本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（2015•郴州二模）设集合M={x∈R|lgx=0}，N={x∈R|﹣2＜x＜0}，则（ ）
A． M⊆N B． M⊇N C． M=N D． M∩N=∅
2．（2015•衡阳二模）设复数z=﹣l﹣i（i为虚数单位），z的共轭复数为，则等于（ ）
A．﹣1﹣2i B． ﹣2+i C． ﹣l+2i D． 1+2i
3．（2015•株洲一模）命题“∀x∈R，x2+x≥2”的否定是（ ）
A． ∃x0∈R，x2+x≤2 B． ∃x0∈R，x2+x＜2
C． ∀x∈R，x2+x≤2 D． ∀x∈R，x2+x＜2
4．（2015•永州一模）下列函数中是奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A． y=2x B． y=﹣x2 C． y=x3 D． y=﹣3x
5．（2015•衡阳二模）甲，乙，丙，丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r如表：
| 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
| r | 0.82 | 0.78 | 0.69 | 0.85 |
A．甲 B．乙 C．丙 D． 丁
6．（2015•永州一模）一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． 4π D． 8π
7．（2015•衡阳二模）如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P表示估计的结果，则图中空白框内应填入P=（ ）
A． B． C． D．
8．（2012•枣庄三模）已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=π，则cos（a2+a8）的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2015•衡阳二模）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（ ）
A．（1，2014） B．（1，2015） C．（2，2015） D． [2，2015]
10．（2015•株洲一模）在△ABC中，若角A，B，C所对的三边a，b，c成等差数列，给出下列结论：
①b2≥ac；②；③；④．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D． ①④
二．填空题（共5小题）
11．（2006•四川）设x、y满足约束条件：则z=2x﹣y的最小值为 ．
12．（2015•株洲一模）记集合A={（x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x+y﹣2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2的概率为 ．
13．（2015•潮南区模拟）在极坐标系中，点（1，0）到直线ρ（cosθ+sinθ）=2的距离为 ．
14．（2015•烟台一模）已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线﹣=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的焦点为K，点A在抛物线上，且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为 ．
15．（2015•菏泽二模）已知偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣loga（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是 ．
三．解答题（共6小题）
16．（2015•永州一模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin2A﹣cosA=0．
（1）求角A的大小；
（2）若b=，sinB=sinC，求a．
17．（2015•郴州二模）为了解甲、乙两种品牌手机的电池充满电后的待机时间（假设都在24～96小时范围内），从这两种手机的电池中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下表．
| 待机时间分段 | [24，36） | [36，48） | [48，60） | [60，72） | [72，84） | [84，96] |
| 甲种手机电池个数 | 5 | 15 | 40 | 25 | 10 | 5 |
| 乙种手机电池个数 | 10 | 30 | 30 | 22 | 7 | 1 |
（Ⅱ）这两种品牌的手机的电池充满电后，某个电池已使用了48小时，试估计该电池是甲品牌手机的电池的概率；
（Ⅲ）由于两种品牌的手机的某些差异，普遍认为甲品牌手机比乙品牌手机更显“低调”，销售商随机调查了110名购买者，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表，写出表中A、B、C、D、E的值，并判断是否有99%的把握认为喜欢“低调型”手机与消费者的年龄有关？
| 喜欢“低调型” | 不喜欢“低调型” | ||
| 45岁以下 | 30 | A | 50 |
| 45岁以上 | B | 10 | 60 |
| 合计 | C | D | E |
| P（K2≥k） | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（1）求证：E1F∥平面A1BD；
（2）若二面角A1﹣CD﹣B为直二面角，求直线A1F与平面BCD所成的角．
19．（2015•株洲一模）已知数列{an}是正数等差数列，其中a1=1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+bn=1．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）如果cn=anbn，设数列{cn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn＞Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．
