李根道1熊中楷2李薇3
（1.吉林大学管理学院，长春130025；
2.重庆大学经济与工商管理学院，重庆400030；
3.重庆邮电大学经济管理学院，重庆400065）
摘要：动态定价作为收益管理的重要手段之一对提高企业收益具有重要作用。本文对收益管理
动态定价问题的几个构成要素进行了分析；对国外动态定价基本模型的研究文献进行了简单的
评述；重点对动态定价的最新研究热点进行了综述并对其发展前景进行了展望；最后介绍了动
态定价在中国的研究现状，旨在推动其在中国的研究与应用。
关键词：收益管理；动态定价；策略性顾客；模型不确定；鲁棒优化
引言
收益管理起源于二十世纪七十年代美国的航空业，经过近三十多年的发展，已经成为管理科学的一个重要分支，并得到广泛应用。现在收益管理已经突破传统应用领域（航空，宾馆，汽车出租等[1]）向其它行业渗透，如广播广告、医疗服务、房地产、交通运输、制造业、体育比赛和娱乐事件管理等[2]。作为收益管理的重要方法，动态定价也随之得到广泛应用。
麦肯锡在对财富1000企业2001年的成本结构的研究中发现，定价是比可变成本、固定成本以及销售量更有力的提升收益的杠杆。在定价方面1%的改进可以平均提高8.6%的营业毛利[3]。Elmaghraby和Keskinocak[4]认为促成动态定价得以广泛应用的因素主要有以下三个：（1）决策者拥有大量销售数据可以用于辅助决策；（2）新技术的采用使价格调整变得更容易；（3）辅助分析需求数据和动态定价决策支持工具逐渐增加。但是确定“正确”的价格仍然是一件非常复杂的事情，不仅要求决策者了解自己的运营成本和库存水平，还要了解顾客的品味以及对价格的反应。因此动态定价策略也受到越来越多的学者关注，他们提出大量价格优化方法。这些动态定价模型又被集成到各种收益优化软件中，应用到多个行业来指导决策者制定更合理的价格从而提高收益[4-6]。
目前已有一些文献从不同角度对动态定价的研究进行了综述。Bitran和Caldentey[7]通过建立一个一般的动态定价模型对当时的研究成果进行了综述，并指出了将来可能的研究方向。文献[4]对考虑库存的动态定价的研究进行综述，并根据可补货/不可补货（R/NR）需求是否随时间变化（D/I）以及顾客是短视的还是策略性的（M/S）将现有文献分成两大类：NR-I（可再细分为NR-I-M和NR-I-S）和R-I-M，同时对目前出现的价格优化软件进行了简单介绍。文献[6]和[8]对电子商务环境下的动态定价研究进行了评述。文献[9]和[10]分别从定价
收稿日期：2008-07-24
基金项目：国家自然科学基金项目（70571088）；重庆市自然科学基金项目（cstc.2006BB0188）；吉林大学基本科研业务经费（2009JC046）。
作者简介：李根道，吉林大学管理学院讲师；熊中楷，重庆大学经济与工商管理学院教授，博士生导师；李薇，重庆邮电大学经济管理学院讲师。
图1收益管理问题图示
与库存决策结合以及定价与生产/采购结合的角度对动态定价模型进行了综述。上述文献都是从更大的范围对动态定价相关研究进行综述。与之不同，本文综述的动态定价模型主要是针对收益管理问题的———销售商要在一定时间内销售固定数量的资源，销售期内不允许补货，销售商通过动态调整价格以使收益最大，并且本文重点针对最近几年发展起来的动态定价的最新研究热点进行评述。本文在对动态定价问题构成要素进行深入分析的基础上，对动态定价基本模型的相关研究进行了梳理；重点归纳总结了收益管理动态定价的最新研究热点并对其发展前景进行了探讨；同时对基于收益管理的动态定价在国内的研究现状进行了回顾，旨在推动其在中国的研究与应用，提高国内企业的定价管理水平。
问题描述
基于收益管理的动态定价问题可以用图1表示：销售商（时装零售商，汽车出租公司等）拥有固定数量的资源，要在一定时间[0,T]内销售由这些资源组成的产品，每种产品都是由一种或几种资源构成的，销售期末产品的残值为零，销售期内不允许补货，销售商通过动态调整每种产品的价格使收益最大。从图1中我们可以看出，从企业的角度来看动态定价问题包含以下几个要素：企业数量、资源、产品、需求、以及决策者对待风险的态度。
1、企业数量
市场中企业的数量决定了竞争的强度。市场中销售同质或相似产品的企业数量越多，竞争就越激烈，企业自主定价的权力就越小。大多数动态定价研究中为了处理方便大都假定企业处于不完全竞争市场，具有垄断定价的能力。但现实往往是市场中存在几个企业进行价格竞争。
2、资源
企业拥有一定数量的资源（resource ）用来满足对价格敏感的需求。这里“资源”是一个广义的概念，例如，可以是某一天某一航班某个航节上的座位数量，也可以是某一天酒店的房间数量等。在收益管理问题中资源的数量是固定的，并且资源具有易逝性，销售期结束后残值为零或很低。企业能力的这些性质决定了企业在短时间内很难通过调整能力来平衡供给与需求，因此初始能力就可以看成是外生变量，采购初始能力的成本也可以看成是沉没成本。这个特点决定了企业只能通过价格或库存分配来平衡供需。
3、产品
产品是由一种或多种资源组成，不同的资源组合构成了不同的产品[11]。定义物料清单矩阵A=[a ij ]，其中a ij 表示生产一单位产品j 消耗的资源i 的数量，A 的每一列表示一种产品。显然，销售商面临的一个很重要的问题就是确定产品组合，不同的产品组合也会对收益产生重要影响。
4、需求
需求是影响企业定价决策的最重要因素。目前对需求建模主要有两种方法：（1）需求是时间和价格等因
