课程编号： 08101050 课程性质： 大类平台必修

课程名称：

数学分析（下） 学时/学分： 80 /5 英文名称： Mathematical Analysis

考核方式： 闭卷 选用教材： 《数学分析》，陈传璋 金福临等，高等教育出版社

大纲执笔人： 李建奎 先修课程： 数学分析 （上），数学分析 （中）

大纲审核人： 孙龙祥 适用专业： 数学与应用数学专业、信息与计算科学专业

一、 教学基本目标 数学分析是数学系最重要的基础课.它对后继课程(微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、泛函分析)与近代数学的学习与研究具有非常深远的影响和至关重要的作用.通过本课程的学习，使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、基本方法，培养学生运用所学的理论和方法分析和解决问题的能力，为后继课打下坚实的基础。

二、教学基本内容

第二部分 多变量微分学

第十四章 偏导数和全微分

本章学习要求：

1、 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，理解全微分存在的必要条件和充分条件，理解全微分形成的不变性。

2、 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

3、 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

4、 会求多元隐函数的偏导数。

5、 理解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

6、理解二元函数的二阶泰勒公式。

本章学习内容：

§1. 偏导数和全微分的概念

一、偏导数和全微分的概念

二、全微分的定义

三、高阶偏导数与高阶全微分

§2. 求复合函数偏导数的链式法则

§3. 由方程（组）所确定的函数的求导法

一、 一个方程0),,(=z y x F 的情形

二、 方程组的情形

§4. 空间曲线的切线与法平面

§5. 曲面的切平面与法线

§6. 方向导数和梯度，

一、方向导数

二、梯度

§7. 泰勒公式

第十五章 极值和条件极值

本章学习要求：

1、 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，理解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

本章学习内容：

§1. 极值和最小二乘法

一、 极值

二、 最小二乘法

§2. 条件极值

第十六章 隐函数存在定理、函数相关

本章学习要求：

1、深刻理解隐函数的概念及其意义，掌握二元方程确定可微隐函数的充分条件，明白其几何意义。

2、知道函数组)(2

2R R →在一点的邻域存在反函数组的条件。

3、会求向量函数)(n n R R →的函数行列式，记住柱面坐标替换和球面坐标替换的函数行式的结果，并掌握函数行列式的性质。

4、会求隐函数或隐函数组的偏导数。

本章学习内容：

§1. 隐函数存在定理

一、0),,(=z y x F 情形

二、多变量及方程组情形

一、 函数行列式的性质

二、 函数相关

第三部分含参变量的积分和广义积分

第十七章含参变量的积分

本章学习要求：

掌握含参变量的有限积分所定义函数的性质，及其证明方法。

本章学习内容：

§1. 含参变量的积分

第十八章含参变量的广义积分

本章学习要求：

1、掌握含参变量的无穷积分所定义函数的分析性质，及其证明方法。

2、掌握含参变量无穷积分的一致收敛定义及其判别法，并会叙述非一致收敛。

3、应用积分号下的可微性与可积性，会计算一些定积分与反常积分。

4、记住Γ函数和B函数的定义及其性质，并会应用Γ函数和B函数计算一些定积分与广

义积分。

本章学习内容：

一、 一致收敛的定义

二、 一致收敛积分的判别法

三、 一致收敛积分的性质

四、 欧拉（Euler）积分

五、 阿贝尔判别法、狄立克莱判别法

第四部分多变量积分学

第十九章积分（二重、三重积分，第一曲线、曲面积分）的定义和性质

本章学习要求：

1、理解二重积分、三重积分的概念，理解第一类曲线积分和第一类曲面积分的概念。

2、理解积分的性质。

本章学习内容：

§1. 二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念

§2. 积分的性质

第二十章重积分的计算及应用本章学习要求：

1、掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

2、会用重积分求一些几何量与物理量。

本章学习内容：

§1. 二重积分的计算

一、 化二重积分为二次积分

二、 用极坐标计算二重积分

三、 二重积分的一般变量替换

§2. 三重积分的计算

一、 化三重积分为三次积分

二、 三重积分的变量替换

§3. 积分在物理上的应用

一、 质心

二、 矩

三、 引力

§4. 广义重积分

第二十一章曲线积分和曲面积分的计算

本章学习要求：

1、掌握第一型与第二型曲线积分的概念及其物理意义，特别是第二型曲线积分的物理意

义。

2、会计算第一型曲线积分与第二型曲线积分。

3、理解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

4、理解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，明确曲面定向的条件与其在第

一型曲面积分和第二型曲面积分定义中的作用。

5、会计算第一型曲面积分与第二型曲面积分。

本章学习内容：

§1. 第一类曲线积分的计算

§2. 第一类曲面积分的计算

一、 曲面的面积

二、 化第一类曲面积分为二重积分

§3. 第二类曲线积分

一、 变力作功与第二类曲线积分的定义

二、 第二类曲线积分的计算三、 两类曲线积分的联系

§4. 第二类曲面积分

一、 曲面的侧的概念

二、 第二类曲面积分的定义

三、 两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算

第二十二章各类积分间的联系和场论初步

本章学习要求：

1、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。

2、会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。

3、了解散度和旋度的概念，并会计算。

本章学习内容：

§1. 各种积分间的联系

一、 格林（Green）公式

二、 高斯（Gauss）公式

三、 斯托克司（Stokes）公式

§2. 曲线积分和路径的无关性

§3. 场论初步

一、 场的概念

二、 向量场的散度与旋度

*三、保守场

*四、算子▽

注：“*”号内容为选讲

三、建议教学进度

（十四） 偏导数和全微分（16学时）

偏导数和全微分的概念；求复合函数偏导数的链式法则；由方程组所确定的函数的求导。（十五） 极值和条件极值（6学时）

极值和最小二乘法；条件极值。

（十六） 隐函数与函数行列式（4学时）

隐函数存在定理；函数行列式的性质。

（十七） 含参变量的积分与含参变量的广义的积分（12学时）

含参量的积分；一致收敛的定义；一致收敛积分的判别法；一致收敛积分的性质；Euler 积分。

（十八） 重积分（12学时）

重积分的定义与性质；重积分的计算与运用。

（十九） 曲线积分（9学时）

第一类、第二类曲线积分的定义与计算。

（二十） 曲面积分（10学时）

第一类、第二类曲面积分的定义与计算。

（二十一） 各类积分的联系与场论初步（9学时）

格林公式；高斯公式；曲线积分与路径无关；场论初步。

复习（2学时）

四、教学方法

课堂讲授

五、考核方式

书面考试、平时作业

六、成绩评定方法

考试70％、平时成绩30％

七、教学参考书

1．《数学分析》，华东师范大数学系编，(上、下册) 第三版，高等教育出版社（2001年） 2.《数学分析教程》，常庚哲，史济怀编著，(上、下册) 高等教育出版社（2003年） 3．《数学分析讲义》，刘玉琏等编，(上、下册) 第四版，高等教育出版社（2003年）下载本文