题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题
选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1． 函数y＝lg(1－lgχ)的定义域是 ( )
A．[1，10)
B．(1，10]
C．(0，10)
D．(0，10]
正确答案：C
解析：y＝lg(1－lgχ)，则1－lgχ＞0，解得0＜χ＜10，所以函数定义域为(0，10)，本题选
C．
2． 如果f′(χ0)存在， ( )
A．0
B．f(χ0)f′(χ0)
C．2f(χ0)f′(χ0)
D．不存在
正确答案：C
解析： ＝2f(χ0)f′(χ0)，故应选
C．
3． 经过点(1，0)且切线斜率为3χ2的曲线方程是 ( )
A．y＝χ3
B．y＝χ3＋1
C．y＝χ3－1
D．y＝χ3＋C
正确答案：C
解析：∫3χ2dχ＝χ2＋C，又经过(1，0)点即1＋C＝0，C＝－1，故曲线方程为y＝χ3－1，本题选
C．
4． 设函数f(χy，χ＋y)＝χ2＋y2＋χy，则分别为 ( )
A．－1，2y
B．2y，－1
C．2χ＋2y，2y＋χ
D．2y，2χ
正确答案：A
解析：f(χy，χ＋y)＝χ2＋y2＋χy＝－χy＋(χ＋y)2，即f(χ，y)＝－χ＋y2， 故应选A．
5． 下列无穷级数中，条件收敛的是 ( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：un＞un+1＞0，且＝0．则交错级数收敛，故应选A．
填空题
6． 已知曲线y＝aχ2与y＝lnχ相切，则a＝_______．
正确答案：
解析：曲线y1＝aχ2与y2＝lnχ相切，故存在χ0，使 y1(χ0)＝y2(χ0)且y′1(χ0)＝y′2(χ0)， 即解得χ0＝，代回方程组得a＝
7． 广义积分是_______的．
正确答案：收敛
解析：＝2． 所以此广义积分是收敛的．
8． 比较积分I1＝ln(χ＋y)dσ与I2＝[ln(χ＋y)]3dσ的大小，其中D：2≤χ≤4，1≤y≤2，则_______．
正确答案：I1＜I2
解析：积分区域相同，被积函数连续，可以通过比较被积函数来判断．当2≤χ≤4，1≤y≤2时，3≤χ＋y≤6，in(χ＋y)＞1，于是便有ln(χ＋y)＜ln3(χ＋y)于是即有I1＝ln(χ＋y)dσ＜I2＝[ln(χ＋y)]3dσ，即I1＜I2．
9． 微分方程y?＋4y＝0的通解为_______．
正确答案：y＝C1cos2χ＋C2sin2χ
解析：对应的特征方程为r2＋4＝0，即r＝±2i，故通解为y＝C1cos2χ＋C2sin2χ，其中C1，C2为任意常数．
10． 曲线则＝_______．
正确答案：0
解析：
解答题解答时应写出推理、演算步骤。
11． 设f(χ)＝，在(－∞，＋∞)内连续，求a和b．
正确答案：由f(χ)在(－∞，＋∞)内连续，知
12． 求极限
正确答案：原式＝
13． 已知函数χ＝χ(y)由参数方程确定，求
正确答案：由求导公式，得， 于是
14． 求不定积分
正确答案：
15． 设f(χ)＝，求∫01χf(χ)dχ．
正确答案：因为f(χ)＝，于是
16． 求(2χ＋y)dσ，其中区域D由直线y＝χ，y＝2χ，y＝2围成．
正确答案：由题意可知，积分区域D为0≤y≤2，≤χ≤y，则
17． 求微分方程ydχ＋(χ2－4χ)dy＝0的通解．
正确答案：分离变量得 两边积分得 (ln｜χ－4｜－ln｜χ｜)＋ln｜y｜＝ln｜C1｜． 故原方程的通解 (χ－4)y4＝Cχ(C为任意常数)， 其中特解y＝0包含在通解之中．
18． 判断级数的敛散性．
正确答案：＝ln(n＋1)－lnn， Sn＝ln2－ln1＋ln3－ln2＋…＋lnn－ln(n－1)＋ln(n＋1)－lnn ＝ln(n＋1)－ln1＝ln(n＋1)， (n＋1)＝∞，故级数发散．
综合题
19． 设可导函数φ(χ)满足φ(χ)cosχ＋2∫0χφ(t)sintdt＝χ＋1，求φ(χ)．
正确答案：在方程φ(χ)cosχ＋2∫0χφ(t)sintdt＝χ＋1两端关于χ求导，得 φ′(χ)cosχ－φ(χ)sinχ＋2φ(χ)sinχ＝1， 即φ′＋tanχ.φ＝secχ，且在原方程中取χ＝0．可得φ(0)＝1． 由一阶线性方程的通解公式，得 φ＝ ＝cosχ(∫sec2χdχ＋C)＝cosχ(tanχ＋C) ＝sinχ＋Ccosχ． 代入初值条件χ＝0，φ＝1，可得C＝1，故 φ(χ)＝sinχ＋cosχ．
20． 设f(χ)在[－a，a]上连续(a＞0，为常数)，证明∫-aaf(χ)dχ＝∫0a[f(χ)＋f(－χ)]dχ，并计算
正确答案：因f(χ)＝[f(χ)＋f(－χ)]＋[f(χ)－f(－χ)]， 而[f(χ)－f(－χ)]是奇函数，[f(χ)＋f(－χ)]是偶函数， 故∫-aa[f(χ)－f(－χ)]dχ＝0， 所以∫-aaf(χ)dχ＝2∫0a[f(χ)＋f(－χ)dχ＝∫0a[f(χ)＋f(－χ)]dχ； 下载本文
