一、选择题
1．(2015·附中月考)焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】 本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b＝8，得
b＝4，所以b2＝a2－c2＝16，又e＝＝，解得c＝3，a＝5，又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1，故选C.
【答案】 C
2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意知a＝2c，∴e＝＝＝.
【答案】 A
3曲线＋＝1与＋＝1(0 B．有相等的焦距，不同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对 【解析】 曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B. 【答案】 B 4．已知O是坐标原点，F是椭圆＋＝1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cos∠MON的值为( ) A. B．－ C. D．－ 【解析】 由题意，a2＝4，b2＝3， 故c＝＝＝1. 不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以＋＝1， 解得y0＝±， 所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝＝. 由余弦定理知cos∠MON＝＝＝－. 【答案】 B 二、填空题 5．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________． 【解析】 如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝. 【答案】 6．设AB是椭圆＋＝1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB·kOM＝________. 【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点M，得kAB＝， kOM＝，kAB·kOM＝， b2x＋a2y＝a2b2，b2x＋a2y＝a2b2， 得b2(x－x)＋a2(y－y)＝0，即＝－. 【答案】 － 7．(2014·天津高二检测)已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________． 【解析】 因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2. 【答案】 [1,2] 三、解答题 8．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程． 【解】 (1)∵c＝＝， ∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)． 设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)． ∵e＝＝，c＝，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20， ∴所求椭圆的方程为＋＝1. (2)因椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， ∵2c＝8，∴c＝4， 又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20. ∴椭圆的方程为＋＝1. 9．(2014·菏泽高二检测)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率． 【解】 不妨设A(a,0)，点P在第一象限，由题意，点P的横坐标是，设P，由点P在椭圆上，得＋＝1，y2＝b2，即P，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝＝，所以a＝3b，所以e＝＝＝＝. 1．(2015·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( ) A. B.－1 C．2－ D. 【解析】 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 由题得|PF2|＝＝2c， 即＝2c， 得离心率e＝－1，故选B. 【答案】 B 2．(2014·清远高二期末)“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】 椭圆＋＝1离心率为， 当0 即“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的充分不必要条件． 【答案】 A 3．(2015·济南历城高二期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是________． 【解析】 由＝2，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c， 则离心率e＝. 【答案】 4．(2014·青海省西宁)已知点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF. (1)求点P的坐标； (2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值． 【解】 (1)由已知可得A(－6,0)，B(6,0)，F(4,0)， 设点P的坐标是(x，y)， 则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)． 由已知得 则2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6. 由于y>0，只能取x＝，于是y＝. 所以点P的坐标是. (2)直线AP的方程是x－y＋6＝0. 设点M的坐标是(m,0)， 则M到直线AP的距离是，又B(6,0)， 于是＝|m－6|， 又－6≤m≤6，解得m＝2， 设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有 d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2 ＝2＋15， 由于－6≤x≤6，所以当x＝时，d取最小值.下载本文
