1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量

注：⑴空间的一个平移就是一个向量

⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量

⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示

2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下

;;

运算律：⑴加法交换律： 

⑵加法结合律： 

⑶数乘分配律： 

3．平行六面体：

平行四边形ABCD平移向量到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱

4. 平面向量共线定理

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．

向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使＝λ.

要注意其中对向量的非零要求．

5 共线向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．

当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．

6． 共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.

推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式 

．其中向量叫做直线的方向向量.

空间直线的向量参数表示式：

或，

中点公式． 

7．向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量

说明：空间任意的两向量都是共面的

8．共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使

推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使  ①或对空间任一点，有②

或  ③

上面①式叫做平面的向量表达式

9 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使

若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底

推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使

10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：.

11．向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：.

12．向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即．

已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影. 可以证明的长度．

13．空间向量数量积的性质：     

（1）．（2）．（3）．

14．空间向量数量积运算律：

（1）．（2）（交换律）．

（3）（分配律）

空间向量的直角坐标及其运算 

1 空间直角坐标系：

（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；

（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，

分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它

们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；

2．空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．

常见坐标系

①正方体：如图所示，正方体的棱长为，一般选择点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为

亦可选点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与之类似. 

②正四面体：如图所示，正四面体的棱长为，一般选择在上的射影为原点，、（或）、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为

③正四棱锥：如图所示，正四棱锥的棱长为，一般选择点在平面的射影为原点，（或）、（或）、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为

④正三棱柱：如图所示，正三棱柱的底面边长为，高为，一般选择中点为原点，（或）、、（为在上的射影）所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为 

3．空间向量的直角坐标运算律：

（1）若，，则

，

，，

，，

．

（2）若，，则．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

4 模长公式：若，，

则，．

5．夹角公式：．

6．两点间的距离公式：若，，

则，或

空间向量应用

一、直线的方向向量

把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由与确定直线的方向向量是.

平面法向量  如果，那么向量叫做平面的法向量.

法向量的求解:______________________________________________________________________.

二、证明平行问题

1．线线平行：证明两直线平行可用或.

2.线面平行：直线的方向向量为，平面的法向量为，且，若即则.

3.面面平行：平面的法向量为，平面的法向量为，若即则.

三、证明垂直问题

1．线线垂直：证明两直线垂直可用

2．线面垂直：直线的方向向量为，平面的法向量为，且，若即则.

3.  面面垂直：平面的法向量为，平面的法向量为，若即则.

四、求夹角

1．线线夹角：设为一面直线所成角，则：；

；.

2．线面夹角：如图，已知为平面的一条斜线，为平面的一个法向量，过作平面的垂线，连结则为斜线和平面所成的角，记为易得

.

3． 面面夹角：设、分别是二面角两个半平面、的法向量，

当法向量、同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小为；

当法向量、一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角的大小为.

五、距离

1．点点距离：设，， 

2．点面距离：为平面任一点，已知为平面的一条斜线，为平面的一个法向量，过作平面的垂线，连结则为斜线和平面所成的角，记为易得

.

3．线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.设两条异面直线、的公垂线的方向向量为, 这时分别在、上任取、两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线、的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线、的距离.

4．线面距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.

5.面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.下载本文