教学目标：
1. 理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数.
2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式.
3. 能判断一个给定函数是否为反比例函数.通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体
会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型；进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点.
教学重点：反比例函数的概念
教学难点：例1涉及较多的《科学》学科的知识，学生理解问题时有一定的难度。
教学方法：类比 启发
教学辅助：多媒体 投影片
教学过程：
随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？
一、创设情景 探究问题
情境1：
当路程一定时，速度与时间成什么关系？（s＝vt）
当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系?
［备注］
这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如xy＝m（m为一个定值），则x与y成反比例。
这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。
情境2：
汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化.
问题：
（1）你能用含有v的代数式表示t吗？
（2）利用（1）的关系式完成下表：
| v/(km/h) | 60 | 80 | 90 | 100 | 120 |
| t/h |
［备注］
（1）引导学生观察、讨论路程、速度、时间这三个量之间的关系，得出关系式s＝vt，指导学生用这个关系式的变式来完成问题（1）.
（2）引导学生观察、讨论，并运用（1）中的关系式填表，并观察变化的趋势，引导学生用语言描述.
3）结合函数的概念，特别强调唯一性，引导讨论问题（3）.
情境3：
用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：
（1）一个面积为00m2的长方形的长a（m）随宽b（m）的变化而变化；
（2）实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化.
问题：
（1）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？
（2）它们有一些什么特征？
（3）你能归纳出反比例函数的概念吗？
一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数.
反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
［备注］
这个情境先引导学生审题列出函数关系式，使之与我们以前所学的一次函数、正比例函数的关系式进行类比，找出不同点，进而发现特征为：(1)自变量x位于分母，且其次数是1.(2)常量k≠0.(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数.(4)函数值y的取值范围是非零实数.并引导归纳出反比例函数的概念，紧抓概念中的关键词，使学生对知识认知有系统性、完整性，并在概念揭示后强调反比例函数也可表示为y＝kx－1(k为常数，k≠0)的形式，并结合旧知验证其正确性.
二、例题教学
练习：1：下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝－；
通过这个例题使学生进一步认识反比例函数概念的本质，提高辨别的能力.
练习：2：在函数y＝－1，y＝，y＝x－1，y＝中，y是x的反比例函数的有 个.
［备注］
这个练习也是引导学生从反比例函数概念入手，着重从形式上进行比较，识别一些反比例函数的变式,如y＝kx－1的形式. 还有y＝－1通分为y＝，y、x都是变量，分子不是常量，故不是反比例函数，但变为y＋1＝可说成（y＋1）与x成反比例.
练习3：若y与x成反比例，且x＝－3时，y＝7，则y与x的函数关系式为 .
［说明］这个练习引导学生观察、讨论，并回顾以前求一次函数关系式时所用的方法，初步感知用“待定系数法”来求比例系数，并引导学生归纳求反比例函数关系式的一般方法，即只需已知一组对应值即可求比例系数.
例题：第5页例1
三、拓展练习
1、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数. 如果是，指出比例系数k的值.
（1）底边为5cm的三角形的面积y（cm2）随底边上的高x（cm）的变化而变化；
（2）某村有耕地面积200ha，人均占有耕地面积y（ha）随人口数量x（人）的变化而变化；
（3）一个物体重120N，物体对地面的压强p（N/m2）随该物体与地面的接触面积S（m2）的变化而变化.
2、已知函数y＝（m＋1）x是反比例函数，则m的值为 .
［备注］
引导学生分析、讨论，列出函数关系式，并检验是否是反比例函数，指出比例系数.
四、课堂小结
这节课你学到了什么？还有那些困惑？
五、布置作业：
作业本（1）
板书设计：
概念 ： 例1
解：
练习 练习
1.1反比例函数(2)
教学目标:
1.会用待定系数法求反比例函数的解析式.
2.通过实例进一步加深对反比例函数的认识,能结合具体情境,体会反比例函数的意义,理解比例系数的具体的意义.
3.会通过已知自变量的值求相应的反比例函数的值.运用已知反比例函数的值求相应自变量的值解决一些简单的问题.
重点: 用待定系数法求反比例函数的解析式.
难点:例3要用科学知识,又要用不等式的知识,学生不易理解.
教学方法：讲练法
教学辅助： 投影片
教学过程：
一、复习
1、反比例函数的定义：
判断下列说法是否正确(对”√”,错”×”)
2、思考:如何确定反比例函数的解析式?
(1)已知y是x的反比例函数,比例系数是3,则函数解析式是_______
(2)当m为何值时，函数是反比例函数，并求出其函数解析式．
关键是确定比例系数!
二.新课
1、例2．已知y是关于x 的反比例函数，当x=时，y=2，求这个函数的解析式和自变量的取值范围。
2、说一说它们的求法:
(1)已知变量y与x-5成反比例，且当x=2时 y=9,写出y与x之间的函数解析式.
(2)已知变量y-1与x成反比例，且当x=2时 y=9,写出y与x之间的函数解析式.
3、例3、设汽车前灯电路上的电压保持不变,选用灯泡的电阻为R(Ω)，通过电流的强度为I(A)。
（1）已知一个汽车前灯的电阻为30 Ω，通过的电流为0.40A，求I关于R的函数解析式， 并说明比例系数的实际意义。
（2）如果接上新灯泡的电阻大于30 Ω，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？
在例3的教学中可作如下启发：
（1）电流、电阻、电压之间有何关系？
（2）在电压U保持不变的前提下，电流强度I与电阻R成哪种函数关系？
（3）前灯的亮度取决于哪个变量的大小？如何决定？
先让学生尝试练习，后师生一起点评。
三.巩固练习:
1.当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度p成反比例。且V=5m3时，p=1．98kg／m3
（1）求p与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
（2）求V=9m3时，二氧化碳的密度。
四.拓展:
1.已知y与z成正比例,z与x成反比例,当x=-4时,z=3,y=-4.求:
(1)Y关于x的函数解析式;
(2)当z=-1时,x,y的值.
五.交流反思
求反比例函数的解析式一般有两种情形：一种是在已知条件中明确告知变量之间成反比例函数关系，如例2；另一种是变量之间的关系由已学的数量关系直接给出，如例3中的由欧姆定律得到。
六、布置作业：作业本（2）1.1反比例函数
板书设计：
例2 例3
解：
解：
练习 练习
1.2反比例函数的图像和性质（1）
[教学目标]
1、体会并了解反比例函数的图象的意义
2、能描点画出反比例函数的图象
3、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质
[教学重点和难点]
本节教学的重点是反比例函数的图象及图象的性质
由于反比例函数的图象分两支，给画图带来了复杂性是本节教学的难点
教学方法： 启发 演示法
教学辅助： 投影片
[教学过程]
1、情境创设
可以从复习一次函数的图象开始：你还记得一次函数的图象吗?在回忆与交流中，进一步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质。转而导人关注新的函数——反比例函数的图象研究：反比例函数的图象又会是什么样子呢?
2、探索活动
探索活动1 反比例函数的图象．
由于反比例函数的图象是曲线型的，且分成两支．对此，学生第一次接触有一定的难度，因此需要分几个层次来探求：
(1)可以先估计——例如：位置(图象所在象限、图象与坐标轴的交点等)、趋势(上升、下降等)；
(2)方法与步骤——利用描点作图；
列表：取自变量x的哪些值? ——x是不为零的任何实数，所以不能取x的值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值。
描点：依据什么(数据、方法)找点?
连线：怎样连线? ——可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来。
探索活动2 反比例函数的图象．
可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：
(1)可以用画反比例函数的图象的方式与步骤进行自主探索其图象；
(2)可以通过探索函数与之间的关系，画出的图象．
探索活动3 反比例函数与的图象有什么共同特征?
