一、选择题（共10题）
1. 化简 的结果是
． ．
． 或 ．
2. 函数 的零点所在的一个区间是
． ． ． ．
3. 方程 的根所在区间是
． ． ． ．
4. 设 ，用二分法求方程 在 内近似解的过程中得 ，，，则方程的根落在
． ． ． ．不能确定
5. 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 的两根，则这个直角三角形的斜边长为
． ． ． ．
6. 已知 是自然对数的底数，函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，则下列不等式中成立的是
． ． ． ．
7. 下列四个函数中，指数函数的个数是
① ，② ，③ ，④ ．
． 个 ． 个 ． 个 ． 个
8. 关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是
． ． ． ．
9. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示，请根据以上数据作出分析，这个经营部将销售单价定为 元时才能获得最大的利润．
\\(\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\\hline 销售单价/元&6&7&8&9&10&11&12\\\\\\hline 日均销售量/桶&480&440&400&360&320&280&240\\\\\\hline\\end{array}\\)
．10.5 ．6.5 ．12.5 ．11.5
10. 已知 ，，那么 的取值范围是
． ．
． ．
二、填空题（共6题）
11. 已知函数 ，，则 ．
12. 设 ， 均为实数，若函数 在区间 上有零点，则 的取值范围是 ．
13. 已知函数 ，若函数有两个零点，则实数 的取值范围是 ；若函数有一个零点，则 的取值范围是 ．
14. 比较下列各数大小
； ．
15. 若函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是 ．
16. 设集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题（共6题）
17. 用分数指数幂的形式表示下列各式．
( ;
( ;
( ;
(．
18. 某种细胞时，每次每个细胞为 个，则 个这样的细胞第 次后变为 个细胞，第 次后就得到 个细胞，第 次后就得到 个细胞 设第 次后就得到 个细胞，求 关于 的函数关系式．
19. 已知函数 （其中 ， 为常数且 ，）的图象经过点 ，．
(1) 求 的解析式；
(2) 若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
20. 我国个人所得税法规定，公民全月收入所得不超过 元不必纳税，超过 元的部分为全月应纳税金额．若应纳税金额在 （元）之间税率为 ，在 （元）之间税率为 ．某职工某月纳税 元，求他的当月工资收入．
21. 某厂生产某种产品 （百台），总成本为 （万元），其中固定成本为 万元，每生产 百台成本增加 万元，销售收入为 （万元）．且 与 之间的函数关系式为：．
假定该产品产销平衡．
(1) 该厂若要不亏本，产量 应控制在什么范围内？
(2) 生产多少台时，可使利润最大？
(3) 求利润最大时产品的售价（保留三位有效数字）．
22. 设函数 其图象恒过定点 ．
(1) 写出定点 的坐标．
(2) 若 在 上的最大值和最小值互为相反数，求 的值．
(3) 若 的图象不经过第二象限，求 的取值范围．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】C
【解析】
【知识点】幂的概念与运算
2. 【答案】C
【解析】因为 在 上为增函效，又 ， ,
所以函数 在区间 上存在零点．
【知识点】零点的存在性定理
3. 【答案】D
【解析】令
因为 在 上是增函数，
且 ，．
所以 的零点在 内，
即方程 的根在 内．
【知识点】零点的存在性定理
4. 【答案】B
【解析】由 ， 可得方程 的根落在 上．
【知识点】二分法求近似零点
5. 【答案】B
【知识点】函数的零点分布
6. 【答案】A
【解析】令 ，则 ，
令 ，则 ，设 ，，，
在同一平面直角坐标系中作出函数 ，， 的图象，如图．
因为函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，
所以 与 图象的交点的横坐标为 ， 与 图象的交点的横坐标为 ，由图象知 ．
【知识点】函数的零点分布
7. 【答案】B
【知识点】指数函数及其性质
8. 【答案】B
【解析】因为 对任意 恒成立，
所以 ．
令 ，
所以 对任意 恒成立等于 对任意 恒成立，
因为 ，
所以 ．
【知识点】恒成立问题、指数函数及其性质
9. 【答案】D
【解析】【分析】设每桶水的价格为元，公司日利润元，然后根据销售利润日均销售量销售单价利润，建立等式关系，然后根据二次函数的性质求出即可．
【解析】解：设每桶水的价格为元，公司日利润元，
则：，
，
，
当时函数有最大值，
因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数模型的应用以及二次函数求最值，利用数学知识解决实际问题是高考中考查的重点．
【知识点】函数模型的综合应用
10. 【答案】A
【知识点】对数函数及其性质
二、填空题（共6题）
11. 【答案】
【解析】由题意得 ，
所以 ，又因为 ，所以 ．
【知识点】对数函数及其性质
12. 【答案】
【知识点】函数的零点分布
13. 【答案】 ；
【知识点】二分法求近似零点
14. 【答案】；
【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质
15. 【答案】
【解析】因为函数 的对称轴为 ，
所以函数 在 上是增函数；
又函数 在 上是增函数，所以 ．
【知识点】函数的单调性、指数函数及其性质
16. 【答案】
【知识点】对数函数及其性质、交、并、补集运算
三、解答题（共6题）
17. 【答案】
(
(
(
(
【知识点】幂的概念与运算
18. 【答案】函数关系式是 ．
【知识点】函数模型的综合应用
19. 【答案】
(1) 由题意得
又 且 ，
所以
所以 ．
(，即 ．
令 ，则 ，
记 ，
由 ，可得 ．
故当 时，函数 取得最小值，最小值为 ．
由题意可得，，
所以 ．
【知识点】指数函数及其性质、函数的最大（小）值
20. 【答案】设月工资收入为 元，则纳税额 与月工资 之间的函数表达式为
，
所以当 时， 元．
【知识点】函数模型的综合应用
21. 【答案】
(1) 由题意，成本函数为 ，
设利润为 （万元），
则利润函数为
要不亏本，即要 ，分段解不等式 ，得 ．
故要不亏本，产量 应控制在 的范围内．
(2) 当 时，从二次函数 的性质可知：
当 时，函数取得最大值 ；
当 时，．
所以取 ，即生产 台时，可使利润最大．
(3) 由（）知当 时，利润最大，设售价为 ．
此时的售价 （万元/百台），
即利润最大时售价为 元/台．
【知识点】函数模型的综合应用
22. 【答案】
(1) 令 ，得 ，故定点 的坐标为 ．
( 在 上为单调函数，
因为 在 上的最大值和最小值互为相反数，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，又 且 ，故 ．
(3) 若 的图象不经过第二象限，则 ，且 ，
所以 ，解得 ，故 的取值范围是 ．
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