1.规定:a※b=(b+a)×b,那么(2※3)※5= 。
2.如果a△b表示,例如3△4,那么,当a△5=30时, a= 。
3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= 。
4.已知a,b是任意有理数,我们规定: a⊕b= a+b-1, ,那么 。
5.x为正数, 6.如果a⊙b表示,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时, x= 。 7.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5= 。 8.规定一种新运算“※”: a※b=.如果(x※3)※4=421200,那么x= 。 9.对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”，规定:x※y=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是 。 10.设a,b为自然数,定义a△b。 (1)计算(4△3)+(8△5)的值； (2)计算(2△3)△4； (3)计算(2△5)△(3△4)。 11.设a，b为自然数，定义a※b如下:如果a≥b，定义a※b=a-b，如果a (2)这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说，下面两式是否成立?①a※b= b※a;②(a※b)※c= a※(b※c)。 12.设a,b是两个非零的数,定义a※b。 (1)计算(2※3)※4与2※(3※4)。 (2)如果已知a是一个自然数，且a※3=2,试求出a的值。 13.定义运算“⊙”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b。比如:10和14，最小公倍数为70，最大公约数为2，则10⊙14=70-2=68。 (1)求12⊙21,5⊙15； (2)说明，如果c整除a和b,则c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b，则c也整除b； (3)已知6⊙x=27,求x的值。 答案 一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）规定：a※b=（b+a）×b，那么（2※3）※5= 100 ． 所以，（2※3）※5=15※5=（5+15）×5=100， 故答案为：100． 2．（3分）如果a△b表示（a﹣2）×b，例如3△4=（3﹣2）×4=4，那么，当a△5=30时，a= 8 ． 所以，（a﹣2）×5=30， 5a﹣10=30， 5a=40， a=8， 故答案为：8． 3．（3分）定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b．例如：4△6=（4，6）+[4，6]=2+12=14．根据上面定义的运算，18△12= 42 ． 所以，18△12=（18，12）+[18，12]=6+36=42； 故答案为：42． 4．（3分）已知a，b是任意有理数，我们规定：a⊕b=a+b﹣1，a⊗b=ab﹣2，那么4⊗[（6⊕8）⊕（3⊗5）]= 98 ． =4⊗[（6+8﹣1）⊕（3×5﹣2）]， =4⊗[13⊕13]， =4⊗[13+13﹣1]， =4⊗25， =4×25﹣2， =98， 故答案为：98． 5．（3分）x为正数，＜x＞表示不超过x的质数的个数，如＜5.1＞=3，即不超过5.1的质数有2，3，5共3个．那么＜＜19＞+＜93＞+＜4＞×＜1＞×＜8＞＞的值是 11 ． ＜93＞为不超过的质数，共24个， 并且，＜1＞=0， 所以，＜＜19＞+＜93＞+＜4＞×＜1＞×＜8＞＞， =＜＜19＞+＜93＞＞， =＜8+24＞， =＜32＞， =11， 故答案为：11． 6．（3分）如果a⊙b表示3a﹣2b，例如4⊙5=3×4﹣2×5=2，那么，当x⊙5比5⊙x大5时，x= 6 ． （3x﹣2×5）﹣（3×5﹣2x）=5， 5x﹣25=5， x=6， 故答案为：6． 7．（3分）如果1※4=1234，2※3=234，7※2=78，那么4※5= 45678 ． 所以4※5=45678； 故答案为：45678． 8．（3分）我们规定：符号○表示选择两数中较大数的运算，例如：5○3=3○5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3． 请计算：= ． 0.625△=△=， △=△=， О2.25=О=， 所以：==； 故答案为：． 9．（3分）规定一种新运算“※”：a※b=a×（a+1）×…×（a+b﹣1）．如果（x※3）※4=421200，那么x= 2 ． 又因为，421200=24×34×52×13=24×25×26×27， 所以，y=24，即x※3=24， 又因为，24=23×3=2×3×4， 所以，x=2； 故答案为：2． 