1．已知数列：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ）

A． ．

C． ．

答案：BCD

【分析】

根据题意写出，，从而判断A，B的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C，D的正误．

【详解】

对A，，故A不正确；

对B，故B正确；

对C，由，

解析：BCD

【分析】

根据题意写出，，，从而判断A，B的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C，D的正误．

【详解】

对A，，，故A不正确；

对B，，故B正确；

对C，由，，，…，，可得，故C正确；

对D，该数列总有，，则，

，…，，

，，

故，故D正确．

故选：BCD

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是对CD的判断，即要善于利用对所给式子进行变形.

2．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为an (n∈N*)，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)．再将扇形面积设为bn (n∈N*)，则（    ）

A．4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021 ．a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1

C．a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝2a2019·a2021 ．a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝0

答案：ABD

【分析】

对于A，由题意得bn ＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B，利用累加法求解即可；对于C，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3

解析：ABD

【分析】

对于A，由题意得bn ＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B，利用累加法求解即可；对于C，数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)，即an－1＝an－2－an，两边同乘an－1 ，可得an－12＝an－1 an－2－an－1 an，然后累加求解；对于D，由题意an－1＝an－an－2，则a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2，化简可得结果

【详解】

由题意得bn ＝an2，则4(b2020－b2019)＝4(a20202－a20192)＝π(a2020＋a2019)(a2020－a2019)＝πa2018·a2021，则选项A正确；

又数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)，所以an－2＝an－an－1(n≥3)，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(a2021－a2020)＝a2021－a2＝a2021－1，则选项B正确；

数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3)，即an－1＝an－2－an，两边同乘an－1 ，可得an－12＝an－1 an－2－an－1 an，则a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝a12＋(a2a1－a2a3)＋(a3a2－a3a4)＋…＋(a2020a2019－a2020a2021)＝a12－a2020a2021＝1－a2020a2021，则选项C错误；

由题意an－1＝an－an－2，则a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝a2019·(a2021－a2019)＋a2020·(a2018－a2020)＝a2019·a2020＋a2020·(－a2019)＝0，则选项D正确；

故选：ABD.

【点睛】

此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题

3．若数列满足，，则数列中的项的值可能为（    ）

A． ． ． ．

答案：ABC

【分析】

利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.

【详解】

数列满足，依次取代入计算得，

，，因此继续下去会循环

解析：ABC

【分析】

利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.

【详解】

数列满足，，依次取代入计算得，

，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：.

故选：ABC.

【点睛】

本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.

4．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（    ）

A． ．

C．的最大值为 ．的最大值为

答案：AD

【分析】

分类讨论大于1的情况，得出符合题意的一项.

【详解】

①, 与题设矛盾.

②符合题意.

③与题设矛盾.

④ 与题设矛盾. 

得，则的最大值为.

B，C，错误.

故选：AD.

【点睛】

解析：AD

【分析】

分类讨论大于1的情况，得出符合题意的一项.

【详解】

①, 与题设矛盾.

②符合题意.

③与题设矛盾.

④ 与题设矛盾. 

得，则的最大值为.

B，C，错误.

故选：AD.

【点睛】

考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：.

5．已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（    ）

A．数列的前n项和为 ．数列的通项公式为

C．数列为递增数列 ．数列为递增数列

答案：AD

【分析】

先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.

【详解】

因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；

解析：AD

【分析】

先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.

【详解】

因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；

所以，即A正确；

当时

所以，即B，C不正确；

故选：AD

【点睛】

本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.

6．无穷等差数列的前n项和为Sn，若a1＞0，d＜0，则下列结论正确的是（    ）

A．数列单调递减 ．数列有最大值

C．数列单调递减 ．数列有最大值

答案：ABD

【分析】

由可判断AB，再由a1＞0，d＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD.

【详解】

根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A正确；

由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B正

解析：ABD

【分析】

由可判断AB，再由a1＞0，d＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD.

【详解】

根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A正确；

由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B正确；

由a1＞0，d＜0，可知等差数列数列先正后负，所以数列先增再减，有最大值，C不正确，D正确.

故选：ABD.

7．已知等差数列的公差不为，其前项和为，且、、成等差数列，则下列四个选项中正确的有（    ）

A． ． ．最小 ．

答案：BD

【分析】

设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误.

【详解】

设等差数列的公差为，则，

因为、、成等差数列，则，即，

解得，

解析：BD

【分析】

设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误.

【详解】

设等差数列的公差为，则，，

因为、、成等差数列，则，即，

解得，，.

对于A选项，，，A选项错误；

对于B选项，，，B选项正确；

对于C选项，.

若，则或最小；若，则或最大.C选项错误；

对于D选项，，D选项正确.

故选：BD.

【点睛】

在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前项和的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.

8．等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（    ）

A． ．当或10时，取最大值

C． ．

答案：AD

【分析】

由求出，即，由此表示出、、、，可判断C、D两选项；当时，有最小值，故B错误.

【详解】

解：，故正确A.

由，当时，有最小值，故B错误.

，所以，故C错误.

，

，故D正确.

解析：AD

【分析】

由求出，即，由此表示出、、、，可判断C、D两选项；当时，，有最小值，故B错误.

【详解】

解：，，故正确A.

由，当时，，有最小值，故B错误.

，所以，故C错误.

，

，故D正确.

故选：AD

【点睛】

考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.

9．已知数列是递增的等差数列，，．，数列的前项和为，下列结论正确的是（    ）

A． ．

C．当时，取最小值 ．当时，取最小值

答案：AC

【分析】

由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值．

【详解】

解：在递增的等差数列中，

由，得，

又，联立解得，

则，．

．

故正确，错误；

可得数列的

解析：AC

【分析】

由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值．

【详解】

解：在递增的等差数列中，

由，得，

又，联立解得，，

则，．

．

故正确，错误；

可得数列的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正．

而．

当时，取最小值，故正确，错误．

故选：．

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．

10．设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则对描述正确的有（    ）

A．是唯一最小值 ．是最小值

C． ．是最大值

答案：CD

【分析】

根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时可得，进而得到，即可得答案；

【详解】

，

设，则点在抛物线上，

抛物线的开口向下，对称轴为，

且为的最大值，

解析：CD

【分析】

根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时可得，进而得到，即可得答案；

【详解】

，，

设，则点在抛物线上，

抛物线的开口向下，对称轴为，

且为的最大值，

，

，

故选：CD.

【点睛】

本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.下载本文