选择行为进行建模，两者是整体与个体的关系。由于消费者之间的差异，对消费者选择行为进行建模比较复杂。目前比较常用的方法是假定顾客到达服从一定的随机过程，每个到达的顾客有自己的保留价格，当零售价格低于保留价格时就会购买，否则就会放弃购买，顾客保留价格的分布是已知的。顾客的这种行为被称为“短视的（myopic）”。现实中消费者的购买行为要复杂的多，比如当市场上存在多种可替代的产品时，消费者就面临选择产品的问题。随机效用模型是研究消费者选择问题的常用模型，这是一种基于消费者效用最大的概率模型，其中最常见的是多项Logit模型[1,12]。除此之外，由于动态定价的广泛应用，消费者越来越具有策略性。消费者会等到零售商降价时再购买从而使自己的效用最大，这种行为被称为“策略性行为（strategic behavior）”。
易逝品的需求具有高度的不确定性。目前的研究大都假定需求是随机的（或者假定每个周期的需求是个随机变量，或者假定需求是个随机过程），并且随机需求的信息（即分布函数）是已知的。但现实生活中，由于产品更新换代很快以及消费者品味的变化，我们很难得到随机需求的分布信息，因此决策者面临着需求模型不确定（model uncertainty）的问题。
5、决策者风险态度
决策者在动态定价问题中起着重要作用。根据期望效用理论，决策者对风险有三种不同的态度：风险中性、风险偏好以及风险规避。显然，决策者风险偏好类型的不同会影响到最终的价格策略。传统研究中都假设决策者是风险中性的[13]，但现实中决策者可能是风险规避型的[14-16]。
通过以上分析，我们可以看出收益管理动态定价问题是相当复杂的。综观现有文献，大多数成果都是针对简化后的基本模型进行的研究，即单个垄断企业销售一种产品，顾客是“短视的”，随机需求的分布信息是已知的，并且决策者是风险中性的，如图1粗体部分所表示的内容。下面我们首先对动态定价的基本模型进行介绍，然后再对学者们针对基本模型进行改进而产生的最新研究热点及取得的相关成果进行评述。
动态定价基本模型研究现状
Kincaid和Darling[17]是最早开始研究易逝品连续时间动态定价问题的。但将动态定价与收益管理联系起来的是Gallego和van Ryzin。Gallego和van Ryzin[13]利用强度控制理论系统地研究了易逝品动态定价问题，并开创性地利用动态定价解释了传统的收益管理实践。他们的研究被称为GVR模型，后来的许多研究都是在其基础上发展起来的。Gallego和van Ryzin[13]导出了最优值函数满足的Hamilton-Jacobi方程，并证明：（1）如果需求函数是规则的，则导出的Hamilton-Jacobi方程存在唯一解；（2）最优值函数是库存n和时间t的严格增的凹函数，并且最优价格策略随库存数量的增加而减小随剩余时间的增加而增大。当需求函数为指数形式时，他们解出了闭解；利用相应的确定性问题，得到了随机动态定价问题的上界，并证明当库存足够大并且销售期足够长或库存足够多并且销售率足够大时，固定价格是渐近最优的。之后他们将此基本定价问题从多个方面进行了扩展，包括离散价格，需求是复合泊松过程，时变需求，库存成本和折现率，初始库存作为决策变量以及再供应、取消预订和超售。
以上研究关于价格的连续变化只是理论上的，由于现实生活中价格改变次数有限，所以学者们开始研究有限次价格改变的动态定价问题。基于文献[13]中的一个结论：随着销售数量的增加最多改变一次价格的策略是渐近最优的，Feng和Gallego[18]研究了最优降价/涨价时点的问题，得到了一个关于剩余库存递增的阈值策略，即只要剩余销售时间小于（大于）相应的时间阈值就应该降价（涨价）。Bitran和Mondschein[19]研究了最多只能调整K次价格的周期性定价，并且价格策略是随时间非增的，顾客到达率和顾客保留价格是随时间变化的。他们将此问题构造为一个动态规划问题，每个周期的最优价格都是通过一个非线性规划求解（他们利用Fibonacci算法求解）。他们证明当库存无限多并且顾客的保留价格分布不随时间变化时，固定价格是最优的。文献[19]还考虑了宣布折扣的定价策略，这个策略包括一个初始价格和每个周期固定的价格折扣，并利用数值计算方法对四次价格更新和一个非时变顾客保留价格分布的问题进行了检验。Bitran等[20]将上述单个零售店的定价模型扩展到多个零售店连锁零售的情况，而且各连锁店中产品价格相同，但不同地点的商店面临着各自的泊松需求过程。Bitran等[20]研究了清仓销售的定价策略，利用动态规划对没有库存转移和有库存转
移两种情况进行建模，导出了最优解满足的条件。由于状态空间很大难以求得最优解，提出一种启发式算法来得到近似解，并利用数值模拟和Chilean零售连锁店的八个店的真实数据对算法进行检验，结果显示该算法得到的价格策略明显好于现在应用的价格策略。文献[21]将文献[18]的研究扩展到时变需求率的情况，得到了最优策略满足的条件，并进一步扩展到多个价格的情况。文献[22]在文献[18]的基础上进行了扩展，研究了多个价格并且价格变化只能是单调的情况，得到了解析解。Feng和Xiao[23]研究了可行价格策略集是离散的连续时间最优动态定价问题，证明任何不属于给定价格集合的最大凹包络的价格都不会最优，并导出了最优解的闭解，证明了价格策略的单调性和改变价格的最大次数。Chatwin[24]地研究了与文献[23]相同的问题，得出了类似的结论。
现实生活中，需求往往是随时间变化的。因此，Zhao和Zheng[25]扩展了GVR模型，研究了需求为非时齐泊松过程的情况，证明最优价格在给定时刻随库存数量的增加而减小的性质依然成立，但最优价格策略随时间
>p2，给定顾客会在p2购的单调性不再成立。他们给出了最优价格策略随时间单调的充分条件：对任何价格p
1
买的条件下，该顾客愿意支付p
的条件概率是时间t的增函数。这个条件适用于时令性商品，但对于航空公
1
司等运输服务则不适用。
以上研究都假定需求只受价格影响而与剩余库存水平无关，但对一些产品来说（如时装、食品等），需求不仅受价格的影响还受当前库存水平的影响。Smith和Achabal[26]利用时装零售业的数据对库存水平对需求的影响进行了实证分析，得出了两种带阈值（即当库存低于某一水平时才会影响需求）的需求函数，并首次将库存数量的影响考虑到了零售商的清仓定价决策中，利用最优控制理论研究了在需求关系确定情况下的零售商最优定价策略。Chatwin[24]也分析了需求依赖于库存水平下的动态定价策略，利用反例说明最优价格策略不再具有单调性。
