A. ｛x|0＜x≤｝
B. ｛x|≤x＜4｝
C. ｛x|4≤x＜5｝
D. ｛x|0＜x≤5｝
2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3.已知，则z=
A.-1-i
B. -1+i
C. -+i
D. --i
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（≈1.259）
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
5.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为
A.
B.
C.
D.
6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是
A.
B.
C.
D.
7.等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙:｛Sn｝是递増数列，则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B, C三点，且A，B,C在同一水平而上的投影A’,B’，C'满足.由c点测得B点的仰角为15°，曲，与的差为100 :由B点测得A点的仰角为45°，则A,C两点到水平面的高度差约为
A.346 B.373 C. 446 D.473
9.若,，则
A. B. C. D.
10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0 不相邻的概率为
A. B. C. D.
11.已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为
A. B. C. D.
12.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当时，.若,则
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线在点（-1，-3）处的切线方程为________。
14.已知向量a=(3,1)，b=(1,0)，，若a⊥c，则k=_________。
15.已知F1，F2为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的两点，且，则四边形PF1QF2的面积为__________。
16.已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为_________。
三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. （12 分)
甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
⑵能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
18. (12 分)
已知数列{an｝的各项均为正数，记Sn为{an｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
1数列{an｝是等差数列：②数列{｝是等差数列；③a2=3a1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
19. (12分)
已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形, AB= BC = 2, E, F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.
(1)证明：BF⊥DE；
⑵ 当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
20. （12分）
抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点, 且OP丄OQ.已知点M（2,0）,且M与L相切，
（1）求C , M的方程；
（2）设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1 A2, A1 A3均与 M相切，判断A2A3与M的位置关系，并说明理由.
21. （12 分）
己知a＞0且a≠1，函数f（x）=（x＞0），
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）若曲线y= f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. ［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=2cosθ.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点P满足 = ,写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.
23.[选修4一5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|.
（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；
（2）若f（x+a）≥g（x）,求a的取值范围.
2021年全国甲卷理科数学真题及答案
选择：
1、B
2、C
3、B
4、C
5、A
6、D
7、B
8、B
9、A
10、C
11、A
12、D
填空：
13：5x-y+2=0
14：
15：8
16：2