10．（3分）对于任意有理数x，y，定义一种运算“※”，规定：x※y=ax+by﹣cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1※2=3，2※3=4，x※m=x（m≠0），则m的数值是 4 ． 所以bm=0，又m≠0，故b=0， 因此x※y=ax﹣cxy， 由1※2=3，2※3=4，得， 解得a=5，c=1， 所以x※y=5x﹣xy，令x=1，y=m， 得5﹣m=1， 故m=4； 故答案为：4． 二、解答题（共4小题，满分0分） 11．设a，b为自然数，定义a△b=a2+b2﹣ab． （1）计算（4△3）+（8△5）的值； （2）计算（2△3）△4； （3）计算（2△5）△（3△4）． =（42+32﹣4×3）+（82+52﹣8×5）， =1++49， =62； （2）（2△3）△4， =（22+32﹣2×3）△4， =7△4， =72+42﹣7×4， =37； （3）（2△5）△（3△4）， =（22+52﹣2×5）△（32+42﹣3×4）， =19△13， =192+132﹣19×13， =283； 答：（1）62，（2）37，（3）283． 12．设a，b为自然数，定义a※b如下：如果a≥b，定义a※b=a﹣b，如果a＜b，则定义a※b=b﹣a． （1）计算：（3※4）※9； （2）这个运算满足交换律吗？满足结合律吗？也是就是说，下面两式是否成立？①a※b=b※a；②（a※b）※c=a※（b※c）． （2）要证明这个运算是否满足交换律和满足结合律，也就是证明 ①和 ②这两个等式是否成立． （2）因为表示a※b表示较大数与较小数的差，显然a※b=b※a成立，即这个运算满是交换律， 但一般来说并不满足结合律，例如：（3※4）※9=8，而3※（4※9）=3※（9﹣4）=3※5=5﹣3=2， 所以，这个运算满足交换律，不满足结合律； 答：这个运算满足交换律，不满足结合律． 13．设a，b是两个非零的数，定义a※b=． （1）计算（2※3）※4与2※（3※4）． （2）如果已知a是一个自然数，且a※3=2，试求出a的值． 于是（2※3）※4=※4=， 2※（3※4）=2※； （2）由已知得① 若a≥6，则≥2，从而与①矛盾， 因此a≤5，对a=1，2，3，4，5这5个可能的值， 一一代入①式中检查知， 只有a=3符合要求． 14．定义运算“⊙”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b．比如：10和14，最小公倍数为70，最大公约数为2，则10⊙14=70﹣2=68． （1）求12⊙21，5⊙15； （2）说明，如果c整除a和b，则c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b，则c也整除b； （3）已知6⊙x=27，求x的值． （2）根据整除的定义及公约数、最大公约数与最小公倍数之间的关系进行说明； （3）由于运算“⊙”没有直接的表达式，解这个方程有一些困难，我们设法逐步缩小探索范围，即根据6与x的最小公倍数不小于27+1，不大于27+6，由此即可得出答案． 所以，12⊙21=84﹣3=81， 同样道理5⊙15=15﹣5=10； （2）如果c整除a和b，那么c是a和b的公约数，则c整除a，b的最大公约数，显然c也整除a，b最小公倍数， 所以c整除最小公倍数与最大公约的差，即c整除a⊙b， 如果c整除a和a⊙b，由c整除a推知c整除a，b的最小公倍数， 再由c整除a⊙b推知，c整除a，b的最大公约数，而这个最大公约数整除b， 所以c整除b； （3）因为6与x的最小公倍数不小于：27+1=28，不大于：27+6=33， 而28到33之间，只有30是6的倍数， 可见6和x的最小公倍数是30， 因此，它们的最大公约数是30﹣27=3， 由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”， 得到：30×3=6×x， 6x=90， x=15， 所以x的值是15．考点： 定义新运算。1665141 分析： 根据a※b=（b+a）×b，得出新的运算方法，再根据新的运算方法解答（2※3）※5的值． 解答： 解：因为，2※3=（3+2）×3=15， 点评： 解答此题的关键是，根据所给的等式，找出新的运算方法，再运用新的运算方法，解答出要求式子的值． 考点： 定义新运算。1665141 分析： 根据“a△b表示（a﹣2）×b，3△4=（3﹣2）×4=4，”得出新的运算方法，再用新的运算方法计算a△5=30，即可写成方程的形式，解此方程得出a的值． 解答： 解：因为，a△5=30， 点评： 解答此题的关键是根据题意找出新运算方法，再根据新运算方法解答即可． 考点： 定义新运算。1665141 分析： 根据新运算知道，求18△12，就是求18和12的最大公约数与最小公倍数的和，由此即可解答． 