引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．
反比例函数(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线。当时，图象在一、三象限：当时，图象在二、四象限。
反比例函数(k≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。
3、例题教学
课本安排例1，（1）巩固反比例函数的图象的性质。（2）是为了引导学生认识到：由于在反比例函数(k≠0)中，只要常数k的值确定，反比例函数就确定了．因此要确定一个反比例函数，只需要一对对应值或图象上一个点的坐标即可．（3）可以先设问：能否利用图象的性质来画图？
4、应用知识，体验成功
练习：课本“课内练习” 1.2.3
5、归纳小结，反思提高
用描点法作图象的步骤
反比例函数的图象的性质
6、布置作业
作业本（1） 课本“作业题”
板书设计：
例1
解： 解：
练习 练习
1.2反比例函数的图像和性质（2）
教学目标：
1、巩固反比例函数图像和性质，通过对图像的分析，进一步探究反比例函数的增减性。
2、掌握反比例函数的增减性，能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题。
教学重点：
通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性。
教学难点：
由于受小学反比例关系增减性知识的负迁移，又由于反比例函数图像分成两条分支，给研究函数的增减性带来复杂性。
教学方法：类比 启发
教学辅助：多媒体
教学过程：
一、复习：
1．反比例函数的图象经过点（－1，2），那么这个反比例函数的解析式为______，图象在第________象限，它的图象关于_________-成中心对称．
2．反比例函数的图象与正比例函数Y=3X的图象，交于点A（1，m），则m＝________，反比例函数的解析式为__________，这两个图象的另一个交点坐标是_________.
3、画出函数的图像.
二、讲授新课
1、引导学生观察函数的表格和图像说出y 与x之间的变化关系；
(1)
| X | … | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
| y | … | -1 | -1.2 | -1.5 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1.5 | 1.2 | 1 | … |
| X | … | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
| y | … | 1 | 1.2 | 1.5 | 2 | 3 | 6 | -6 | -3 | -2 | -1.5 | 1.2 | -1 | … |
2、做一做：
1．用“＞”或“＜”填空：
（1）已知和是反比例函数的两对自变量与函数的对应值．
若，则
（2）已知和是反比例函数的两对自变量与函数的对应值．若，则．
2．已知（），（），（）是反比例函数的图象上的三个点，并且，则的大小关系是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3．已知（），（），（）是反比例函数的图象上的三个点，则 的大小关系是___________．
4．已知反比例函数．（1）当x＞5时，0 y 1；
（2）当x≤5时，则y 1,或y＜ （3）当y＞5时，x的范围是 。
3、讲解例题
例 下图是浙江省境内杭甬铁路的里程示意图。设从杭州到余姚一段铁路线上的列车行驶的时间为 时，平均速度为 千米/时，且平均速度限定为不超过160千米/时。
（1）求v 关于t 的函数解析式和自变量t的取值范围；
（2）画出所求函数的图象
（3）从杭州开出一列火车，在40分内（包括40分）到达余姚 可能吗？在50分内（包括50分）呢？如有可能，那么此时对列车的行驶速度有什么要求？
小结：（1）自变量t不仅要符合反比例函数自身的式子有意义，而且要符合实际问题中的具体意义及附加条件。
（2）对于在自变量的取值范围内画函数的图像映注意图像的纯粹性。
（3）一般有；两种方法求自变量的取值范围：一是利用函数的增减性，二是利用图解法。
练习：课本第16页课内练习第3题
三、 小结：
本节课我学到了…… 我的困惑……
四、比较正比例函数和反比例函数的性质
| 正比例函数 | 反比例函数 | |
| 解析式 | ||
| 图像 | 直线 | 双曲线 |
| 位置 | k＞0，一、三象限； k＜0，二、四象限 | k＞0，一、三象限 k＜0，二、四象限 |
| 增减性 | k＞0，y随x的增大而增大 k＜0，y随x的增大而减小 | k＞0，在每个象限y随x的增大而减小 k＜0，在每个象限y随x的增大而增大 |
板书设计：
例2 练习
解：
1．1-1．2反比例函数概念复习
【教学目标】
1、进一步认识成反比例的量的概念。
2、结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
3、掌握反比例函数的解析式，会求反比例函数的解析式。
【教学重点和难点】
重点：反比例函数的定义和会求反比例函数的解析式。
难点：目标2。
教学方法：讲练法
教学辅助：投影片
【教学过程】
一、知识要点：一般地，形如 y = ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；
（2）解析式有三种常见的表达形式：
（A）y =（k ≠ 0） ， （B）xy = k（k ≠ 0） （C）y=kx-1（k≠0）
二、例题讲解：
1.、在下列函数表达式中,x均为自变量,哪些y是x的反比例函数?每一个反比例函数相应的k值是多少?
（9）y=-2x-1
2、.若y=-3xa+1是反比例函数，则a= 。
3.、若y=（a+2）为反比例函数关系式，则a= 。
4、如果反比例函数y=的图象位于第二、四象限，那么m的范围为
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 8 | 5 | 4 | 3 |
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 6 | 8 | 9 | 7 |
| X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 1 | 1/2 | 1/3 | 1/4 |
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 5 | 8 | 7 | 6 |
（1）当路程 s 一定时，时间 t 与速度 v 的函数关系。
（2）当矩形面积 S一定时，长 a 与宽 b 的函数关系。
（3）当三角形面积 S 一定时，三角形的底边 y 与高 x的函数关系。
（4）当电压U不变时，通过的电流I与线路中的电阻R的函数关系。
7、实践应用
例1、设面积为20cm2的平行四边形的一边长为a（cm），这条边上的高为h（cm），
⑴求h关于a的函数解析式及自变量a的取值范围；
⑵ h关于a的函数是不是反比例函数？如果是，请说出它的比例系数
⑶求当边长a=25cm时，这条边上的高。
例2、设电水壶所在电路上的电压保持不变，选用电热丝的电阻为R（Ω），电水壶的功率为P（W）。
(1) 已知选用电热丝的电阻为50 Ω，通过电流为968w，求P关于R的函数解析式，并说明比例系数的实际意义。
(2)如果接上新电热丝的电阻大于50 Ω，那么与原来的相比，电水壶的功率将发生什么变化？
例3、（1）y是关于x的反比例函数，当x=-3时，y=0.6；求函数解析式和自变量x的取值范围。
（2）如果一个反比例函数的图象经过点（-2，5），（-5，n）求这个函数的解析式和n的值。
（3）y与x+1成反比例，当x＝2时，y＝－1，求函数解析式和自变量x的取值范围。
(4) 已知y与x-2成反比例，并且当x＝3时，y＝2．求x＝1.5时y的值．
（5）如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（ ）
A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．反比例或正比例函数
三、练习：P21 1—4
四、小结
五、布置作业：另见练习卷
板书设计：
例1 例2 例2
解： 解： 解
练习 练习
1.3反比例函数的应用 （1）
教学目标：
1、经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程，体会建模思想。
2、会综合运用反比例函数的解析式，函数的图像以及性质解决实际问题。
3、体验数形结合的思想。
教学重点、难点：运用反比例函数的解析式和图像表示问题情景中成反比例的量之间的关系，进而利用反比例函数的图像及性质解决问题。
教学方法：讲练法
教学辅助：投影片
教学过程：
一、忆一忆
1、什么是反比例函数？它的图像是什么？具有哪些性质？
2、小明家离学校3600米，他骑自行车的速度是x（米/分）与时间y（分）之间的关系式是
，若他每分钟骑450米，需 分钟到达学校。
二、想一想
例1、设△ABC中BC的边长为x(cm) ,BC 边上的高AD为y(cm)，△ABC的面积为常数。已知y关于x 的函数图像过点（3，4）。
（1）求y关于x的函数解析式和△ABC的面积。
（2）画出函数的图像，并利用图像，求当时y 的值。
小结：1、根据实际问题中变量之间的数量关系建立函数解析式。
2、根据给定的自变量的值或范围求函数的值或范围，可以应用函数的性质，也可以应用函数的图像；根据已知函数的值或范围求相应的自变量的值或范围，可以应用函数的性质和图像，也可以把问题转化为解方程或不等式。
三、练一练
设每名工人一天能做某种型号的工艺品x 个。若某工艺厂每天要生产这种工艺品60个，则需工人y名。
(1)求y关于x的函数解析式。
(2)若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人多少人？
四、说一说：
请你说一说本节课自己的收获并对自己参与学习的程度做出简单的评价.
