例1．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式；

（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=，求BN的长；

（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．

变式练习：

1．已知：如图1，一次函数y=mx+5m的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=﹣x的图象交于点C，点C的横坐标为﹣3．

（1）求点B的坐标；

（2）若点Q为直线OC上一点，且S△QAC=3S△AOC，求点Q的坐标；

（3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD=∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P 到直线CD和直线CO的距离相等．

①在图2中，只利用圆规作图找到点P的位置；（保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．）

②求点P的坐标．例2．如图1，已知一次函数y=﹣x+6分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线BC 交x轴负半轴与点C，且OC=OB．

（1）求直线BC的函数表达式；

（2）如图2，若△ABC中，∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，求证：∠AFC=∠ABC；

（3）在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

变式练习：

2．如图，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、

Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO．

（1）点A坐标是，BC=．

（2）当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由．

（3）当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标．课后作业：

1．已知，如图直线y=2x+3与直线y=﹣2x﹣1相交于C点，并且与两坐标轴分别交于A、B 两点．

（1）求两直线与y轴交点A，B的坐标及交点C的坐标；

（2）求△ABC的面积．

2．如图①，直线y=﹣x+1分别与坐标轴交于A，B两点，在y轴的负半轴上截取OC=OB

（1）求直线AC的解析式；

（2）如图②，在x轴上取一点D（1，0），过D作DE⊥AB交y轴于E，求E点坐标．

3．如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），

动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）当M在x轴正半轴移动并靠近0点时，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；当M在O点时，△COM的面积如何？当M在x轴负半轴上移动时，求△COM 的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；请写出每个关系式中t的取值范围；

（3）当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．参：

例1．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）当y=0时，x=﹣5；当x=0时，y=5m，得出A（﹣5，0），B（0，5m），由OA=OB，解得：m=1，即可得出直线L的解析式；

（2）由勾股定理得出OM的长，由AAS证明△AMO≌△ONB，得出BN=OM，即可求出BN的长；

（3）作EK⊥y轴于K点，由AAS证得△ABO≌△BEK，得出对应边相等OA=BK，EK=OB，得出EK=BF，再由AAS证明△PBF≌△PKE，得出PK=PB，即可得出结果．

【解答】解：（1）∵对于直线L：y=mx+5m，当y=0时，x=﹣5，当x=0时，y=5m，

∴A（﹣5，0），B（0，5m），∵OA=OB，∴5m=5，解得：m=1，∴直线L的解析式为：y=x+5；（2）∵OA=5，AM=，∴由勾股定理得：

OM==，

∵∠AOM+∠AOB+∠BON=180°，∠AOB=90°，∴∠AOM+∠BON=90°，

∵∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BON=∠OAM，在△AMO和△OBN中，

，

∴△AMO≌△ONB（AAS）∴BN=OM=；

（3）PB的长是定值，定值为；理由如下：

作EK⊥y轴于K点，如图所示：∵点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，∴AB=BE，∠ABE=90°，BO=BF，∠OBF=90°，∴∠ABO+∠EBK=90°，

∵∠ABO+∠OAB=90°，∴∠EBK=∠OAB，在△ABO和△BEK中，∴△ABO≌△BEK（AAS），∴OA=BK，EK=OB，∴EK=BF，

在△PBF和△PKE中，∴△PBF≌△PKE（AAS），∴PK=PB，

∴PB=BK=OA=×5=．

【点评】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结果．

变式练习：1．【考点】一次函数综合题．

【分析】（1）把点C的横坐标代入正比例函数解析式，求得点C的纵坐标，然后把点C的坐标代入一次函数解析式即可求得m的值，则易求点B的坐标；

（2）由S△QAC=3S△AOC得到点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的3倍或点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍；

（3）①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P；

②如图3，作P1F⊥CD于F，P1E⊥OC于E，作P2H⊥CD于H，P2G⊥OC于G．利用△CAO ∽△DAC，求出AD的长，进而求出D点坐标，再用待定系数法求出CD解析式，利用点

到直线的距离公式求出公式，=，解出a的值即可．

【解答】解：（1）把x=﹣3代入y=﹣x得到：y=2．则C（﹣3，2）．

将其代入y=mx+5m，得：2=﹣3m+5m，解得m=1．则该直线方程为：y=x+5．

令x=0，则y=5，即B（0，5）；

（2）由（1）知，C（﹣3，2）．如图1，设Q（a，﹣a）．∵S△QAC=3S△AOC，

∴S△QAO=4S△AOC，或S△QAO=2S△AOC，

①当S△QAO=4S△AOC时，OA•y Q=4×OA•y C，∴y Q=4y C，即|﹣a|=4×2=8，

解得a=﹣12（正值舍去），∴Q（﹣12，8）；

②当S△QAO=2S△AOC时，OA•y Q=2×OA•y C，∴y Q=2y C，即|﹣a|=2×2=4，

解得a=6（舍去负值），∴Q′（6，﹣4）；综上所述，Q（﹣12，8）或（6，﹣4）．

（3）①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P；

②如图3，作P1F⊥CD于F，P1E⊥OC于E，作P2H⊥CD于H，P2G⊥OC于G．

∵C（﹣3，2），A（﹣5，0），∴AC==2，

∵∠ACD=∠AOC，∠CAO=∠DAC，∴△CAO∽△DAC，∴=，∴AD=，

∴OD=5﹣=，则D（﹣，0）．

设CD解析式为y=kx+b，把C（﹣3，2），D（﹣，0）分别代入解析式得，解得，函数解析式为y=5x+17，设P点坐标为（a，0），

根据点到直线的距离公式，=，两边平方得，（5a+17）2=2×4a2，解得a=﹣5±2，∴P1（﹣5﹣2，0），P2（﹣5+2，0）．【点评】本题考查了一次函数综合题，涉及坐标与图象的关系、待定系数法求函数解析式、角平分线的性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识，综合性较强，值得关注．法二：