大题：
17：（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：150/200=3/4
乙机床生产的产品中一级品的频率是：120/200=3/5
（2）由于
所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。
18：情况一：选择①③为条件，即数列为等差数列，且
证明：设等差数列的公差为d，由题意可知，＞0，d＞0，且=
所以，d=2，所以
所以=(n*2n)/2=
所以=n，=(n+1)
=，为常数，所以数列为等差数列。
情况二：选择①②为条件。
证明：设等差数列的公差为d，则 d＞0
因为为等差数列，所以，即
等式两边平方得：4=
即：
等式两边平方：=0
也就是：=0，即d=2a1，所以a2=a1+d=3a1
情况三：选择②③为条件。
证明：因为为等差数列，且＞0，所以可设=Kn+b（k＞0）
其中k,b为常数，kn+b＞0对任意n属于成立
所以：=，=
N大于等于2时，
又因为a2=3a1，所以3=3，解得b=0或者4k+3b=0
当b=o时，a1=，n大于等于2时，，n=1时同
所以，所以数列为等差数列。
当4k+3b=0时，b=4/3k，=K+b=-1/3k＜0，舍去。
综合，数列为等差数列
19：
（1）直棱柱ABC-A1B1C1，侧面AA1B1B为正方形
所以A1B1=B1B=AB=BC=2
所以侧面BB1C1C为正方形
取BC中点M，连接B1M和EM
因为F为CC1重点，所以B1M⊥BF
由已知BF⊥A1B1
且A1B1B1M=B1
所以BF⊥平面A1B1M
由于E为AC中点，所以EM∥A1B1
所以EM平面A1B1M，所以BF⊥DE
（2）由（1）可知，A1B1⊥BF，且A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面B1BCC1
以B为原点，BC，BY，BB1为xyz轴建立空间直角坐标系
设C（2，0，0），A（0，-2，0），B1（0，0，2）
C1（2，0，2），A1（0，-2，2），E（1，-1，0），F（2，0，1），D（0，n，2）
则向量EF=（1，1，1），向量FD=（-2，n，1）
设向量m⊥平面BB1C1C，则向量m=（0，1，0）
向量n⊥平面DEF，则向量n=（x，y，z）
由： 得：得：
得：=（n-1，3，-n-2）
设平面BB1C1C与平面DEF所称角为Q
cosQ=|cos<>|==
设==
所以，当n=-1/2时，cosQ最大为=
此时sinQ 最小为
所以，当B1D=1/2时，sinQ最小为
20：
（1）由题可得，C：，p＞0，点P（1，，Q（1，）
因为OP⊥OQ，所以1-2P=0，2P=1，所以抛物线C为：
M（2，0），L：x=1且圆M与L相切，所以圆M的方程为：
（2）设A1（）， A2（）， A3（）
由抛物线及圆M对称性，不妨设＞0
①若A1A2，A1A3中有一条切线斜率不存在，不妨设为A1A2
则：A1（3，），A2（3，-），设A1A3：y-=k（x-3）
即kx-y-3k+=0
因为A1A3与圆M相切，所以=1
解得：k=
即====
所以，即A3（0，0）
此时，直线A2A3与A1A3关于x轴对称，所以直线A2A3与圆M相切。
②若A1A2，A1A3斜率均存在，则且，
==
直线A1A2：y-=，即x-(
同设A1A3：x-()y+=0，直线A2A3：x-(
因为直线A1A2，A1A3均与圆M相切，
所以，，即：
所以、关于y的方程：即=0的两个根
所以：，
设M到直线A2A3距离为d
则==1
所以直线A2A3与圆M相切
21：
（1）f(x)定义域为（0，+∞）
因为a>0且a≠1，所以f’(x)=，且lna≠0
所以f’(x)==
当a=2时，f’(x) =
所以f(x)增区间为（0，，减区间为（
(2)题目等价于f(x)=1在（0，上有且只有两个解
当0 所以f’(x)＞0，所以f(x)=1至少有一个解，所以a＞1 此时lna>0，＞0，将f(x)定义域改为[0，+∞ 此时f(0)=0 f()==>1= 又y=(a>1)在（0，+∞）上↑，所以 得到（lna>ln(lna)，得到lna-1>ln(lna)（*） 令g(x)=x-1-lnx，x∈（0，+∞） g’(x)=1-0-1/x=(x-1)/x 所以g(x)≥g(1)=1-1-ln1=0 由a>1得到lna>0，得到：g(lna)≥0 所以，f( 所以，a>1且a≠e 令b=，又a>1，所以b＞1 则f(x)== 由贝努力不等式得：=>= 当x>max时， 所以，∈（0，1），得到f(x)∈（0，1） 由f(x)单调性可知：f(x)=1，在（0，和（，+∞）上各有一解。 综上，a取值范围为（1，e）∪（e，+∞） 22： （1）=2，得到：2 即：C：0 （2）C： 设P（，则向量AP= （ 向量AM=AP=（，） 所以向量DM=向量OA+向量AM=（，） 又因为M在上，所以 即： 所以，C1： C1：，Q∈R 圆心距CC1=3=3 半径分别为2和 因为3，所以C在圆C1内部，没有公共点。 23： 当x时，2x+30，2x-1 g(x)=-(2x+3)+(2x-1)=-4 当时，2x+3，2x-1 g(x)=2x+3+2x-1=4x+2 当x时，2x+3，2x-1 g(x)=2x+3-(2x-1)=4 （2）f(x+a)g(x)|x+a-2|g(x)|2-a+a-2|g(2-a) g(2-a)0 有图像可知2-aa a+3f(+a)g()a+4a 下证当a时，f(x+a)g(x) 当x，g(x)0f(x+a) 当x时，g(x)=4x+a x+a+a+=5f(x+a)=|x+a-2|=x+a-2 x+a-2-（4x-2）=a-3x-4≥ 综上，a取值范围为[，+∞)下载本文