五、作业：
见作业本
板书设计：
例1
解： 练习
1.3反比例函数的应用（2）
教学目标：
1、经历分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数模型，进而解决实际问题的过程
2、体会数学与现实生活的紧密性，培养学生的情感、态度，增强应用意识，体会数形结合的数学思想。
3、培养学生自由学习、运用代数方法解决实际问题的能力。
教学重难点：
重点是运用反比例函数的解析式和图像表示问题情景中成反比例的量之间的关系，进而利用反比例函数的图像及性质解决问题。
难点是例2中变量的反比例函数关系的确定建立在对实验数据进行有效的分析、整合的基础之上，过程较为复杂。
教学方法：启发法
教学辅助：投影片
教学过程：
一、创设情境 、引入新课
例2、在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强。
(1)请根据表中的数据求出压强p(kpa)关于体积V(ml)函数解析式。
(2)当压力表读出的压强为72 kpa时，气缸内的气体压缩到多少ml？
| 体积V(ml) | 压强p(kpa) |
| 100 | 60 |
| 90 | 67 |
| 80 | 75 |
| 70 | 86 |
| 60 | 100 |
（2）能否用图像描述体积V与压强p的对应值？
（3）猜想压强p 与体积V之间的函数类别？
师生一起解答此题。并引导学生归纳此种数学建模的方法与步骤：
（1）由实验获得数据
（2）用描点法画出图像
（3）根据图像和数据判断或估计函数的类别
（4）用待定系数法求出函数解析式
（5）用实验数据验证
指出：由于测量数据不完全准确等原因，这样求得的反比例函数的解析式可能只是近似地刻画了两个变量之间的关系。
二、巩固练习
三、说一说：
请你说一说本节课自己的收获
四、作业
板书设计：
例2
解： 练习
第二十四章反比例函数复习 （复习课）
教学目标：
1、通过对实际问题中数量关系得探索，掌握用函数的思想去研究其变化规律
2、结合具体情境体会和理解反比例函数的意义，并解决与它们有关的简单的实际问题
3、让学生参与知识的发现和形成过程，强化数学的应用与建模意识，提高分析问题和解决问题的能力。
教学重点：反比例函数的图像和性质在实际问题中的运用。
教学难点：运用函数的性质和图像解综合题，要善于识别图形，勤于思考，获取有用的信息，灵活的运用数学思想方法。
教学方法：讲练法
教学辅助：投影片
教学过程：
一、知识回顾
1、什么是反比例函数？
2、你能回顾总结一下反比例函数的图像性质特征吗？与同伴交流。
二、练一练
1 、 反比例函数y=-的图象是 ，分布在第 象限，在每个象限内， y都随x的增大而 ；若 p1 (x1 , y1)、p2 (x2 , y2) 都在第二象限且x1 1）求两个函数解析式; 2）求△ABC的面积. 6、已知反比例函数的图象经过点，若一次函数y=x+1的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B(2，m)，求平移后的一次函数的图象与x轴的交点坐标。 三、小结： 1、本节复习课主要复习本章学生应知应会的概念、图像、性质、应用等内容，夯实基础提高应用。 2、充分利用“图象”这个载体，随时随地渗透数形结合的数学思想. 四、作业： 另发试卷 板书设计： 练习 练习 解： 解： 第一章 反比例函数测试卷 基础达标验收卷 一、选择题： 1.已知反比例函数的图象经过点，则函数可确定为（ ） A. B. C. D. 2.如果反比例函数的图象经过点，那么下列各点在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 3.如右图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为（ ） A. B. C. D. 4.如右图是三个反比例函数，在x轴上方的图象，由此观察得到、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5.已知反比例函数的图象上有两点、且，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D与之间的大小关系不能确 定 6、已知反比例函数的图象如右图，则函数的图象是下 图中的（ ） 7、已知关于x的函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） 8、如图，点A是反比例函数图象上一点，AB⊥y轴于点B，则△AOB的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9、某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例. 右图表示的是该电路中电流I与电阻R之间的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 1.我们学习过反比例函数. 例如，当矩形面积S一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为（S为常数，S≠0）. 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式. 实例：_________________________________________________； 函数关系式：___________________________________________. 2.右图是反比例函数的图象，那么k与0的大小关系是. 3.点在双曲线上，则k=______________. 4.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例. 已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是_____________. 5.已知反比例函数的图象经过点，则a=__________. 三、解答题： 1.已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，求k，n的值. 2.已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点. （1）分别求这两个函数的解析式. （2）试判断点关于x轴的对称点是否在一次函数的图象上. 3.反比例函数的图象经过点. （1）求这个函数的解析式； （2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由. 4.在压力不变的情况下，某物承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其图象如右图所示. （1）求P与S之间的函数关系式； （2）求当S=0.5m2时物体所受的压强P. 5.如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点. （1）求A、B两点的坐标； （2）求△AOB的面积. 能力提高练习 一、学科内综合题 1.如右图，△OPQ是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P，则它的解析式是_____________. 2.已知反比例函数和一次函数. （1）若一函数和反比例函数的图象交于点，求m和k的值. （2）当k满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？ （3）当时，设（2）中的两个函数图象的交点分别为A、B，试判断A、B两点分别在第几象限？∠AOB是锐角还是钝角（只要求直接写出结论）？ 二、学科间综合题 3.若一个圆锥的侧面积为20，则下图中表示这个圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系的是（ ） 三、实际应用题 4.某单位为响应发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD. 该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米. 设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB的长为x米，修建健身房的总投入为y元. （1）求y与x的函数关系式； （2）为了合理利用大厅，要求自变量x必须满足8≤x≤12. 当投入资金为4800元时，问利用旧墙壁的总长度为多少米？ 5、为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示）. 现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为6毫克. 请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为：___________________，自变量x的取值范围是：______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为：___________________； （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 第24章 二次根式 24.1 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：和 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质和。 三、学习过程 （一）复习引入： （1）已知x2 = a，那么a是x的______; x是a的________, 记为______, a一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子的意义是 。 （二）提出问题 1、式子表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？ 3、式子的意义是什么？ 4、的意义是什么？ 5、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习 自学课本第27页例前的内容，完成下面的问题： 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ ，，，，， 2、计算 ： (1) (2) （3） （4） 根据计算结果，你能得出结论： ，其中, 的意义是 。 3、当a为正数时指a的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母a必须满足 , 才有意义。 （三）合作探究 1、学生自学课本第27页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： x取何值时，下列各二次根式有意义？ ① ② ③ 2、（1）若有意义，则a的值为___________． （2）若 在实数范围内有意义，则x为（ ）。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 （四）展示反馈 (学生归纳总结) 1．非负数a的算术平方根(a≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有：被开方数a必须是非负数。 2．式子的取值是非负数。 （五）精讲点拨 1、二次根式的基本性质()2=a成立的条件是a≥0，利用这个性质可以求二次根式的平方，如()2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=()2. 2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。 （五）拓展延伸 1、(1)在式子中，x的取值范围是____________. (2)已知+＝0，则x-y＝ _____________. (3)已知y＝+,则= _____________。 2、由公式，我们可以得到公式a= ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 (1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 5 0.35 (2)在实数范围内因式分解 4a-11 （六）达标测试 A组 (一)填空题： 1、 =________; 2、 在实数范围内因式分解： （1）x2-9= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____) （2） x2 - 3 = x2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____) （二）选择题： 1、计算 （ ） A. 169 B.-13 C±13 D.13 2、已知 A. x>-3 B. x<-3 C.x=-3 D x的值不能确定 3、下列计算中，不正确的是 （ ）。 A. 3= B 0.5= C . =0.3 D =35 B组 （一）选择题： 1、下列各式中，正确的是（ ）。 