把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．常见的裂项技巧
①＝－.②＝.
③＝.④＝－.
⑤＝.
一、题型选讲
例1、已知数列是等比数列，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
例2、在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
已知Sn为等差数列的前n项和，若．
(1)求an；
(2)令，求数列的前n项和Tn．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例3、已知数列的前n项和满足，且.
（1）求数列的前n项和及通项公式；
（2）记，为的前n项和，求．
例4、已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
例5、已知数列的前n项和满足，且.
（1）求数列的前n项和，及通项公式；
（2）记，为的前n项和，求.
例6、已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.
(1)求;
(2)设，求的前项和.
例7、已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
例8、在数列中，有.
（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
二、达标训练
1、已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
2、设，向量，，.
（1）试问数列是否为等差数列？为什么？
（2）求数列的前项和.
3、已知等差数列满足,前7项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
4、已知等差数列和等比数列满足：
(I)求数列和的通项公式；
(II)求数列的前项和.
5、等比数列的前n项和为成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.
6、已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2＝an(Sn－)．
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
运用裂项相消法求和
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．常见的裂项技巧
①＝－.②＝.
③＝.④＝－.
⑤＝.
一、题型选讲
例1、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列是等比数列，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【解析】（1）设数列的公比为，∵，
∴，∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
解得：.
∴，
∴.
（2），
∴
.
例2、（华南师大附中2021届高三综合测试）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
已知Sn为等差数列的前n项和，若．
(1)求an；
(2)令，求数列的前n项和Tn．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】：(1)若选择条件(1)，在等差数列中
，，解得
若选择条件(2)，在等差数列中
，解得
；
若选择条件(3)，在等差数列中
al=Sl=3，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n -[(n-l)2 +2(n -1)]= 2n+l，a1也符合，
∴an=2n+1；
(2)由(1)得，
例3、（江苏盐城中学2021届高三年级第三阶段检测数学试题）已知数列的前n项和满足，且.
（1）求数列的前n项和及通项公式；
（2）记，为的前n项和，求．
【解析】(I)由已知有，
∴数列为等差数列，
且，
∴，即，
当时，，
又也满足上式，∴；
(II)由(1)知，，
∴，
例4、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【解析】（1）当时，，整理得，，解得；
当时，①，可得②，
①－②得，即，
化简得，
因为，，所以，
从而是以为首项，公差为的等差数列，所以；
（2）由（1）知，
因为，
.
例5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知数列的前n项和满足，且.
（1）求数列的前n项和，及通项公式；
（2）记，为的前n项和，求.
【解析】（I）由已知有，
∴数列为等差数列，
且，
∴，即，
当时，，
又也满足上式，∴；
（II）由（1）知，，
∴，
例6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.
(1)求;
(2)设，求的前项和.
【解析】 (1)设数列的公差为，
由题意知: ①
又因为成等比数列，
所以，
，
，
又因为，
所以. ②
由①②得，
所以，
，，，
.
(2)因为，
所以
所以数列的前项和.
例7、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
由得，解得，
；
（2），
，，
若，则，整理得，
又，，整理得，
解得，
又，，，
∴存在满足题意．
例8、【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】在数列中，有.
（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
【解析】（1）因为，
所以当时，，
上述两式相减并整理，得.
又因为时，，适合上式，
所以.从而得到，
所以，
所以数列为等差数列，且其通项公式为.
（2）由（1）可知，.
所以
.
二、达标训练
1、【2020届中原金科大联考高三4月质量检测】已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【解析】（1）当时，，整理得，，解得；
当时，①，可得②，
①－②得，即，
化简得，
因为，，所以，
从而是以为首项，公差为的等差数列，所以；
（2）由（1）知，
因为，
.
2、（2020届山东省临沂市高三上期末）设，向量，，.
（1）试问数列是否为等差数列？为什么？
（2）求数列的前项和.
【解析】（1），
.
，
为常数，
是等差数列.
（2），
.
3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知等差数列满足,前7项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【解析】 (1)设等差数列的公差为d,由可知,前7项和.
,解得..
(2)
前项和
.
4、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知等差数列和等比数列满足：
(I)求数列和的通项公式；
(II)求数列的前项和.
【解析】 (I) ，故，
解得，故，.
(II)
，故.
5、（南通市2021届高三年级期中学情检测）等比数列的前n项和为成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由成等差数列知，，
所以，即.又，所以，所以，
所以等差数列的通项公式.
（2）由（1）知
所以
所以数列的前项和：
所以数列的前项和
6、（金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一））已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2＝an(Sn－)．
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】：(1)因为Sn2＝an(Sn－)，
当n≥2时，Sn2＝(Sn－Sn－1)(Sn－)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn．①…………2分
由题意得Sn－1·Sn≠0，所以－＝2，
即数列{}是首项为＝＝1，公差为2的等差数列．…………5分
所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，得Sn＝．…………………………………………7分
(2)易得bn＝＝……………………………8分
＝(－)，……………………………10分
所以Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)
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