，且当n≥3时，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求．
| 考点： | 数列的应用；极限及其运算． |
| 专题： | 计算题；压轴题． |
| 分析： | （1）设an﹣an﹣1=xn﹣1，则由已知条件得，由此及彼入手能够推导出． ． |
| 解答： | 解：（1）设an﹣an﹣1=xn﹣1，则由已知条件得， 所以数列{an}组成了一个公比为的等比数列， 其首项， ． ∴an﹣a1=（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1） =， ∴． ． |
| 点评： | 本题考查数列的性质和应用及极限知识，解题时要认真审题，合理选取公式． |