A. = B C D 2、 如果等式= x成立，那么x为（ ）。 A x≤0; B.x=0 ; C.x<0; D.x≥0 （二）填空题: 1、 若，则= 。 2、分解因式： X4 - 4X2 + 4= ________. 3、当x= 时，代数式有最小值， 其最小值是 。 二次根式(2) 一、学习目标 1、掌握二次根式的基本性质： 2、能利用上述性质对二次根式进行化简. 二、学习重点、难点 重点：二次根式的性质． 难点：综合运用性质进行化简和计算。 三、学习过程 （一）复习引入： （1）什么是二次根式，它有哪些性质？ （2）二次根式有意义，则x 。 （3）在实数范围内因式分解： x2-6= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____) （二）提出问题 1、式子表示什么意义? 2、如何用来化简二次根式? 3、在化简过程中运用了哪些数学思想? （三）自主学习 自学课本第28页的内容，完成下面的题目： 1、计算： 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到： 当 2、计算： 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当 3、计算： 当 （四）合作交流 1、归纳总结 将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质： 2、化简下列各式： 3、请大家思考、讨论二次根式的性质与有什么区别与联系。 （五）展示反馈 1、化简下列各式 （1） (2) 2、化简下列各式 （1） （2）（x＜-2） （六）精讲点拨 利用可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。 （七）拓展延伸 (1)a、b、c为三角形的三条边，则____________. (2) 把(2-x)的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ） A、B、 C、 D、 (3) 若二次根式有意义，化简│x-4│-│7-x│。 （八）达标测试： A组 1、填空：（1）、-=_________. （2）、= 2、已知2＜x＜3，化简： B组 1、 已知0 ＜x＜1，化简：－ 2、 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长． 24.2二次根式的乘除法 二次根式的乘法 一、学习目标 1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。 二、学习重点、难点 重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 三、学习过程 （一）复习回顾 1、计算： （1）×=______ =_______ （2）×=_______ =_______ （3）×=_______ =_______ 2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空： （1）×_____ （2）×____ （3）×__ （二）提出问题 1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？ 2、如何二次根式的乘法法则进行计算？ 3、积的算术平方根有什么性质？ 4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 （三）自主学习 自学课本第32—33页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目： 1、用计算器填空： （1）×____ （2）×____ （3）×____ （4）×____ 2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？ 能用数学表达式表示发现的规律吗？ 3、二次根式的乘法法则是： （四）合作交流 1、自学课本32页例1后，依照例题进行计算： （1）× （2）2×3 （3）· （4）·· 2、自学课本第32-33页内容，完成下列问题： （1）用式子表示积的算术平方根的性质： 。 （2）化简： ① ② ③ ④ （五）展示反馈 展示学习成果后，请大家讨论：对于×的运算中不必把它变成后再进行计算，你有什么好办法？ （六）精讲点拨 1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求： （1）被开方数进行因数或因式分解。 （2）分解后把能开尽方的开出来。 （七）拓展延伸 1、判断下列各式是否正确并说明理由。 （1）＝ （2）=ab （3） 6×（-2）== （4）=＝＝12 2、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。 (1) -3 (2) （八）达标测试： A组 1、选择题 （1）等式成立的条件是（ ） A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 （2）下列各等式成立的是（ ）． A．4×2=8 B．5×4=20 C．4×3=7 D．5×4=20 （3）二次根式的计算结果是（ ） A．2 B．-2 C．6 D．12 2、化简： （1）； （2）； 3、计算： （1）； （2）； B组 1、选择题 （1）若，则=（ ） A．4 B．2 C．-2 D．1 （2）下列各式的计算中，不正确的是（ ） A． =（-2）×（-4）=8 B． C． D． 2、计算：（1）6×（-2）； （2）； 二次根式的除法 一、学习目标 1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。 二、学习重点、难点 重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 三、学习过程 （一）复习回顾 1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质 2、计算： （1）3×（-4） （2） 3、填空： （1）=________，=_________ （2）=________，=________ （3）=________，=_________ （二）提出问题： 1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？ 2、如何二次根式的除法法则进行计算？ 3、商的算术平方根有什么性质？ 4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简？ （三）自主学习 自学课本第34页—第35页内容，完成下面的题目： 1、由“知识回顾3题”可得规律： ______ ______ _______ 2、利用计算器计算填空: （1）=_________（2）=_________（3）=______ 规律：______ _______ _____ 3、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则： 。 把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质： 。 （四）合作交流 1、 自学课本例3，仿照例题完成下面的题目： 计算：（1） （2） 2、自学课本例4，仿照例题完成下面的题目： 化简：（1） （2） （五）精讲点拨 1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求： （1）被开方数不含分母； （2）分母中不含有二次根式。 （六）拓展延伸 阅读下列运算过程： ， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。 利用上述方法化简：(1) =_________ （２）=_________ (３) =_____ ___ (４) =___ ___ （七）达标测试： A组 1、选择题 （1）计算的结果是（ ）． A． B． C． D． （2）化简的结果是（ ） A．- B．- C．- D．- 2、计算： （1） （2） （3） （4） B组 用两种方法计算： （1） （2） 最简二次根式 一、学习目标 1、理解最简二次根式的概念。 2、把二次根式化成最简二次根式． 3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。 二、学习重点、难点 重点：最简二次根式的运用。 难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。 三、学习过程 （一）复习回顾 1、化简（1） （2） 2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？ （二）提出问题： 1、什么是最简二次根式？ 2、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？ 3、如何进行二次根式的乘除混合运算？ （三）自主学习 自学课本第35页内容，完成下面的题目： 1、满足于 , 的二次根式称为最简二次根式. 2、化简: (1) (2) (3) (4) （四）合作交流 1、计算： 2、比较下列数的大小 （1）与 （2） 3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3cm，BC=6cm，求AB的长． （五）精讲点拨 1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。 2、判断是否为最简二次根式的两条标准： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2． （六）拓展延伸 观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： ， ， 同理可得： =，…… 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （……+）（）的值． （七）达标测试： A组 1、选择题 （1）如果（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（ ）． A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．以上都不对 （2）化简二次根式的结果是 A、 B、- C、 D、- 2、填空： （1）化简=_________．（x≥0） （2）已知，则的值等于__________. 3、计算： （1） (2) B组 1、计算： （a>0,b>0） 2、若x、y为实数，且y=，求的值。 24.3二次根式的加减法 二次根式的加减法 一、学习目标 1、了解同类二次根式的定义。 2、能熟练进行二次根式的加减运算。 二、学习重点、难点 重点：二次根式加减法的运算。 难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。 三、学习过程 （一）复习回顾 1、什么是同类项？ 2、如何进行整式的加减运算？ 3、计算：（1）2x-3x+5x （2） （二）提出问题 1、什么是同类二次根式？ 2、判断是否同类二次根式时应注意什么？ 3、如何进行二次根式的加减运算？ （三）自主学习 自学课本第39-40页内容，完成下面的题目： 1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式： （1） （2） （3） （4） 从中你得到： 。 2、自学课本例1，例2后，仿例计算： （1）+ （2）+2+3 （3）3-9+3 通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应 。 （四）合作交流，展示反馈 小组交流结果后，再合作计算，看谁做的又对又快！限时6分钟 (1) (2) (3) （4） （五）精讲点拨 1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤： ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式； ③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。 （六）拓展延伸 1、如图所示，面积为48cm2的正方形的四个角是 面积为3cm2的小正方形，现将这四个角剪掉，制 作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的高和底 面边长分别是多少？ 2、已知4x2+y2-4x-6y+10=0， 求（+y2）-（x2-5x）的值． （七）达标测试： A组 1、选择题 （1）二次根式：①；②；③；④中， 与是同类二次根式的是（ ）． A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ （2）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）． A．