说 明
一、课程地位
数学分析是以实数的连续性理论为基础，以极限为主要工具，定量或定性地研究函数及其性质的一门变量数学。它理论严谨、结构完美、应用广泛，在数学分析类课中占有极其重要的地位。
二、教学总目的
通过本课程的教学，培养学生用辩证唯物主义的观点去认识数学问题中条件和结论之间的必然联系，学会用数学分析的理论和方法分析问题和解决问题。使学生具有较强的应用能力，为有关后继课程的学习打下坚实的基础。
三、教学的内容和范围
数学分析课的教学内容主要是由实数的连续性理论、极限理论、级数理论、一元函数及多元函数的微分学和积分学等部分组成。
四、教学时数
本课程计划教学360学时，其中讲授课约为250学时，习题课约为110学时。下面大纲中所标学时数已包括讲授学时数和习题课学时数。整个教学内容拟在四个学期内完成，每周4—6学时。
五、教学要求
通过本课程的讲授与作业应使学生达到：
1．掌握微积分的基本概念、基本理论和基本方法，特别是要了解极限的基本思想、定义以及描述极限的语言。
2．了解微积分在工程，技术，经济等各门自然科学和社会科学中的应用及重要意义。
3．对中学数学中的函数、曲线、极限、方程、面积、体积、有理数、无理数、复数等内容，能够从更高层次上加以理解和分析。
4．通过本课程的学习，使学生的逻辑思维能力，分析问题，解决问题的能力得到训练和培养。
六、成绩评价方式
闭卷考试。结合学生平时作业情况（10%），平时小考成绩（10%），和期末考试成绩（80%）予以综合评价。
七、教材和主要参考书目
教 材：《数学分析》（第三版），华东师范大学数学系编，高等教育出版社。
参考书：《数学分析》，吉林大学数学系编，人民教育出版社。
《数学分析》，复旦大学数学系编，高等教育出版社。
《数学分析》，刘玉琏、傅沛仁编，高等教育出版社。
大纲内容
第一学期（第一章-第五章）
第一章实数集与函数（12学时）
[教学目的]
使学生掌握函数的概念，掌握确界原理及其两种表述形式，能熟练地运用定义证明函数具有奇偶性、单调性、周期性及有界性。
[教学重点与难点]
函数的概念与确界原理
[学时分配]
第一节 实数（2学时）
一、实数及其性质
二、绝对值与不等式
第二节 确界原理（2学时）
一、区间与邻域
二、有界集、确界原理
第三节 函数概念（4学时）
一、函数的定义，函数的表示方法
二、函数的四则运算
三、复合函数、反函数、初等函数
第四节 具有某些特性的函数（4学时）
一、有界函数
二、单调函数
三、奇函数和偶函数
四、周期函数
第二章 数列极限（12学时）
[教学目的]
使学生掌握极限的概念和极限的性质，能按定义证明数列极限，能熟练地进行数列极限的计算。
[教学重点与难点]
数列极限的概念
[学时分配]
第一节 数列极限的概念（4学时）
一、数列{an}极限的定义
二、的几何意义
第二节 收敛数列的性质（4学时）
一、唯一性、有界性、保号性、迫敛性
二、收敛数列的四则运算
第三节 数列极限存在的条件（4学时）
第三章 函数极限（16学时）
[教学目的]
使学生掌握函数极限的定义，掌握函数极限的性质，能按定义证明函数极限，能根据极限的性质正确地进行极限的计算和无穷小阶的比较。
[重点与难点]
函数极限的概念和性质
[学时分配]
第一节 函数极限概念（4学时）
一、时函数的极限
二、时函数的极限
第二节 函数极限的性质（2学时）
一、唯一性、保号性、迫敛性
二、极限的四则运算
第三节 函数极限存在的条件（3学时）
一、归结原则
二、柯西收敛准则
第四节 两个重要的极限（3学时）
一、
二、
第五节 无穷小量与无穷大量（4学时）
一、无穷小量与无穷小量阶的比较
二、无穷大量
三、曲线的渐近线
第四章 函数的连续性（10学时）
[教学目的]
使学生掌握连续函数的定义，理解一致连续的概念，掌握闭区间上连续函数的性质及零点定理的应用。
[重点与难点]
闭区间上连续函数的性质
[学时分配]
第一节 连续性概念（4学时）
一、函数在点连续和在区间上连续的概念
二、间断点及其分类
第二节 连续函数的性质（4学时）
一、一致连续的局部性质
二、闭区间上连续函数的基本性质
三、反函数的连续性
四、一致连续性
第三节 初等函数的连续性（2学时）
第五章 导数和微分（20学时）
[教学目的]
使学生掌握导数和微分的概念，掌握导数的基本公式和求导法则，能熟练地计算复合函数的导数，掌握微分公式及其应用。
[重点与难点]
导数和微分的定义，复合函数的求导法则
[学时分配]
第一节 导数的概念（4学时）
一、导数的定义；导函数
二、导数的几何意义
第二节 求导法则（6学时）
一、导数的四则运算
二、反函数的导数
三、复合函数的导数
第三节 参变量函数的导数（2学时）
第四节 高阶导数（2学时）
第五节 微分（6学时）
一、微分的概念
二、微分的运算法则
三、高阶微分
第二学期（第六章-第十一章）
第六章 微分中值定理及其应用（26学时）