由于动态定价的基本模型相对比较简单，目前大部分研究都集中在基本模型上。以上是对其研究发展脉络进行的简单梳理，更多相关文献请参考其它综述，如文献[4]、[7]等。下面我们主要对最近几年发展起来的关于动态定价的最新研究热点进行评述，并展望各个热点的研究方向。
最新动态定价研究热点及其前景展望
动态定价基本模型的研究已经相对成熟，但基本模型是建立在严格的假设基础之上的。为了使研究更贴近现实，目前国外的研究已经开始对五个构成要素所做的假设进行逐步放松，并形成了收益管理领域新的研究热点。下面我们就对这些最新研究热点进行评述并对其发展前景进行展望。
1、多产品动态定价
多产品动态定价问题又称为网络收益管理，即企业拥有多种资源、生产多种产品并销售给多类顾客。基于库存分配的网络收益管理的研究相对较多[27]，但基于价格决策的网络收益管理的文献相对较少。文献[11]将文献[13]的研究扩展到了多产品的情况，假定需求过程服从时齐的泊松过程，将多产品动态定价问题构造为一个强度控制问题，导出了相应的Hamilton-Jacobi-Bellman方程。类似于单产品问题，该研究利用流体近似（fluid approximation）方法证明确定性问题是相应的随机问题的上界。根据确定性问题的不同解法，提出了执行确定性解的两种方法并证明这两种方法是渐近最优的。虽然用相应的确定问题的解来近似随机问题是渐近最优的，但其前提条件是需求和库存都非常大，这在易逝品销售中是很难达到的。多产品随机动态定价问题的难点在于动态规划的状态空间很大，产生了所谓的“维数灾难”。Bertsimas和de Boer[28]研究了离散时间多产品最优动态定价和库存分配统一模型。假设每种产品的需求只依赖于自己的价格，并采用如下形式的需求函数：
D t i(p t i)=αt i(p t i)+βt i(p t i)Z t i（1）其中Z t
是随机变量。基于上述需求函数，文献[28]提出了基于线性规划的动态规划算法来求解最优策略。Magl i
aras和Meissner[29]提出一种状态空间约减的方法：首先，在每个时刻企业确定一个所有产品的总的消费率；然后在以消费率为约束的条件下计算需求率向量使即时收益最大。第二步类似于微观经济学中的在一定预算约束下的资源分配问题。利用这种方法将动态定价和动态库存控制统一在一个框架下。这样该问题的计算复
几篇论文研究的是多个产品共享资源的情况，Zhang和Cooper[30]研究了多产品多资源动态定价问题的一个特例：多个并列航班的动态定价问题。他们将此问题构造为一个马尔科夫决策过程，并基于三种不同汇总（pooling）（库存汇总、价格汇总以及库存和价格同时汇总）提出计算值函数和价格策略的近似算法。数值实验表明：对于对称问题（顾客对不同航班的选择是无差异的并且航班座位数相同）基于汇总的策略效果很好，但对非对称情况效果不好；而由可分界得到的策略对不同情况效果都比较好，可以用于解决大规模的问题。
通过上面几篇文献可以看出，尽管多产品动态定价的研究起步较早，但进展缓慢。虽然近几年多产品动态定价问题得到一定的重视，但仍有很多问题需要解决。首先，最优价格策略的求解算法仍需进一步研究；其次，当面临多种替代性产品时，消费者如何进行选择以及在动态定价时考虑到这种选择也是需要深入研究的问题；另外，Zhang和Cooper[30]只研究了由价格引起的替代，实际中由于库存数量有限，由库存不足而产生的替代性还缺乏研究。
2、竞争环境下的动态定价
企业的定价行为往往会受到竞争对手的影响，因此企业在制定价格策略的时候不仅要考虑消费者的反应还要考虑竞争对手的反应。Friesz等[31]利用进化博弈理论研究了基于价格决策的网络收益管理问题。假定需求变化率受竞争对手以往价格的移动平均值和企业当前价格的影响，即需求变化率形式如下：
dN f i(t)
dt
=ηf i(t)(πi(t)-πf i(t))，坌i∈S，f∈F，t∈[t0，t1]（2）
N f i(t0)=K f i,0，坌i∈S，f∈F（3）其中
πi=1
│F│(t-t0)
t
t
乙
g∈F
Σπg i(τ)dτ，坌i∈S
F是所有企业的集合，S是所有产品（服务）的集合，πf i(t)是企业f的产品i在t时刻的价格，ηf i（t）是一个系数，t0
和t
1分别表示销售开始时间和终止时间，N f
i
(t)是企业f的产品i在t时刻的总需求。将这个博弈问题构造为一
个可微变分不等式问题，证明可微变分不等式的解就是博弈的Nash均衡，并证明了可微变分不等式解的存在性（也就是Nash均衡的存在性），最后提出一种不动点算法来求解可微变分不等式组的解。
Xu和Hopp[32]在假定顾客到达服从几何布朗运动、顾客是同质的并且需求弹性是固定的情况下，首先研究了单个企业的动态定价问题，得到了最优价格策略的闭解；之后研究了多个企业竞争的情况，证明了价格和库存博弈的弱完美贝叶斯均衡，发现即使在非合作环境下价格均衡也是合作性的，但库存竞争会导致过多的库存并损害收益。Perakis和Sood[33]利用鲁棒优化的方法研究了竞争环境下的动态定价问题。该研究没有假设具体的需求分布函数，而是假设不确定参数在一个给定的闭的凸集内取值，并定义鲁棒策略为最差情况下使收益最大的价格策略。给定其它企业的价格策略，企业的最优反应问题是一个鲁棒优化问题，进一步将此问题转化为变分不等式问题，并证明了变分不等式解的唯一性。之后将市场均衡问题构造为一个联合拟变分不等式问题，并证明了联合拟变分不等式解的存在性。最后提出一种迭代算法来计算均衡策略。事实上文献[33]所提出的价格策略是一种开环控制策略，没有考虑到销售过程中实际剩余库存的影响。