20．（2015•济宁一模）已知函数f（x）=+lnx（a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最小值为2，求实数a的值；
（Ⅲ）当a=﹣1时，试判断函数g（x）=f（x）+在其定义域内的零点的个数．
21．（2015•威海一模）在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（﹣，0），（，0），点G是△ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|=|MB|．
（Ⅰ）求△ABC的顶点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）不过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q．若以PQ为直径的圆过点A时，试判断直线l是否过定点？若过，请求出定点坐标，不过，说明理由．
2015年湖南省高考数学(文科)模拟试卷
参与试题解析
一．选择题（共10小题）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | D | C | B | C | D | D | C | A | C | D |
11． ﹣6 ．12． ．13． ．14． 32 ．15． [5，+∞） ．
三．解答题（共6小题）
| 16． | 解：（1）由sin2A﹣cosA=0，得2sinAcosA﹣cosA=0， 即cosA（2sinA﹣1）=0得cosA=0或sinA=， ∵△ABC为锐角三角形， ∴sinA=， 则A=； （2）把sinB=sinC，由正弦定理得b=c， ∵b=，∴c=1， 由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3+1﹣2××1×=1， 解得：a=1． |
| 17． | 解：（Ⅰ）甲品牌手机的电池充满电后的待机时间小于48小时的频数是20，共有100个， 所以，甲品牌手机的电池充满电后的待机时间小于48小时的概率 （Ⅱ）两种品牌的手机的电池充满电后，可以使用48小时分别是80个和60个，所以，某个电池已使用了48小时，该电池是甲品牌手机的电池的概率 （Ⅲ）A=20，B=50，C=80，D=30，E=110，H0：假设是否喜欢“低调型”手机与消费者的年龄无关， 根据列联表可得：=7.486＞6.635，所以有99%的把握认为喜 欢“低调型”手机与消费者的年龄有关 |
| 18． | （1）证明：E1，F分别为AC，BC的中点， 则E1F为A1BC的中位线， 故E1F∥A1B 因为A1B⊂面A1BD，E1F⊄平面A1BD， 所以E1F∥平面A1BD． （2）连结DF，∵二面角A1﹣CD﹣B为直二面角， ∴A1D⊥BD， 又∵AC=BC且D为AB的中点，∴A1D⊥CD， 得A1D⊥平面BDC， 故∠A1FD为直线A1F与平面BCD所成的角 在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=120°， 得CD=1，CF=1，∠DCF=60° ∴△CDF为等边三角形， 故DF=1， 则得∠A1FD=60°． 故直线A1F与平面BCD所成的角为60°． |
| 19． | 解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d， ∵a1=1，且a2、a4、a6+2成等比数列， ∴依条件有， 即，解得（舍）或d=1， 所以an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）=n．…（2分） 由2Sn+bn=1，得， 当n=1时，2S1+b1=1，解得， 当n≥2时，， 所以， 所以数列{bn}是首项为，公比为的等比数列， 故．…（5分） （2）由（1）知，， 所以① ② 得．…（9分） 又． 所以， 当n=1时，T1=S1， 当n≥2时，，所以Tn＞Sn， 故所求的正整数n存在，其最小值是2．…（13分） |
| 20． | 解：（Ⅰ）当a=1时，， 当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 所以，当x=1时，f（x）有最小值：f（x）min=f（1）=1． （Ⅱ）因为， ①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上为增函数，此时f（x）在（0，e]上无最小值． ②当a∈（0，e]时，若x∈（0，a），则f′（x）＜0，f（x）单调递减， 若x∈（a，e]，则f′（x）＞0，f（x）单调递增， 所以f（x）min=f（a）=1+lna=2，∴a=e，符合题意； ③当a＞e时，x∈（0，e]， ∴f′（x）＜0，f（x）单调递减， 所以， ∴a=e，不符合题意； 综上所述，a=e时符合题意． （Ⅲ）证明当a=﹣1时，函数， ， 令φ（x）=2+x﹣lnx，（x＞0），则， 所以x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减， 当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增， 所以，φ（x）min=φ（1）=3＞0，在定义域内g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）单调递增， 又g（1）=﹣1＜0，而， 因此，函数g（x）在（1，e）上必有零点，又g（x）在（0，+∞）单调递增， 所以函数在其定义域内有唯一的零点． |
| 21． | 解：（Ⅰ）设点C坐标为（x，y） 因为G为△ABC的重心故G点坐标为，∴…（2分） 由|MC|=|MB|得∴，…（3分） 即 ∴△ABC的顶点C的轨迹E的方程是…（5分） （Ⅱ）设直线的两交点为P（x1，y1），Q（x2，y2） 联立：消去y得：（k2+3）x2+2kbx+b2﹣6=0…（7分） ∴△=4k2b2﹣4（k2+3）（b2﹣6）=12（2k2﹣b2+6）＞0， 且．…（8分） 若以PQ为直径的圆过点A时，则有．…（9分） ∴，既有， 故， 代入整理得：…（11分）∴．…（12分） （1）当．时，直线过定点， 且代入△＞0成立； …（13分） （2）当，直线过点，不合题意，舍去． 综上知：直线过定点…14 |
