第Ⅰ卷  （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、设全集则下图中阴影部分表示的集合为（   ） 

A．    B．  

C．    D．

【解析】，阴影部分为,所以，所以，选C.

2、已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合终边在直线上，则 (   B  )

A．-2                B．2            C．0             D．

3、已知点、、、,则向量在方向上的投影为    （　　）

A．    B．    C．    D． 

【解析】本题考查向量的投影以及数量的坐标运算。因为,所以，。所以向量在方向上的投影为，选A.

4、若,则的取值范围是    （　　）

A．    B．    C．    D．

【答案】D  【解析】本题考查的是均值不等式．因为，即，所以，当且仅当，即时取等号．

5、已知数列{}满足，且，则的值是(  B  )

（A）            （B）          （C）5              （D） 

6、已知是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“为[0,1]上的增函数”是“为[3,4]上的减函数”的（  D  ）

A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．充要条件

7、函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式可为（  B  ）

（A）     （B）

（C）     （D）

8、某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是

    （　　）

A．    B．    C．    D．

【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.

9、设函数. 若实数a, b满足, 则( B )

    (A)  (B)      (C)      (D) 

10、对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”．若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（　A　）

A． (0,1)       B.              C．              D．

二、填空题：本大题共５小题，每小题5分，共２5分

11、已知集合，集合，命题p：，命题q：，若q的必要不充分条件是p，则实数a的取值范围是                    。

12、正项数列{an}满足a1＝2，(an－2)2＝8Sn－1(n≥2)，则{an}的通项公式an＝_4n－2_______.

13、已知向量，其中，都是正实数，若，则的最小值是_______.

【解析】因为，所以，即。又，所以的最小值是4.

14、设函数在（，+）内有意义．对于给定的正数k，已知函数，取函数=．若对任意的（，+），恒有=，则k的最小值为        2     ．

15、设是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足;

(i);(ii)对任意,当时,恒有.

那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合:

①;  ②;③.

其中,“保序同构”的集合对的序号是__________(写出所有“保序同构”的集合对的序号)

【解析】本题考查的函数的性质．由题意可知为函数的一个定义域，为其所对应的值域，且函数为单调递增函数．对于集合对①，可取函数，是“保序同构”；对于集合对②，可取函数，是“保序同构”；对于集合对③，可取函数，是“保序同构”．故答案为①②③．

三、解答题（本大题共6小题，第20题13分，第21题14分，其余每题12分，共75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

16、已知函数.

(1)求的最小正周期和递减区间；(2) 若，是第二象限的角，求.

解(1)∵                     

最小正周期为                        ………4分

由得(

所以的递减区间是(               ………6分

(2)由(1)知,所以,即…8分

又是第二象限的角,所以……10分

所以           ………12分

17、已知向量=，= 。

⑴求与；⑵ 当为何值时，向量与垂直？

⑶ 当为何值时，向量与平行？并确定此时它们是同向还是反向？

解、因为 所以，，，…………….2分

（1） ， ；……………..4分

(2)当向量与垂直时，则有，，即解得所以当时，向量与垂直；………….8分

（3）当向量与平行时，则存在使成立，于是解得，…………………………10分

当时，，所以时向量与平行且它们同向………………12分

18、已知数列{an}满足，a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*.

(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；

(2)求{an}的通项公式．

 (1)证明: 当n=1时　b1＝a2－a1＝1，………………….2分

当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an＝－(an－an－1)＝－bn－1……………..5分

所以{bn}是以1为首项，－为公比的等比数列．………6分

(2)解　由(1)知bn＝an＋1－an＝，

当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

＝1＋1＋（－）＋…＋（－）n－2＝1＋＝－－（）n－1，………10分

当n＝1时，－－（）1－1＝1＝a1.

所以an＝－(－)n－1(n∈N*)．………12分

19、已知四边形ABCD为平行四边形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，BE = BC = 1，AE = ，M为线段AB的中点，N为线段DE的中点，P为线段AE的中点。

（1）求证：MN⊥EA；

（2）求四棱锥M – ADNP的体积。

解： （Ⅰ）   ……2分

又平面，平面，

为的中点，为的中点，

，     ……4分

又平面

    ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,且

,,,

,    ……8分

，,

又为直角梯形    ……10分

，,

四棱锥的体积     ……12分

20、已知函数y＝f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．

(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围；

(2)当x∈(0,1]时，y＝f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，且0≤θ≤，求a的取值范围

解、(1)f′(x)＝－3x2＋2ax，要使f(x)在(0,2)上单调递增，则f′(x)≥0在(0,2)上恒成立，

∵f′(x)是开口向下的抛物线，∴，∴a≥3………..5分

(2)∵0≤θ≤，∴tanθ＝－3x2＋2ax∈[0,1]．据题意0≤－3x2＋2ax≤1在(0,1]上恒成立，

由－3x2＋2ax≥0，得a≥x，a≥，由－3x2＋2ax≤1，得a≤x＋…………….10分

又x＋≥(当且仅当x＝时取“＝”)，∴a≤………………………12分

综上，a的取值范围是≤a≤……………………………….13分

21、已知函数．

（1）若在处取得极值，求的值；    （2）求的单调区间；

（3）若且，函数，若对于，总存在使得，求实数的取值范围．

（本小题主要考查导数、不等式、函数的单调性、最值等知识，考查化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及数学探究能力、综合运用能力和运算求解能力）

解：（1）

　　　　　　　　　　　　　　　　　……………１分

由得，　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………２分

        　　　　　　　　　　　　　……………３分

（2）

若，得　　　　　　　　　　　　……………４分

即在上单调递增，　　　　　　　　　　　……………５分

若或（舍去）………………６分

的单调减区间是，单调增区间是 ，…………９分

（3）由（2）得在上是减函数，

，即值域　　    ………………11分

又 

时

在上递增．　　　　　　　　　　　   

的值域        　　　　　　   …………12分

 由使得，

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………13分

即       即b的取值范围是　　    …………14分下载本文