Currie等[34]研究了两个航空公司竞争的情况，假设潜在顾客到达服从非时齐泊松过程，到达率依赖于剩余销售时间，顾客以一定的概率在两个航空公司之间选择购票，这个概率依赖于剩余销售时间和两个航空公司的价格。他们将各航空公司的定价问题构造为一个最优控制问题，给出了存在唯一Nash均衡的条件，并利用变分法来求解均衡解。Kachani等[35]研究了竞争环境下联合动态定价和需求学习问题。价格和需求之间的关系对各企业来说都是事先未知的，企业在销售过程中既要制定价格又要学习需求函数同时还要考虑竞争对手可能的行动。将每个企业每个周期面临的决策问题构造为一个带均衡约束的数学规划问题，利用变分不等式组来刻画博弈均衡问题。
Lin和Sibdari[12]假设顾客到达服从贝努利过程，利用多项logit模型来刻画顾客的选择行为，证明了Nash 均衡的存在性。他们用算例说明在定价时考虑竞争的好处，并提出一种启发式算法计算价格策略，这种算法不需要知道竞争对手的实时库存。Dasci和Karakul[36]研究了竞争环境下动态和静态定价策略对企业利润和均衡
价格的影响。他们假设两个企业库存数量相等，产品完全替代，销售期为两个周期并且两个周期的潜在顾客数
是相同的，第一周期和第二周期顾客愿意支付的价格分别为r
1和r
2
。分别将动态定价问题和静态定价问题构
造为动态博弈和静态博弈，解出了子博弈精练均衡。研究发现：尽管动态定价策略更复杂，但可能会使企业受益也有可能使企业受害，只有当供给严重不足并且第二周期能够产生足够的利润时，才能保证使用动态定价策略能够使企业受益；在均衡中，两个企业尽量使第二周期的库存不同，从而弱化第二周期的竞争。Li和Xiong[37]将GVR模型扩展到两个企业竞争的情况，证明了Nash均衡的存在性。
从现有文献来看，竞争环境下的动态定价研究才刚刚起步，研究还很不成熟。而现实中竞争是普遍存在的，因此在竞争环境下如何进行动态定价决策以增加企业利润仍是需要深入研究的课题。
3、考虑顾客策略性行为的动态定价
由于动态定价的实施，消费者不可避免地要对企业的定价策略做出反应，即决策购买的时间。传统的动态定价研究都假设顾客是“短视的”，这显然不切实际。现在学术界越来越多地关注到了这个问题，一些研究已经将顾客的策略性行为考虑到了动态定价模型中。
为了消除消费者对未来价格的不确定性以及由此带来的购买延迟行为，Levin等[2]提出一种带价格保证的动态定价策略，借鉴期权定价的思想，在设定价格的时候同时提供给顾客一个期权（包括行权价和行权有效期）：当顾客购买产品并购买这个期权后，如果在有效期内产品价格下降顾客会获得补偿，如果这段时间内产品的最低价高于行权价则返还购买价与最低价的差价，否则只返还购买价与行权价的差价。Levin等提出两种方法来计算顾客购买产品的概率和购买期权的条件概率，并将此问题构造为一个离散时间最优控制问题，提出启发式算法进行求解。Su[38]研究了既可以降价也可以涨价的动态定价问题，并考虑了顾客策略性购买行为。从支付意愿和等待意愿两个维度对顾客的异质性进行建模，将顾客分成了四类，证明顾客在支付意愿和等待意愿方面的异质性共同决定了最优价格策略的结构。该研究还证明当高价值顾客不够耐心时，降价策略是有效的；而高价值顾客比低价值顾客更有耐心时，价格应该随时间的消逝而增加从而使等待变得无效。Aviv和Pazgal[39]假定在销售过程中只有一个降价时点T，在之前定高价，之后进行降价，具有策略性行为的顾客到达过程服从泊松过程，顾客对产品的估价服从某一分布。在T时刻之前到达的顾客如果觉得有利可图就会等到T时刻降价时再购买，之后到达的顾客没有动机等待。销售商的问题是如何选择折扣价格使收益最大。证明在固定折扣和临时打折（依赖于当时的库存）两种策略下，T时刻之前到达的顾客的最优策略都是阈值策略，并用数值算例分析了消费者策略性购买行为对企业收益的影响。Elmaghraby等[40]将上述研究扩展到有限次降价，同样研究了只允许降价不允许涨价的情况。在假定购买者数量是确定的，每个顾客有多个单位的需求的情况下，研究了销售商如何设计一个提前公布降价的机制使收益最大的问题。虽然研究的是一般的多周期降价，但研究结果表明只降一次价是最优的。文献[41]研究了销售期为两周期时顾客的策略性行为对零售商定价的影响。文献[42]考虑了顾客策略行为和估价不确定，从Priceline的实际背景出发，将客户自主决定交易价格的思想引入到收益管理中，研究表明顾客异质性影响了服务提供商的动态定价策略。
此外，还有一些研究着重考虑了给定价格的情况下，企业如何将现有库存对策略性顾客进行配给从而使收益最大的问题，这部分研究更多详见文献[43]。总的来看，关于顾客策略性行为的动态定价研究还较少，现有研究大都对该问题进行了不同程度的简化，如假定销售周期只有两个周期或顾客只有两类等。另外现有研究大都假定顾客是完全理性的并且具有完全信息。但实际中顾客往往是有限理性的甚至是不理性的，而且顾客不可能知道产品价格的未来变化轨迹更不可能计算出自己将来能够得到该产品的概率以及期望效用。因此如何对上述问题进行深入理解以及如何在动态定价时考虑顾客的策略性行为仍是值得深入研究的课题。
4、考虑模型不确定的动态定价
因为在实际应用中需求函数往往是通过历史数据统计得到，所以传统的收益管理模型都假定随机需求的分布是已知的。这种先估计需求函数再进行价格优化的方法存在几个问题：（1）需求模型存在估计误差[1]；（2）由相同数据可能拟合出多个不同的需求函数，统计上无法区分，而根据不同需求函数得到的价格决策也不同[44]；（3）需求模型反映的是历史情况，而价格决策关心的是将来的顾客的反应，尤其是在复杂多变的现代社会，新产品层出不穷，顾客的品味也是瞬息万变，因此需要在进行价格优化的过程中考虑到这种模型的不确