与 B．与 C．与 D．与 2、计算： （1） （2） B组 1、选择：已知最简根式是同类二次根式，则 满足条件的 a,b的值（ ） A．不存在 B．有一组 C．有二组 D．多于二组 2、计算： （1） （2） 二次根式的混合运算 一、学习目标 熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。 二、学习重点、难点 重点：熟练进行二次根式的混合运算。 难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。 三、学习过程 （一）复习回顾： 1、填空 （1）整式混合运算的顺序是： 。 （2）二次根式的乘除法法则是： 。 （3）二次根式的加减法法则是： 。 （4）写出已经学过的乘法公式： 2、计算： （1）·· （2） （3） （二）合作交流 1、探究计算： （1）（）× （2） 2、自学课本41页例3后，依照例题探究计算： （1） （2） （三）展示反馈 计算：（限时8分钟） （1） （2） （3） （4）（-）（--） （四）精讲点拨 整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。 （五）拓展延伸 同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，下面我们观察： 反之， ∴ ∴ =-1 仿上例，求：（1）； （2）你会算吗？ （3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由． （六）达标测试： A组 1、计算： （1） （2） （3）（a>0,b>0）（4） 2、已知，求的值。 B组 1、计算：（1）（2） 2、母亲节到了，为了表达对母亲的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈，其中一个面积为8cm2,另一个为18cm2，他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在有长为50cm的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？ 《二次根式》复习 一、学习目标 1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。 2、熟练进行二次根式的乘除法运算。 3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。 4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。 二、学习重点、难点 重点：二次根式的计算和化简。 难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。 三、复习过程 （一）自主复习 自学课本第46页“小结”的内容，记住相关知识，完成练习： 1．若a＞0，a的平方根可表示为___________ a的算术平方根可表示________ 2．当a______时，有意义， 当a______时，没有意义。 3． 4． 5． （二）合作交流，展示反馈 1、式子成立的条件是什么? 2、计算： (1) (2) 3．(1) (2) （三）精讲点拨 在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子： （1） （2） （3） （4） （5） （四）拓展延伸 1、用三种方法化简 解：第一种方法：直接约分 第二种方法：分母有理化 第三种方法：二次根式的除法 2、已知m,m为实数，满足， 求6m-3n的值。 （五）达标测试： A组 1、选择题： （1）化简的结果是（ ） A 5 B -5 C 士5 D 25 （2）代数式中，x的取值范围是（ ） A B C D （3）下列各运算，正确的是（ ） A B C D （4）如果是二次根式，化为最简二次根式是（ ） A B C D．以上都不对 （5）化简的结果是（ ） 2、计算． (1) (2) (3) (4) 3、已知求的值 B组 1、选择： （1），则（ ） A a,b互为相反数 B a,b互为倒数 C D a=b （2）在下列各式中，化简正确的是（ ） A B C D （3）把中根号外的移人根号内得（ ） 2、计算： （1） （2） （3） 3、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程： (1)按上述两个等式及其验证过程的基本思路， 猜想的变化结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出n(n为任意自然数， 且n≥2)表示的等式并进行验证． 专题一：二次根式及其性质 考点一：二次根式的概念 例1、下列哪些式子一定是二次根式（ ） A、 B、 C、 D、 析解：识别二次根式主要是看被开方数要大于等于0，显然只有被开方数是一定大于等于0的。此题应选D. 例2、填空：实数在什么范围内取值时，下列各式有意义? (1) 时，使有意义。(2) 时，使有意义 析解：（1）欲使被开方数，根据同号两数相乘得正，只需或，分别解不等式组。（2）此式出现了分式和二次根式必须满足分母不为0且被开方数大于等于0，所以有，可得. 考点一：二次根式的性质 例1、 已知，则的结果是______________ 析解：根据二次根式的性质=， 式子== 由，可得，所以结果为 例2、化简后得到的正确结果是（ ） A. B. C. D. 析解：由被开方数可得， 例3、若=0，则2xy= 。 析解：由二次根式，绝对值，根据非负数的和为0，这几个非负数都为0，可得， 得，所以。 专练一： 1、如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+ 结果等于（ ） A．－2b B．2b C．－2a D．2a 2、如果，则=______ 3、当满足___________条件时，在实数范围内有意义。 4、实数在什么范围内取值时，下列各式表示二次根式？ 5、在实数范围内分解因式 专题二：二次根式的乘除法 考点一：最简二次根式的概念 例1、下列根式中，最简二次根式是（ ） A、 B、 C、 D、 析解：识别最简二次根式主要看被开方数，A中被开方数含有,B中被开方数是分式，D中被开方数27含有平方数9，所以A、B、D都不是最简二次根式，C是最简二次根式。 考点二：二次根式的乘除法 例1、计算： 析解：根据二次根式相乘的步骤：系数相乘，再把被开方数相乘，根号及根指数不变，再逆用乘法法则.最后要把结果化成最简二次根式。 解： 专练二： 1、在根式（1) ，最简二次根式是（ ） A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 2、把下列根式化成最简二次根式 3、计算： 专题三：二次根式的加减法 考点一：同类二次根式的概念 例1、在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A．和 B．和 C． 析解：根据同类二次根式的概念，只需将各式化成最简二次根式，看被开方数是否相同即可。A中与，C中，D中，被开方数都不同，只有B中，与被开方数相同，所以选B. 例2、最简二次根式是同类二次根式，则a=______，b=_______ 析解：是最简二次根式，又是同类二次根式，所以有解得 考点二：二次根式的加减法 例1、计算： 先将每个二次根式化简，分别为。显然三项都是同类二次根式，最后合并三个同类二次根式，得。 例2、计算 （1）分析：二次根式一般情况下是有括号的先去括号，再化简 1项和3项是同类二次根式，2项和4项是同类二次根式，合并后结果为 （2）分析：对于含字母的二次根式的化简一定要看清字母的附加条件或隐含条件，此题有的条件，因为，根据同号两数相除得正，所以。化简带字母的二次根式要注意加绝对值。 解：∵，∴ 考点三：二次根式的混合运算及分母有理化 例1、化简： = 析解：分母的有理化因式是，在的分子分母同乘，得到，结果： 例2、化简：，并求出当时的值。 析解：原式是除法和减法的混合运算且有括号，根据运算顺序先做括号，再做除法。化简的结果再代入求值。 原式= 例3、计算： 析解：（1）可以用平方差公式进行计算，结果为3。（2）可以用完全平方进行计算，结果为。（3）原式中是相同项，-5和5是符号相反的项。显然符合平方差公式。结果为：-17 专练三： 1、 ． 2、下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A、B、 C、 D、 3、化简 4、已知。 5、计算 （1） 第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程（1课时） 学习目标： 1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。 2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。 难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。 导学流程： 自学课本导图，走进一元二次方程 分析：现设长方形绿地的宽为x米，则长为 米，可列方程 x（ ）= ，去括号得 ①. 你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？ 探究新知 【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm,那么剪去的正方形的边长是多少？ 设剪去的正方形的边长为xcm，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？ 合作交流 动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。 列出的方程是 ② . 自主学习 【做一做】根据题意列出方程： 1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？ 2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。 3、一块面积是150cm长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？ 观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。 展示反馈 【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。 【我学会了】 1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。 【例2】 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。 （1）（2） 【巩固练习】教材第19页练习 归纳小结 1、本节课我们学习了哪些知识？ 2、学习过程中用了哪些数学方法？ 3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？ 达标测评 （A）1、判断下列方程是否是一元二次方程; （1）（ ）（2） ( ) (3) （ ） (4) ( ) 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）3x2－x=2； （2）7x－3=2x2; （3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4. 3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解； （1） ±1 ±2； （2） ±2， ±4 （B）1、把方程 (化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。 2、要使是一元二次方程，则k=_______. 3、已知关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。 拓展提高 1、已知关于x的方程。问 （1）当k为何值时，方程为一元二次方程？ （2）当k为何值时，方程为一元一次方程？ 2、思考题：你能给出一元三次方程的概念及一般形式吗？ 25.2 一元二次方程的解法 第1课时 学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如=a(a≥0)或（mx+n）=a(a≥0)的方程；会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些一元二次方程； 2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法； 3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。 重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。 