解答： 解：因为，18和12的最大公约数是6，最小公倍数是36， 点评： 解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可． 考点： 定义新运算。1665141 分析： 根据a⊕b=a+b﹣1，a⊗b=ab﹣2，得出新的运算方法，再运用新的运算方法计算4⊗[（6⊕8）⊕（3⊗5）]的值． 解答： 解：4⊗[（6⊕8）⊕（3⊗5）]， 点评： 解答此题的关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，用新运算方法解答即可． 考点： 定义新运算。1665141 分析： 根据题意，先求出不超过19的质数的个数，再求出不超过93的质数的个数，而不超过1的质数的个数是0，所以＜4＞×＜1＞×＜8＞的值是0，因此即可求出要求的答案． 解答： 解：因为，＜19＞为不超过19的质数，有2，3，5，7，11，13，17，19共8个， 点评： 解答此题的关键是，根据题意，找出新的符号表示的意义，再根据定义的新运算，找出对应量，解答即可． 考点： 定义新运算。1665141 分析： 根据所给的运算方法，将x⊙5比5⊙x大5写成方程的形式，解答方程即可． 解答： 解：由x⊙5﹣5⊙x=5，可得： 点评： 解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即可． 考点： 定义新运算。1665141 分析： 根据“1※4=1234，2※3=234，7※2=78”，得出新的运算方法：※的前一个数字是等号后面数的第一个数字，※后面的数字表示连续数的个数，是从※前面的数开始连续，然后运用新的运算方法计算4※5的值即可． 解答： 解：由于1※4=1234，2※3=234，7※2=78， 点评： 解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答即可． 考点： 定义新运算。1665141 分析： 根据符号○表示选择两数中较大数的运算，符号△表示选择两数中较小数的运算，得出新的运算方法，用新的运算方法，计算所给出的式子，即可得出答案． 解答： 解：○=○=， 点评： 解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，解答即可． 考点： 定义新运算。1665141 分析： 先根据“a※b=a×（a+1）×…×（a+b+1）”，知道新运算“※”的运算方法，由于（x※3）※4=421200，这个式子里有两步新运算，所以令其中的一步运算式子为y，再根据新的运算方法，由此即可求出要求的答案． 解答： 解：令x※3=y，则y※4=421200， 点评： 解答此题的关键是，根据新运算方法的特点，只要将整数写成几个自然数连乘的形式，即可得出答案． 考点： 定义新运算。1665141 分析： 根据x※y=ax+by﹣cxy，找出新的运算方法，根据新的运算方法，将1※2=3，2※3=4，x※m=x写成方程的形式，即可解答． 解答： 解：由题设的等式x※y=ax+by﹣cxy及x※m=x（m≠0），得a•0+bm﹣c•0•m=0， 点评： 解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即可． 考点： 定义新运算。1665141 分析： 根据“a△b=a2+b2﹣ab”得出新的运算方法，然后运用新的运算方法进行计算即可． 解答： 解：（1）（4△3）+（8△5）， 点评： 解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答即可． 考点： 定义新运算。1665141 分析： （1）根据“如果a≥b，定义a※b=a﹣b，如果a＜b，则定义a※b=b﹣a，”得出新的运算方法，再利用新的运算方法计算（3※4）※9的值即可； 解答： 解：（1）（3※4）※9=（4﹣3）※9=1※9=9﹣1=8； 点评： 解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再根据新的运算方法解答即可． 考点： 定义新运算。1665141 分析： （1）根据a※b=，找出新的运算方法，再根据新的运算方法，计算（2※3）※4与2※（3※4）即可；（2）根据新运算方法将a※3=2，转化成方程的形式，再根据a是自然数，即可求出a的值． 解答： （1）按照定义有2※3=，3※4=， 点评： 解答此题的关键是根据所给的式子，找出新运算的运算方法，再用新运算方法计算要求的式子即可． 考点： 定义新运算。1665141 分析： （1）根据新的定义运算，先求出12与21的最小公倍数和最大公约数，5与15的最小公倍数和最大公约数，问题即可解决； 解答： 解：（1）因为，12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84，3， 点评： 解答此题的关键是，根据定义新运算，得出新的运算意义，再利用新的运算意义和运算方法，解答即可．