求函数的形式是已知的，但其中某（几）个参数是不确定的，利用销售过程中产生的新数据对这些未知参数或其分布进行更新。鲁棒优化就是使最差情况下的收益最大。Aviv和Pazgal[45]将收益管理问题中的不确定性分为五类：（1）顾客到达率不确定；（2）销售期内到达的顾客数量和确切的到达时间不确定；（3）顾客的保留价格的统计特征不确定；（4）每个顾客的购买决策不确定；（5）市场状态不确定。Aviv和Pazga[45]着重研究了市场状态不确定下的动态定价问题，假设市场状态的变化服从一个马尔科夫链，但实际的市场状态是不可观测的，只能根据实际销售情况进行推测。他们将此问题构造为一个部分可观测马尔科夫决策过程，提出了一种基于信息结构修改的算法。Lin[46]假设顾客到达服从时齐泊松过程，但过程的强度是未知的，服从Gamma分布。计算出剩余销售期内的需求服从负二项分布，构造了动态规划模型，提出可变率（variable rate）策略，并用数值实验对该策略的鲁棒性进行了检验。Lim[46]进一步将该研究进行了扩展，分析了未购买产品的顾客不可观测、非时齐到达率和批量购买的情况。以上几篇论文只考虑了顾客到达率的学习，而没有考虑顾客保留价格的学习。Levina等[47]提出一种聚合算法（Aggregation Algorithm）来同时对顾客到达率和顾客保留价格进行学习。文献[48]研究了电子商务环境下信息产品销售过程中对顾客保留价格的学习，但该研究没有考虑库存数量的。不同于以上方法，Bertsimas和Perakis[49]假设需求函数是线性的，但参数是未知的，并且各周期需求是平稳的。根据实际销售数据在每个周期末利用最小二乘法对需求函数进行估计，并将这种估计方法嵌入到动态规划中，提出几种算法来降低状态空间的维数。
与需求学习方法不同，鲁棒优化方法不需要知道随机变量的分布形式。鲁棒优化又分为两种：确定性鲁棒优化和随机鲁棒优化[50]。确定性鲁棒优化只需要知道随机需求的取值范围，研究最差情况下的最优收益。其最早是由Soyster[51]于1973年提出的，但到二十世纪末，确定性鲁棒优化才得到了迅速发展。早期的鲁棒优化研究的都是静态的问题，文献[52][53]各自地研究了动态鲁棒优化问题。现在已有学者试着将确定性鲁棒优化方法应用到动态定价中来。Perakis和Sood[33]利用鲁棒优化方法研究了竞争环境下的动态定价问题。A－dida和Perakis[54]利用鲁棒优化方法研究了按库存生产的制造系统的动态定价与生产策略，提出一种求解算法。这两篇文献仍然利用的是静态鲁棒优化方法，得到的是开环策略。虽然鲁棒优化已经取得了很大进展，但在处理像动态定价这种非线性动态问题时仍缺乏理论基础，需要进一步深入研究；同时如何平衡鲁棒性和最优性也是在价格优化问题中需要研究的课题。
随机鲁棒优化方法要求知道随机变量的一个参考分布，这样就可以充分利用历史数据，因为决策者在制定决策之前往往能够通过历史数据统计得到一个分布。但将来的随机变量的实现值可能不是来自于这个分布，而是与该分布相差不大的其它未知分布。这时如果按统计模型做决策就会面临模型设定错误的风险。随机鲁棒优化方法首先确定可能的分布集合，在这个集合内考虑最差情况下使目标最大。通过调整事先确定的集合的范围来平衡鲁棒性和最优性。随机鲁棒优化现在已经在宏观经济动态模型的研究和金融工程的研究中得到广泛应用[55]。Lim和Shanthikumar[56]首次将随机鲁棒优化应用到动态定价中来，扩展了GVR模型。利用相对熵来刻画模型的不确定，将鲁棒动态定价问题构造为一个二人零和非合作随机微分博弈，证明了值函数的存在性和唯一性，并说明鲁棒动态定价与风险规避动态定价是等价的。文献[57]研究了有限库存无限销售期的零售品鲁棒动态定价问题。应用随机鲁棒优化方法制定价格决策需要首先确定可能的需求分布的集合，而这个集合的确定方法目前尚无专门研究。
由以上分析可以看出，模型不确定是动态定价问题中一个至关重要的问题，相关研究还十分不成熟，仍需进行深入的研究以应对复杂多变的市场环境。同时利用不同方法，如模糊数学等，来刻画模型的不确定也是值得探索的方向。
5、考虑决策者风险偏好的动态定价
在对收益管理问题进行分析的时候我们知道决策者对风险的态度对最优定价决策具有重要影响。传统的研究都假设决策者是风险中性的，但现实中很多决策者可能是风险规避的。一些学者已经开始对风险厌恶型的动态定价进行研究。文献[16]扩展了文献[18]的研究，通过在期望收益中加入一个惩罚项来表示决策者对
风险的态度，得出了具有封闭解的最优定价策略。该研究表明：最优涨价（降价）时点随着决策者风险厌恶程度的增加而延迟（提前）。Levin等[14]通过加入一个机会约束来表示对风险的态度。将此问题构造为一个连续时间最优控制问题，证明了最优解的存在性和唯一性，并提出现实可行的算法来计算最优价格策略。Feng和Xiao[15]利用指数效用函数来表示决策的风险偏好，证明传统收益管理中阈值控制策略与策略的单调性仍然成立；风险规避的决策者倾向于牺牲收益来降低风险。这里需要注意的是，前面提到的文献[56]的鲁棒动态定价与效用函数为指数时的风险规避动态定价是等价的，但这两个问题中决策者的风险偏好是不同的，其中鲁棒动态定价中的决策者是风险中性的，是对模型不确定规避的；后者中的决策者是风险规避的，没有考虑模型不确定。关于风险（risk）与不确定（uncertainty）的差别详见文献[58]。
可以看出，在动态定价决策中考虑风险因素的还比较少，所有研究都是在基本模型的基础上加入了风险因素进行分析。虽然经济理论中已有很多关于风险的研究，但如何将这些理论应用到动态定价中来仍需进一步研究。因此如何在动态定价研究中引入风险管理，并针对具体问题构建综合模型，是今后研究的重要方向之一。
6、综合模型研究