难点：理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。 导学流程： 自主探索 试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. （1）x2＝4； （2）x2－1＝0; 解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得 x=____ ______________＝0， 必有 x－1＝0，或______＝0, 得x1＝___，x2＝_____. 精讲点拨 (1)这种方法叫做直接开平方法. (2)这种方法叫做因式分解法. 合作交流 （1）方程x2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？ （2）方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？ 课堂练习 反馈 1.试用两种方法解方程x2－900＝0. (1)直接开平方法 (2) 因式分解法 2.解下列方程： （1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0. 解（1）移项，得x2＝2. (2) 移项，得_________. 直接开平方，得. 方程两边都除以16，得______ 所以原方程的解是 直接开平方，得x＝___. ，. 所以原方程的解是 x1＝___，x2＝___. 3.解下列方程： （1）3x2＋2x=0； （2）x2＝3x. 解（1）方程左边分解因式，得_______________ 所以 __________，或____________ 原方程的解是 x1＝______，x2＝______ （2）原方程即_____________=0. 方程左边分解因式，得____________＝0. 所以 __________，或________________ 原方程的解是 x1＝_____，x2＝_________ 总结归纳 以上解方程的方法是如何使二次方程转化为一次方程的？用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤分别是什么？ 巩固提高 解下列方程： （1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0. 分 析 两个方程都可以转化为（ ）2＝a的形式，从而用直接开平方法求解. 解：（1）原方程可以变形为（_____）2＝____， （2）原方程可以变形为________________________， 有 ________________________. 所以原方程的解是 x1＝________，x2＝_________. 课堂小结 你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？它们之间有何联系与区别？（学生思考整理） 达标测评 (A)1、解下列方程： （1）x2＝169； （2）45－x2＝0； （3）12y2－25＝0； （4）x2－2x＝0； （5）（t－2）（t +1）=0；（6）x（x＋1）－5x＝0. (7) x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0. (B)2、小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么会少一个解？ 拓展提高 1、解下列方程： （1）+2x-3=0 (2) -50x+225=0 （教师引导学生用十字相乘法分解因式。） 2、构造一个以2为根的关于x 的一元二次方程。 第 2 课 时 学习目标： 1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程； 2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。 重点：用配方法解数字系数的一元二次方程； 难点：配方的过程。 导学流程 自主学习 自学教科书例4，完成填空。 精讲点拨 上面，我们把方程x2－4x＋3＝0变形为(x－2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 练一练 ：配方.填空： （1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2； （2）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2； （3）x2＋x＋（ ）＝（x＋ ）2； 从这些练习中你发现了什么特点? (1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 合作交流 用配方法解下列方程： （1）x2－6x－7＝0； （2）x2＋3x＋1＝0. 解（1）移项，得x2－6x＝____. 方程左边配方，得x2－2·x·3＋__2＝7＋___， 即 （______）2＝____. 所以 x－3＝____. 原方程的解是 x1＝_____，x2＝_____. （2）移项，得x2＋3x＝－1. 方程左边配方，得x2＋3x＋（ ）2＝－1＋____， 即 _____________________ 所以 ___________________ 原方程的解是： x1＝______________x2＝___________ 总结规律 用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？ 深入探究 用配方法解下列方程： （1） （2） 这两道题与例5中的两道题有何区别？请与同伴讨论如何解决这个问题？请两名同学到黑板展示自己的做法。 课堂小结 你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？（学生思考后回答整理） 达标测评 （A）用配方法解方程： （1）x2＋8x－2＝0 （2）x2－5x－6＝0. （3）2x2-x=6 （4）（4）x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0). （5）4x2－6x＋（ ）＝4（x－ ）2＝（2x－ ）2. 拓展提高 已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 第 3 课 时 学习目标 1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力； 2、会用公式法解简单系数的一元二次方程； 3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。 重点：用公式法解简单系数的一元二次方程； 难点：推导求根公式的过程。 导学流程 复习提问： 1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ 2、用配方法解方程3x2-6x-8=0; 3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下. ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 推导公式 用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 因为a≠0，方程两边都除以a，得 _____________________＝0. 移项，得 x2＋x＝________， 配方，得 x2＋x＋______＝______－, 即 (____________) 2＝___________ 因为 a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得 _____________________________. 所以 x＝_______________________ 即 x＝_________________________ 由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式： x＝( b2－4 ac≥0) 精讲点拨 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法. 合作交流 b2－4 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？ 展示反馈 学生在合作交流后展示小组学习成果。 1当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等） 2当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根 x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿ 3当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根. 巩固练习 1、做一做： (1)方程2x-3x+1=0中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ） (2)方程(2x-1) =-4中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）. (3)方程3x-2x+4=0中， =（ ）,则该一元二次方程（ ）实数根。 (4)不解方程，判断方程x-4x+4=0的根的情况。 2、应用公式法解下列方程: (1) 2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2； (3) 5x2－4x－12＝0； (4) 4x2＋4x＋10＝1－8x. 解 (1)这里a＝___，b＝___，c＝______， b2－4ac＝____________ ＝_________ 所以x＝＝_________＝____________ 即原方程的解是 x1＝_____，x2＝_____ (2)将方程化为一般式，得_________________＝0. 因为 b2－4ac＝_________ 所以 x＝_____________＝_______________ 原方程的解是 x1＝________，x2＝_____ (3)因为 ___________________， 所以 x＝____________＝__________＝__________ 原方程的解是 x1＝________，x2＝__________. (4)整理，得_______________＝0. 因为 b2－4ac＝_________， 所以 x1＝x2＝________ 课堂小结 1、一元二次方程的求根公式是什么？ 2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？ 达标测评 （A）1、应用公式法解方程： (1) x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6； (3)4x2－3x－1＝x－2； (4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1). （5）（x-2）（x+5）＝8； （6）（x＋1）2＝2（x＋1）. （B）2、某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用篱笆围成，篱笆长为40m. (1)养鸭场的面积能达到150m吗？能达到200 m吗？ (2)能达到250 m吗？ 拓展提高 m取什么值时，关于x的方程2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0 有两个相等的实数根？ 第4课时 一元二次方程根的判别式 学习目标 1、了解什么是一元二次方程根的判别式； 2、知道一元二次方程根的判别式的应用。 重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况； 难点：根的判别式的变式应用。 导学流程 复习引入 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件b2－4ac___0时才有实数根 观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况： 1当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等） ②当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根 x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿ ③当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根. 精讲点拨 这里的b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2－x＋1＝0，可由b2－4ac＝＿＿＿＿＿0直接判断它＿＿＿＿实数根； 合作交流 方程根的判别式应用 1、不解方程，判断方程根的情况。 （1）x2＋2x－8＝0； （2）3x2＝4x－1； （3）x（3x－2）－6x2＝0； （4）x2＋(＋1)x＝0； （5）x（x＋8）＝16； （6）（x＋2）（x－5）＝1； 2．说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根. 解：把化为一般形式得＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 拓展提高 应用判别式来确定方程中的待定系数。 （1）m取什么值时，关于x的方程x2-2x＋m－2＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根. 解：因为Δ＝b2－4ac＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿ 因为方程有两个相等的实数根 所以Δ＝b2－4ac＿＿＿0，即＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 解得ｍ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 这时方程的根ｘ＝ （2）m取什么值时，关于x的方程x2-(2m＋2)x＋m2-2m－2＝0没有实数根？ 课堂小结 1、使用一元二次方程根的判别式应注意哪些事项？ 2、列举一元二次方程根的判别式的用途。 达标测评 （A）1、方程x2-4x＋4＝0的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根； C.有一个实数根； D.没有实数根. 2、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A．x2＋1＝0 B. x2+x-1＝0 C. x2+2x＋3＝0 D. 4x2-4x＋1＝0 3、若关于x的方程x2-x＋k＝0没有实数根，则（ ） A.k＜ B.k ＞ C. k≤ D. k≥ 4、关于x的一元二次方程x2-2x＋2k＝0有实数根，则k得范围是（ ） A.k＜ B.k ＞ C. k≤ D. k≥ （B）5、ｋ取什么值时，关于x的方程4x2-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0 有两个相等的实数根？求出这时方程的根. 6、说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根. 第 5 课 时（习题课） 学习目标 能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解决问题的能力。 重点：选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。 难点：理解四种解法的区别与联系。 复习提问 （1）我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？ （2）请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？ 精讲点拨 观察方程特点，寻找最佳解题方法。一元二次方程解法的选择顺序一般为：直接开平方法 因式分解法 公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法，其中，公式法是一把解一元二次方程的，适用于任何一元二次方程；因式分解法和直接开平方法是特殊方法，在解符合某些特点的一元二次方程时，非常简便。 练习一：分别用三种方法来解以下方程 （1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0 用因式分解法： 用配方法： 用公式法： 用因式分解法： 用配方法： 用公式法： 练习二：你认为下列方程你用什么方法来解更简便。 （1）12y2－25＝0； （你用_____________法） （2）x2－2x＝0； （你用_____________法） （3）x（x＋1）－5x＝0； （你用_____________法） （4）x2－6x＋1＝0； （你用_____________法） （5）3x2＝4x－1； （你用_____________法） （6） 3x2＝4x. （你用_____________法） 对应训练 1、解下列方程 （1）（2x－1）2－1＝0； （2）（x＋3）2＝2； （3）x2＋2x－8＝0； （4）3x2＝4x－1； （5）x（3x－2）－6x2＝0； （6）（2x－3）2＝x2. 2、当x取何值时，能满足下列要求？ （1）3x2－6的值等于21；（2）3x2－6的值与x－2的值相等. 3、用适当的方法解下列方程： （1）3x2－4x＝2x； （2）（x＋3）2＝1； （3）x2＋(＋1)x＝0； （4）x（x－6）＝2（x－8）； （5）（x＋1）（x－1）＝； （6）x（x＋8）＝16； （7）（x＋2）（x－5）＝1； （8）（2x＋1）2＝2（2x＋1）. 4、已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？ 课堂小结 根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下. 拓展提高 1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ） （A）3或-2 （B） -3或2 （C） 3 （D）-2 2、试求出下列方程的解： （1）(x-x) -5(x-x)+6=0 （2） 3、某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？ 23.3实践与探索（3课时） 第 1 课 时 学习目标 1、会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理，进一步培养分析问题和解决问题的能力。 2、会运用方程模型解决面积问题，并能求出最大面积。 3、进一步经历运用方程解决实际问题的过程，发展应用数学的意识，体会方程是刻画现实世界的数学模型。 重点：一元二次方程在实际问题中的应用，列方程解应用题； 难点：会用含未知数的代数式表示等量关系，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理。 导学流程 复习提问 1、列方程解应用题的步骤是什么？ 2、解方程的方法有几种？通常如何进行选择？请解出课本第18页问题1所列方程，并检验结果是否合理。 3、请同学们完成课本第29页例7，并检验结果是否合理？ 4、请同学们总结列一元二次方程解应用题的步骤。 情境导入 在开始学习这一章时，我们已经动手实验，直观体验长方体的制作过程，从图中能直观发现长方体的底面是边长为（10-2x）cm的正方形，在本节课我们再来探讨一下这样的长方体侧面积会不会有最大值？你是如何获得这个侧面积最大值的？ 自主学习 1、请同学们自学教材第33页问题1，填写表中空格，看谁做得又快又对,与同学们交流你的做法。 思考：（1）从你填表数据中，你认为折合而成的长方体的侧面积会不会有最大值？（2）设剪去的正方形的边长为xcm,则长方体的底面边长为 cm,侧面积为 cm.如果将剪去的正方形的边长x为自变量，折合而成的长方体的侧面积为函数y，则可得到 ①. （3）对于这个函数，我们并不了解它的性质，你能否在平面直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。 拓展延伸 在上题中，用配方法将得到的①式配方会得出什么结论？能否验证“探索”中的结论？请同学们合作完成。 课堂练习 1、有一个长是宽3倍的矩形铁皮，四周各截去一个完全相同的正方形，做成高是6cm,容积是300cm3的长方体容器，设矩形的宽为xcm,则长为 cm,长方体的底面长为 cm,宽为 cm，则可列方程为 。 2、将进价40元的商品按50元出售时，每月能卖500个，已知该商品每涨价2元，其月销售额就减少20个，为保证每月8000元利润，单价应定为多少？ 课堂小结 请盘点你在本节课中的收获。 达标测评 （A）1、一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？ （B）2、某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？ （1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？ （2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？ （3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少？定价是多少？ 第 2 课 时 学习目标 1、继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理，进一步培养分析问题和解决问题的能力。 2、会运用方程模型解决增长率问题， 3、了解增设辅助未知数的方法，明确辅助未知数的作用。 重点：运用一元二次方程知识解决增长率的问题。 难点：设辅助未知数。 导学流程 课前热身 （1）某磷肥厂今年一月份的磷肥产量为4万吨，若二月份的产量增长率为x,则二月份产量为（ ）,若三月份的产量的增长率是二月份的两倍，则三月份的产量为（ ）。 （2）某林场现有的木材蓄积量为立方米，预计在今后两年内木材蓄积量的年平均增长率为,那么两年后该临场木材蓄积量为（ ）立方米。 探究新知 例1：（第18页，问题2）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 设这两年的年平均增长率为x，则今年年底的图书数是__________万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的_______倍，即_________________________________万册.可列得方程 ____________________＝7.2 请同学们自己整理出做题步骤，注意检验结果的合理性。 例2：（第34页，问题2）阳江市市考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？ 精讲点拨 ①财政净收入翻一番，意味着净收入增长到原来的两倍。 ②财政净收入和平均年增长率都是未知数，其中财政净收入是一个辅助未知数，列出方程后，辅助未知数自动消去。 反馈矫正 请一名同学黑板演练，写出完整的步骤。 完成课本“探索” 部分的问题，（关键在于找出不同增长率之间的关系，要求同学分别列出方程即可。） 课堂练习 1、（教材第30页例8）某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元。已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。 2、哈尔滨市为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44，这两年平均每年面积的增长率是（ ）。 拓展延伸 请同学们认真阅读下面的题目，说出这道题与前面所做例题的区别与联系，然后根据相等关系列出方程。 市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率. 课堂小结 请说出你在本节课收获了什么？ 达标测评 （A）1、某工厂一月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？ 2、某商店二月份营业额为50万元，春节过后三月份下降了30%，四月份有回升，五月份又比四月份增加了5个百分点（即增加了5%），营业额达到48.3万元.求四、五两个月平均增长的百分率. （B）3、为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵．已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到1%） 第 3 课 时 学习目标 1、掌握一元二次方程根与系数的关系，运用根与系数的关系解决相关待定系数的值。 2、通过对一元二次方程根与系数关系的探讨，经历和体验数学的发现过程，提高探究性学习的能力。 重点：运用根与系数的关系求相关待定系数的值。 难点：运用根与系数的关系解题必须是在b2-4ac不小于0的情况下。 导学流程 复习引入 1、一元二次方程的一般形式是什么？ 2、一元二次方程的解法有几种？ 3、如何判断一元二次方程根的情况？ 4、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是什么？ 探究新知 1、解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？ （1）－2x＝0；（2） ＋3x－4＝0；（3） 2－5x-7＝0． 精讲点拨 应用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x=，可以分别求出与的值。 