例2．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C点的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据角平分线的性质，可得∠FCA=

∠BCA，∠FAE=∠BAE，根据三角形外角的关系，可得∠BAE=∠ABC+∠BCA，∠FAE=

∠F+∠FCA，根据等式的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，分类讨论：AB=AP=10，AB=BP=10，BP=AP，根据线段的和差，可得AB=AP=10时P点坐标，根据线段垂直平分线的性质，可得AB=BP=10时P点坐标；根据两点间的距离公式，可得BP=AP时P点坐标．

【解答】解：（1）当x=0时，y=6，即B（0，6），当y=0时，﹣x+6=0，解得x﹣8，即A （8，0）；

由OC=OB，得OC=3，即C（﹣3，0）；

设BC的函数解析式为，y=kx+b，图象过点B、C，得，解得，

直线BC的函数表达式y=2x+6；

（2）证明：∵∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，

∴∠FCA=∠BCA，∠FAE=∠BAE．∵∠BAE是△ABC的外角，∠FAE是△FAC的外角，∴∠BAE=∠ABC+∠BCA，∠FAE=∠F+∠FCA．∴∠ABC+∠BCA=∠F+∠BCA，

∠ABC=∠F；

（3）当AB=AP=10时，8﹣10=﹣2，P1（﹣2，0），8+10=18，P2（18，0）；

当AB=BP=10时，AO=PO=8，即P3（﹣8，0）；

设P（a，0），当BP=AP时，平方，得BP2=AP2，即（8﹣a）2=a2+62

化简，得16a=28，解得a=，P4（，0），

综上所述：P1（﹣2，0），P2（18，0），P3（﹣8，0）；P4（，0）．

【点评】本题考查了一次函数综合题，（1）利用了函数值与自变量的关系求出A、B、C的值又利用了待定系数法求函数解析式；（2）利用了角平分线的性质，三角形外角的性质，（3）利用了等腰三角形的定义，分类讨论是解题关键．

变式练习：

2．【考点】一次函数综合题。【分析】（1）把x=0和y=0分别代入一次函数的解析式，求出A、B的坐标，根据勾股定理求出BC即可．（2）求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根据点的坐标求出AP=BC，根据全等三角形的判定推出即可．（3）分为三种情况：①PQ=BP，②BQ=QP，③BQ=BP，根据（2）即可推出①，根据三角形外角性质即可判断②，根据勾股定理得出方程，即可求出③．

【解答】解：（1）∵y=x+6，∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=﹣8，即A的坐标是（﹣8，

0），B的坐标是（0，6），∵C点与A点关于y轴对称，∴C的坐标是（8，0），∴OA=8，OC=8，OB=6，

由勾股定理得：BC==10，故答案为：（﹣8，0），10．

（2）当P的坐标是（2，0）时，△APQ≌△CBP，理由是：∵OA=8，P（2，0），∴AP=8+2=10=BC，∵∠BPQ=∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°，

∴∠AQP=∠BPC，

∵A和C关于y轴对称，∴∠BAO=∠BCP，

在△APQ和△CBP中，∴△APQ≌△CBP（AAS），∴当P的坐标是（2，

0）时，△APQ≌△CBP．

（3）分为三种情况：

①当PB=PQ时，∵由（2）知，△APQ≌△CBP，∴PB=PQ，即此时P的坐标是（2，0）；

②当BQ=BP时，则∠BPQ=∠BQP，∵∠BAO=∠BPQ，∴∠BAO=∠BQP，

而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，∴此种情况不存在；

③当QB=QP时，则∠BPQ=∠QBP=∠BAO，即BP=AP，设此时P的坐标是（x，0），

∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2=OP2+OB2，∴（x+8）2=x2+62，解得：x=﹣，即此时P的坐标是（﹣，0）．∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2，0）或（﹣，0）．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，题目综合性比较强，难度偏大．

课后作业：

1．解：（1）当x=0时，y=2x+3=3，则A（0，3）；当x=0时，y=﹣2x﹣1=﹣1，则B（0，﹣1）；

解方程组得，则C点坐标为（﹣1，1）；

（2）△ABC的面积=×（3+1）×1=2．

2．解：（1）y=﹣x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=2，则点A的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，1），∵在y轴的负半轴上截取OC=OB，∴点C的坐标为（0，﹣1），设直线AC的解析式为y=kx+b，把点A（2，0），C（0，﹣1）代入得：解得：∴y=x ﹣1．

（2）由直线AB的解析式为y=﹣x+1，DE⊥AB，设直线DE的解析式为y=x+b，

把D（1，0）代入得：b=0，解得：b=﹣，∴直线DE的解析式为y=x﹣，

当x=0时，y=﹣，∴点E的坐标为（0，﹣）．

3．解：（1）若x=0，则y=2，若y=0，则﹣x+2=0，则x=4，则A的坐标是（4，0），B的坐标是（0，2）；

（2）①M在x轴的正半轴，则S=OM•OC=（4﹣t）×4，即S=﹣2t+8（0≤t＜4）；

②若M在O时，则S=0，此时t=4；③若M在x轴的负半轴，S=（t﹣4）×4，即S=2t

﹣8（t＞4）；

（3）∵OC=OA，∠AOB=∠COM=90°，∴只需OB=OM，则△COM≌△AOB，即OM=2，此时，若M在x轴的正半轴时，t=2，M在x轴的负半轴，则t=6．

故当t=2或6时，△COM≌△AOB，此时M（2，0）或（﹣2，0）．下载本文