以上各部分的研究都是在基本模型的基础上对某一方面的扩展，而在其它方面仍做与基本模型相同的假设，如在研究多产品时假设企业是垄断的，顾客是短视的等。从图1我们可以看出基于收益管理的动态定价是一个复杂的问题，对该问题进行综合研究更具现实意义。现在已有学者在这方面进行了尝试。Feng和Xiao[59]研究了最优能力分配和动态定价统一决策模型，证明：（1）在任何时刻，只有当某类产品的价格高于一个阈值水平时，才会提供此类产品；（2）与文献[23]类似，最优价格只能存在于构成最大递增凹包络的价格子集中；（3）传统收益管理中的嵌套价格结构不一定成立；（4）最优能力分配和定价策略是基于一个阈值点序列，这个阈值点序列是库存、价格和需求强度的函数。Kachani等[36]在文献[49]的基础上对竞争环境下的考虑需求学习的动态定价进行了深入研究。他们将此问题分解为三步：第一步，假定需求参数是已知，研究市场均衡需求问题；第二步，对固定的需求，估计需求函数的参数；第三步，为将来的销售定价。Levin等[60]研究了考虑策略性顾客的竞争性动态定价。Levin等[61]将聚合学习算法应用到考虑策略性顾客的动态定价中来，并提出一个基于模拟的优化算法来求解最优价格策略。
上述几篇文献将基本模型同时从两个方面进行扩展，使综合动态定价模型的研究向前推进了一步，但离真正的综合模型还有一定的距离，仍需进行更加深入的研究。
动态定价在中国的研究现状
随着国外收益管理研究的深入以及实际应用的推广，国内研究收益管理的学者也在日益增加。但其中大部分研究都集中在基于库存分配的收益管理，而基于价格决策的收益管理研究相对较少。魏轶华和胡奇英[62]扩展了GVR模型，研究了顾客有最大和最小保留价格时的动态定价问题。文献[63]对国内收益管理的研究和应用现状进行了综述，但对动态定价在国内的研究情况较少提及。文献[]研究了航空公司动态定价与舱位控制的统一模型。文献[65]研究了新产品对老产品需求有转移作用下的老产品最优动态定价策略，并应用最大凹向包络理论给出了简化算法的方法。文献[66][67]基于GVR中的两级价格策略，分别构建了两种竞争性产品降价时点设定问题的博弈模型，根据竞争对手地位的不同，分别研究了Cournot博弈与Stackelberg博弈。罗利和彭际华[68]应用随机控制理论和博弈论，研究了竞争市场环境下，两家航空公司的两个航班两级价格动态定价问题，给出了均衡解满足的条件，并分析了模型求解的方法及相关性质。文献[69]将动态定价的思想应用到供应链中，分析了考虑动态定价的渠道协调问题。官振中和史本山[70]研究了有替代关系的产品面临缺货时，应用多项logit选择模型考虑顾客的选择行为下零售商的最优订购量和最优定价联合策略。文献[71]研究了两个并列航班联合动态定价模型。
结论
随着收益管理在航空业和其它行业的成功应用，收益管理理论与实践都得到了不断的发展。动态定价作
地针对每个顾客进行实时定价的能力会成为企业重要的核心竞争力，也是企业生存的底线[72]。本文对基于收益管理的动态定价模型的最新研究进展进行了综述。除了本文提到的研究热点外，一些学者也对动态定价的基本问题做了进一步研究，如文献[73]利用乘法形式的常弹性需求函数讨论了动态定价与动态库存的关系；文献[74]研究了考虑调价成本的最优定价与调价时点问题；文献[75]研究了各周期随机需求相关下的动态定价，等等。虽然关于动态定价的研究日益增多，但其研究还远未成熟，很多问题仍需进一步深入探索，如：顾客的策略性行为、竞争和模型不确定对动态定价策略的影响，动态定价与供应链管理结合，动态定价在不同行业的应用等。另外，决策者的行为在运作管理中得到越来越多的重视[76]，决策者行为对动态定价实施的影响也是值得深入研究的课题。
随着经济的发展，我国很多行业亟待实施科学的动态定价策略。如何使动态定价更好地适用于特定行业以发挥其应有的作用，将先进的理论模型转化为应用技术，并推动相关产业的发展，是国内研究人员和商业人士应该共同关注的研究课题。
参考文献：
[1]Talluri,K.T.and G.van Ryzin.The Theory and Practice of Revenue Management[M].Boston:Kluwer Academic Publishers,2004
[2]Levin,Y.,J.McGill and M.Nediak.Price guarantees in dynamic pricing and revenue management[J].Operations Research,2007,55
(1):75-97
[3]Baker,W.L.,E.M.Lin,V.Marn,et al.Getting prices right on the web[J].The McKinsey Quarterly,2001,(2):54-63
[4]Elmaghraby,W.and P.Keskinocak.Dynamic pricing in the presence of inventory considerations:research overview,current prac－
tices,and future directions[J].Management Science,2003,49(10):1287-1309
[5]Fleischmann,M.,J.M.Hall and D.F.Pyke.Smart pricing:linking pricing decisions with operational insights[R].Erasmus Research
Institute of Management,2004
[6]Heching,A.and Y.T.Leung.Product pricing in the e-business era[M]//C.An,H.Fromm,Supply Chain Management on Demand.