一般地，如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有两个根x1、x2 ，那么： =-， = .这就是一元二次方程根与系数的关系。 反馈练习 1、下列方程两根的和与两根的积各是多少？ ①-3y+1=0 ② 3-2x=2 ③2+3x=0 ④4p(p-1)=3 2、关于x的方程x2-4x+5=0,下列叙述正确的是（ ）。 A、两根的积是-5； B、两根的和是5； C、两根的和是4； D、以上答案都不对 3、若1和3是方程x2-px+q=0的两根，则p= ;q= . 思考：通过以上练习，可以发现利用一元二次方程根与系数的关系做题时，应注意哪些事项？ 拓展提高 1、已知、是方程2+3x-4=0的两个实数根，则++的值是 。 2、已知反比例函数，当x＞0时,y随着x的增大而增大，则关于x的方程a－2x＋b＝0的根的情况是（ ）。 A、有两个正根； B、有两个负根； C、有一个正根，一个负根； D、没有实数根。 3、已知关于x的方程（k-1）+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根、.（1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在求出k的值；如果不存在，请说明理由。 课堂小结 1、一元二次方程根与系数的关系是什么？ 2、使用一元二次方程根与系数的关系应注意哪些事项？ 达标检测 （A）1、已知、是方程-x-3=0的两个实数根，则= , = . 2、若方程x2+px+2=0的一个根是2，则另一个根是 ，p= . 3、下列方程中两根之和是2的方程是（ ） A、+2x+4=0 B、-2x-4=0 C、+2x-4=0 D、-2x+4=0 4、已知、是方程-2x-3=0的两个实数根，则= , 。 （B）5、先阅读下列材料，然后按要求解答有关问题。 若关于x的一元二次方程+（m+1）x+m+4=0两实数根的平方和为2，求m的值。 解：设方程的两实根为x,x,那么=-（m+1）, =m+4, 所以， 即=9，解得m=3. 请指出上述解题过程中的错误和不完整之处，并写出正确解答 过程。 6、已知是方程＋2x-5＝0的实数根，求的值。 一元二次方程（复习课） 复习目标 1．了解一元二次方程的有关概念。 2．能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 3．会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。 4．掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。 5．通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。 重点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 难点：1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。 2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。 复习流程 回忆整理 1．方程中只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：________________ ( )其中二次项系数是 、一次项系数是 常数项 。 例如： 一元二次方程7x－3=2x2化成一般形式是 ___________________其中二次项系数是 、一次项系数是 常数项是 。 2．解一元二次方程的一般解法有 （1）_________________ （2） （3） （4）求根公式法，求根公式是 ___________________________________________ 3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的根的判别式是 ，当 时，它有两个不相等的实数根；当 时，它有两个相等的实数根；当 时，它没有实数根。 例如：不解方程，判断下列方程根的情况： (1) x(5x+21)=20 (2) x2+9=6x (3)x2 —3x = —5 4．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的两个根分别为x1，x2 则x1 +x2= ；x1 ·x2= ____________ 例如：方程2x2+3x —2=0的两个根分别为x1，x2 则x1+x2= ；x1 ·x2= _________ 交流提高 请同学们之间相互交流，形成本章的知识结构。 典例精析 例1：已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值. 分析：根据根的意义，把x=0代入方程，可得m2－4=0 则m1=2 , m2 = —2，但应注意m－2≠0，则m ≠2因此m = —2. 请问你还可以用什么方法来解决这个问题？ 例2：解下列方程: (1)2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2； (3)5x2－4x－12＝0； (4)4x2＋4x＋10＝1－8x. （5）（x＋1）（x－1）＝（6）（2x＋1）2＝2（2x＋1）. 分析：解题时应抓住各方程的特点，选择较合适的方法。 例3：已知关于x的一元二次方程（m—1）x2 —（2m+1）x+m=0,当m取何值时： （1）它没有实数根。 （2）它有两个相等的实数根，并求出它的根。 （3）它有两个不相等的实数根。 分析：在解题时应注意m—1≠0这个隐含的条件。 巩固练习 (A)1．关于x的方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程的条件是 2．已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和 q的值 3．m取什么值时，关于x的方程2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0 有两个相等的实数根？求出这时方程的根. 4．解下列方程：（1） x2＋(＋1)x＝0；（2）（x＋2）（x－5）＝1 ； （3）3（x－5）2＝2（5－x）。 5.说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根。 6、已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.(请用两种方法来解) （B）7、写一个根为x=1，另一个根满足—1 （1）x12+x22 （2）（3）（x1—3）（x2—3） 解一元二次方程专题训练(计算) 1．（直接开平方法） 2.（配方法） 3．（因式分解法） 4.（公式法） 5． 6. 7. 8、（4x＋3）(5-x)=0 9、 (x-1)+2x(x-1)=0 10、2x2-4x-5=0 11、－3x2-4x＋4=0（配方法） 12、x(x＋6)=7 13、2（x－3）2＋x2=9 (分解因式 14.（配方法解） 15.（配方法解） 16.（公式法解） 17.（公式法解） 18. (因式分解法) 19.， (因式分 20 (配方法) 22 (求根公式法 23、（4x＋3）(5-x)=0 24、 (x-1)+2x(x-1)=0 25、2x2-4x-5=0 26、－3x2-4x＋4=0（配方法） 27、x(x＋6)=7 28、2（x－3）2＋x2=9 (分解因式法) 29 30 （31） （32） 1.解下列关于的方程 （33） （34） 35、 36、（用配方法） 37、3x2+5(2x+1)=0（用公式法） 38、 专题二： 一元二次方程达标训练 一、填空题（每题2分，共20分） 1.若分式的值为0,则x＝ . 2.已知方程(x+a)(x-3)=0和方程x2-2x-3=0的解完全相同,则a= 3.方程x2＝|x|的根是 . 4.一小球以15 m/s的速度竖直向上弹出,它在空中的高度h( m)与时间t(s)满足关系式:h＝15t－5t2,当t＝ s时,小球高度为10 m,小球所能达到的最大高度为 . 5.已知(x2＋y2－2)(x2＋y2)＝3,则x2＋y2＝ . 6.若a2＋b2＋a－2b＋＝0 ,则＝________________. 7.将方程化成二次项系数为1的一般形式,则一次项系数是__________,常数项是_______________. 8.方程(3x－1)2＝(2－x)2的根是_______________. 9.把化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式后,则a＝ ,b＝ ,c＝ . 10.请写出一个一元二次方程,使其一根为－1,你写的方程是 . 二、选择题（每题2分，共22分） 11.下列方程不是整式方程的是( ) A. B.0.2x2－0.4x3＝0 C. D. 12.在下列方程中,一元二次方程的个数是( ) ①3x2＋7＝0,②ax2＋bx＋c＝0,③(x＋2)(x－3)＝x2－1,④x2－＋4＝0, ⑤x2－(＋1)x＋＝0,⑥3x2－＋6＝0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 13.已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2＋2m－3＝0的一个根为0,则m的值为( ) A.1 B.－3 C.1和－3 D.不等于1的任何数 14.已知2y2＋y－2的值为3，则4y2＋2y＋1值为（ ） A．10 B.11 C.10或11 D.3或1 15.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中,二次项系数,一次项系数,常数项之和为0,则方程必有一根是( ) A.0 B.1 C.－1 D.±1 16.若b(b≠0)是方程x2＋cx＋b＝0的根,则b＋c的值为( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2 17.如图1所示,在正方形的铁片上,截去2cm宽的一个长方形,余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁片的面积是( ) A.81cm2 B.cm2 C.16cm2 D.8cm2 18.若方程x2＋ax－2a＝0的一根为1,则a的取值和方程的另一根分别是( ) A.1,－2 B.－1,2 C.1,2 D.－1,－2 19.若a，b，c为三角形ABC的三边,且a，b，c满足(a－b)(a－c)＝0,则△ABC为( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或等边三角形 20.一元二次方程x2－3x－1＝0与x2－x＋3＝0的所有实数根之和为( ) A.2 B.－4 C.4 D.3 21. 在下列方程中,一元二次方程的个数是( ) ①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-+4=0, ⑤x2-(+1)x+=0,⑥3x2-+6=0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 三、解答题(共58分) 22.（12分）选用适当的方法解下列方程: (1)(3－x)2＋x2＝9; (2)(2x－1)2＋(1－2x)－6＝0; (3)(3x－1)2＝4(1－x)2 ; (4)(x－1)2＝(1－x). 23.（12分）解下列关于x的方程: (1)x2＋(1＋2)x＋3＋＝0; (2)x2－3|x|－4＝0; (3)(x－3)2＋(x＋4)2－(x－5)2＝17x＋24. 24．（5分）已知是方程x2－4x＋C＝0的一个根，求方程的另一个根及C的值. 25.（9分）我们知道一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根x1,x2,则, ，则x1＋x2＝ , x1x2＝ . 请运用上面你发现的结论,解答问题: 已知x1,x2是方程x2－x－1＝0的两根,不解方程求下列式子的值: ①x12＋x22; ②; ③(x1＋1)(x2＋1). 26.（6分）解方程,有一位同学解答如下: 解:这里a＝,b＝,c＝ ∴b2－4ac＝(－ ∴ ∴ 请你分析以上解答有无错误,如有错误,指出错误的地方,并写出正确的结果. 27. （7分）已知等腰三角形两边长分别是x2－8x＋15＝0的两根，求此等腰三角形的周长. 28. （7分）如图2,一个长为15 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的距离为12 m,如果梯子的顶端下滑了1 m,那么梯子的底端也向后滑动1 m吗?试列出方程解答此问题,并论证前面的结论.下载本文
2、请根据以上表格中的观察、发现进一步猜想：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是、，则= ， = ，并加以证明。（学生分组交流、讨论，然后归纳总结）方程 －2x＝0 ＋3x－4＝0 2－5x-7＝0