Berlin:Springer,2005
[7]Bitran,G.and R.Caldentey.An overview of pricing models for revenue management[J].Manufacturing&Service Operations Man－
agement,2003,5(3):203-229
[8]Narahari,Y.,C.V.L.Raju,K.Ravikumar,et al.Dynamic pricing models for electronic business[J].Sādhanā,2005,30(2):231-256
[9]Chan,L.M.A,Z.J.M.Shen,D.Simchi-Levi,et al.Coordination of pricing and inventory decisions:a survey and classification[M]//
D.Simchi-Levi,S.D.Wu,Z.J.Shen.Handbook of Quantitative Supply Chain Analysis:Modeling in the E-Business Era.Boston:
Kluwer Academic Publishers,2004
[10]Yano,C.and S.M.Gilbert.Coordinated pricing and production/procurement decisions:a review[M]//A.K.Chakravarty,J.Eliash－
berg.Managing Business Interfaces:Marketing,Engineering and Manufacturing Perspectives.Norwell:Kluwer Academic Publish－ers,2003
[11]Gallego,G.and G.van Ryzin.A multiproduct dynamic pricing problem and its applications to network yield management[J].Op－
erations Research,1997,45(1):24-41
[12]Lin,K.Y.and S.Y.Sibdari.Dynamic price competition with discrete customer choices[J].European Journal of Operational Re－
search,2009,197(3):969-980
[13]Gallego,G and G.van Ryzin.Optimal dynamic pricing of inventories with stochastic demand over finite horizons[J].Management
Science,1994,40(8):999-1020
[14]Levin,Y.,J.McGill and M.Nediak.Risk in revenue management and dynamic pricing[J].Operations Research,2008,56(2):326-
343
[15]Feng,Y.and B.Xiao.A Risk-Sensitive Model for Managing Perishable Products[J].Operations Research,2008,56(5):305-1311
[16]Feng,Y.and B.Xiao.Maximizing revenues of perishable assets with a risk factor[J].Operations Research,1999,47(2):337-341
[17]Kincaid,W.M.and D.A.Darling.An inventory pricing problem[J].Journal of Mathematical Analysis and Application,1963,(7):
183-208
[18]Feng,Y.and G.Gallego.Optimal starting times for end-of-season sales and optimal stopping times for promotional fares[J].
Management Science,1995,41(8):1371-1391
[19]Bitran,G.R.and S.V.Mondschein.Periodic pricing of seasonal products in retailing[J].Management Science,1997,43(1):-79
[20]Bitran,G.,R.Caldentey and S.Mondschein.Coordinating clearance markdown sales of seasonal products in retail chains[J].Op－
erations Research,1998,46(5):609-624
[21]Feng,Y.and G.Gallego.Perishable asset revenue management with markovian time dependent demand intensities[J].Management
Science,2000,46(7):941-956
[22]Feng,Y.and B.Xiao.Optimal policies of yield management with multiple predetermined prices[J].Operations Research,2000,48
(2):332-343
[23]Feng,Y.and B.Xiao.A continuous-time yield management model with multiple prices and reversible price changes[J].Manage－
ment Science,2000,46(5):4-657
[24]Chatwin,R.E.Optimal dynamic pricing of perishable products with stochastic demand and a finite set of prices[J].European Jour－
nal of Operational Research,2000,125(1):149-174
[25]Zhao,W.and Y.S.Zheng.Optimal dynamic pricing for perishable assets with nonhomogeneous demand[J].Management Science,
2000,46(3):375-388
[26]Smith,S.A.and D.D.Achabal.Clearance pricing and inventory policies for retail chains[J].Management Science,1998,44(3):
285-300
[27]Chiang.W.C.,J.C.H.Chen and X.Xu.An overview of research on revenue management:current issues and future research[J].
International Journal of Revenue Management,2007,1(1):97-128
[28]Bertsimas,D.and S.de Boer.Dynamic pricing and inventory control for multiple products[J].Journal of Revenue and Pricing
Management,2005,3(4):303-319
[29]Maglaras,C.and J.Meissner.Dynamic pricing strategies for multiproduct revenue management problems[J].Manufacturing&Ser－
vice Operations Management,2006,8(2):136-148
[30]Zhang,D.and W.L.Cooper.Pricing substitutable flight in airline revenue management[J].European Journal of Operational Re－
search,2009,197(3):848-861
[31]Friesz,T.L.,R.Mookherjee and M.A.Rigdon.An evolutionary game-theoretic model of network revenue management in oligopolis－
tic competition[J].Journal of Revenue and Pricing Management,2005,4(2):156-173
[32]Xu,X.and W.J.Hopp.A monopolistic and ologopolistic stochastic flow revenue management model[J].Operations Research,2006,
54(6):1098-1109
[33]Perakis,G.and A.Sood.Competitive multi-period pricing for perishable products:A robust optimization approach[J].Mathemati－
cal Programming,2006,107(2):295-335
[34]Currie,C.,R.Cheng and H.Smith.Dynamic pricing of airline tickets with competition[J].Journal of the Operational Research So－
ciety,2008,59(8):1026-1037
[35]Kachani,S.,G.Perakis and C.Simon.Modeling the transient nature of dynamic pricing with demand learning in a competitive
environment[M]//T.L.Friesz.Network Science,Nonlinear Science and Infrastructure Systems.New York:Springer,2007
[36]Dasci,A.and M.Karakul.Two-period dynamic versus fixed-ratio pricing in a capacity constrained duopoly[J].European Journal
of Operational Research,2009,197(3):945-968
[37]Li,H.and Y.Xiong.Dynamic pricing of airline tickets in competitive markets[C].The4th International Conference on Wireless
Communications,Networking,and Mobile Computing,DaLian,China,2008
[38]Su,X.Intertemporal pricing with strategic customer behavior[J].Management Science,2007,53(5):726-741
[39]Aviv,Y.and A.Pazgal.Optimal pricing of seasonal products in the presence of forward-looking consumers[J].Manufacturing&
Service Operations Management,2008,10(3):339-359
[40]Elmaghraby,W.,A.Gulcu and P,Keskinocak.Designing optimal preannounced markdowns in the presence of rational customers
with multiunit demands[J].Manufacturing&Service Operations Management,2008,10(1):126-148
[41]Zhang,D.and W.L.Cooper.Managing clearance sales in the presence of strategic customers[J].Production and Operations Man－
agement,2008,17(4):416-431
[42]Peng,Z.and Y.Xiong.Pricing strategy of service provider under buyer-driven pricing model[C].The4th International Conference
on Wireless Communications,Networking,and Mobile Computing,DaLian,China，2008
－ties[J].Production and Operations Management,2007,16(6):713-728
[44]Kalyanam,K.Pricing decisions under demand uncertainty:a Bayesian mixture model approach[J].Marketing Science,1996,15
(30):207-221
[45]Aviv,Y.and A.Pazgal.A partially observed markov decision process for dynamic pricing[J].Management Science,2005,51(9):
1400-1416
[46]Lin,K.Y.Dynamic pricing with real-time demand learning[J].European Journal of Operational Research,2006,174(1):522-538
[47]Levina,T.,Y.Levin,J.McGill,et al.Dynamic pricing with online learning of general reservation price distribu tion[C].Proceed－
ings of INCOM2006:12th IFAC Symposium on Information Control Problems in Manufacturing.Saint-Etienne：France,2006
[48]Cope,E.Bayesian strategies for dynamic pricing in E-commerce[J].Naval Research Logistics,2007,54:265-281
[49]Bertsimas,D.and G.Perakis.Dynamic pricing:a learning approach[M]//S.Lawphongpanish,D.W.Hearn,M.J.Smith.Applied
Optimization.Regionalwissenschaften:Springer,2006
[50]Lim,A.E.B.,J.G.Shanthikumar and Z.J.M.Shen.Model uncertainty,robust optimization and learning[M]//G.Paul.Tutorials in
Operations Research.Pittsburgh:INFORMS,2006
[51]Soyster,A..Convex programming with set-inclusive constraints and application to inexact linear programming[J].Operations Re－
search,1973,21(5):1154-1157
[52]Nilim,A.and L.E.Ghaoui.Robust control of markov decision processes with uncertain transition matrices[J].Operations Research,
2005,53(5):780-798
[53]Iyengar,G.N.Robust dynamic programming[J].Mathematics of Operations Research,2005,30(2):257-280
[54]Adida,E.and G.Perakis.A robust optimization approach to dynamic pricing and inventory control with no backorders[J].Mathe－
matical Programming,2006,107(2):97-129
[55]Hansen,L.P.and T.J.Sargent.Robustness[M].New Jersey:Princeton University Press,2008
[56]Lim,A.E.B.and J.G.Shanthikumar.Relative entropy,exponential utility,and robust dynamic pricing[J].Operations Research,
2007,55(2):198-214
[57]Li,G.,Y.Xiong,Z.Xiong.Robust dynamic pricing over infinite horizon in the presence of model uncertainty[J].Asia-Pacific Jour－
nal of Operational Research,2009,26(6):779-804
[58]Knight,F.Risk,Uncertainty and Profit[M].Boston:Houghtion Mifflin,1921
[59]Feng,Y.and B.Xiao.Integration of pricing and capacity allocation for perishable products[J].European Journal of Operational
Research,2006,168(1):17-34
[60]Levin,Y.,J.McGill and M.Nediak.Dynamic pricing in the presence of strategic consumers and oligopolistic competition[J].
Management Science,2009,55(1):32-46
[61]Levin,T.,Y.Levin,J.McGill,et al.Dynamic pricing with online learning and strategic consumers:An application of the aggre－
gating algorithm[J].Operations Research,2009,57(2):327-341
[62]魏轶华,胡奇英.顾客有最大、最小保留价格的连续时间收益管理[J].管理科学学报,2002,6(6):47-52
[63]罗利,萧柏春.收入管理理论的研究现状及发展前景[J].管理科学学报,2004,7(5):75-83
[]李晓花,萧柏春.航空公司收入管理价格与舱位控制的统一分析[J].管理科学学报,2004,7(6):63-69
[65]罗利,俞言兵,刘德文.基于需求转移的易逝性产品最优动态定价策略[J].管理工程学报,2006,20(2):38-42
[66]杨慧,周晶.易逝品降价时点设定问题的Cournot博弈模型[J].中国管理科学,2006,14(4):45-50
[67]杨慧,周晶.易逝性产品降价时点的Stackelberg博弈[J].管理工程学报,2007,21(3):155-158
[68]罗利,彭际华.竞争环境下的民航客运收益管理动态定价模型[J].系统工程理论与实践,2007,(11):15-25
[69]熊中楷,李根道,唐颜昌等.网络环境下考虑动态定价的渠道协调问题研究[J].管理工程学报,2007,21(3):49-55
[70]官振中,史本山.基于顾客选择模型易逝性产品收益管理订购和定价策略[J].系统工程理论与实践,2007,(9):947-53
[71]肖勇波,陈剑,刘晓玲.基于乘客选择行为的双航班机票联合动态定价模型[J].系统工程理论与实践,2008,(1):46-55
[72]Sahay,A.How to reap higher profits with dynamic pricing[J].MIT Sloan Management Review,2007,48(4):53-60
[73]Monahan,G.E.,N.C.Petruzzi and W.Zhao.The dynamic pricing problem from a newsvendor,s perspective[J].Manufacturing&
Service Operations Management,2004,6(1):73-91
[74]Netessine,S.Dynamic pricing of inventory/capacity with infrequent price changes[J].European Journal of Operational Research,
2006,174(1):553-580
[75]Gupta,D.,A.V.Hill and T.Bouzdine-Chameeva.A pricing model for clearing end-of-season retail inventory[J].European Jour－
nal of Operational Research,2006,170(2):518-540
[76]Gino,F.and G.Pisano.Toward a theory of behavioral operations[J].Manufacturing&Service Operations Management,2008,10
(4):676-691
Review of studies on dynamic pricing in revenue management
Li Gendao1,Xiong Zhongkai2and Li Wei3
(1.School of Management,Jilin University,Changchun130025;
2.School of Economics and Business Administration,Chongqing University,Chongqing400030;
3.College of Economics and Management,Chongqing University of Posts and Telecommunications,Chongqing400065)
Abstract:Dynamic pricing policy which is an important tool in revenue management has a significant impact on companies’revenue. Several elements in dynamic pricing problem are analyzed first,and then,the research and results in the basic dynamic pricing model are reviewed briefly.The key point of this paper is to review the most recent focus in dynamic pricing policies in detail and their related future research issues.At last,we review the development of dynamic pricing in China,aiming to improve the research and application of dynamic pricing in Chinese companies.
Key words:revenue management,dynamic pricing,strategic consumer,model uncertainty,robust optimization下载本文