[教学目的]
使学生掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理及其应用，能熟练运用洛必达法则求不定式极限，能判断函数的单调性、凸凹性、极值点及拐点，会作函数的图象。
[重点与难点]
拉格朗日中值定理、洛必达法则及函数性征的判别
[学时分配]
第一节 拉格朗日定理（6学时）
一、罗尔定理拉格朗日定理
二、单调函数
第二节 柯西中值定理和不定式的极限（6学时）
一、柯西中值定理
二、不定式极限
第三节 泰勒公式（4学时）
一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式
二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式
三、在近似计算上的应用
第四节 函数的极值与最大（小）值（4学时）
一、极值判别的充分条件
二、最大值与最小值
第五节 函数的凸性与拐点（4学时）
一、凸性的定义及判别
二、拐点的定义及判别
第六节 函数图象的讨论（2学时）
一、函数在各区间上性质的确定
二、图象的描绘
第七章 实数的完备性（10学时）
[教学目的]
使学生掌握实数的完备性定理，理解完备性定理的等价性，掌握完备性定理的应用。
[重点与难点]
实数完备性的基本定理
[学时分配]
第一节 关于实数集完备性的基本定理（6学时）
一、区间套定理与柯西收敛准则
二、聚点定理与有限覆盖定理
第二节 闭区间上连续函数性质的证明（4学时）
第八章 不定积分（16学时）
[教学目的]
使学生掌握原函数的概念，掌握不定积分的基本公式，掌握换元法和分部积分法，能熟练地计算不定积分。
[重点与难点]
换元法与分部积分法
[学时分配]
第一节 不定积分概念与基本积分公式（4学时）
一、原函数与不定积分
二、基本积分表
第二节 换元积分法与分部积分法（6学时）
一、换元积分法
二、分部积分法
第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积分（6学时）
一、有理函数的不定积分
二、三角函数有理式的不定积分
三、某些无理根式的不定积分
第九章 定积分（24学时）
[教学目的]
使学生掌握定积分的概念和性质，掌握可积准则及三类可积函数，掌握牛顿－莱布尼兹公式及微积分学基本定理，并能熟练地计算定积分。
[重点与难点]
牛顿－莱布尼兹公式、微积分学基本定理
[学时分配]
第一节 定积分概念（2学时）
一、定积分的定义
二、定积分的几何意义
第二节 牛顿－莱布尼兹公式（2学时）
第三节 可积条件（6学时）
一、可积的必要条件
二、可积的充要条件
三、可积函数类
第四节 定积分的性质（6学时）
一、定积分的基本性质
二、积分中值定理
第五节 微分学基本定理·定积分的计算（续）（8学时）
一、变限积分与原函数的存在性
二、换元法与分部积分法
三、泰勒公式的积分型余项
第十章 定积分的应用（12学时）
[教学目的]
使学生掌握定积分在几何上的某些应用，能求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
[重点与难点]
微元法
[学时分配]
第一节 平面图形的面积（3学时）
第二节 由平行截面面积求体积（3学时）
第三节 平面曲线的弧长（3学时）
第四节 旋转曲面的面积（3学时）
一、微元法
二、旋转曲面的面积
第十一章 反常积分（14学时）
[教学目的]
使学生掌握反常积分收敛和发散的概念，能判别反常积分的敛散性，能计算收敛的反常积分。
[重点与难点]
无穷积分和瑕积分收敛的判别法
[学时分配]
第一节 反常积分概念（4学时）
一、问题提出
二、两类反常积分的定义
第二节 无穷积分的性质与收敛判别（6学时）
一、无穷积分的性质
二、比较判别法
三、狄里克雷判别法与阿贝尔判别法
第三节 瑕积分的性质与收敛判别（4学时）
一、瑕积分的性质
二、收敛判别法
第三学期（第十二章-第十八章）
第十二章 数项级数（16学时）
[教学目的]
使学生掌握数项级数收敛发散的概念，掌握级数收敛的判别方法，能判别常见级数的敛散性。
[重点与难点]
数项级数收敛判别法
[学时分配]
第一节 级数的收敛性（4学时）
第二节 正项级数（6学时）
一、正项级数收敛性的一般判别原则
二、比式判别法和根式判别法
三、积分判别法
第三节 一般项级数（6学时）
一、交错级数
二、绝对收敛和条件收敛
三、阿贝尔判别法和狄里克雷判别法
第十三章 函数列与函数项级数（12学时）
[教学目的]
使学生掌握函数列及函数项级数一致收敛的概念和一致收敛的判别方法。
[重点与难点]
一致收敛的判别法
[学时分配]
第一节 一致收敛性（6学时）
一、函数列及其一致收敛性
二、函数项级数及其一致收敛性
三、函数项级数的一致收敛性判别法
第二节 一致收敛函数列与函数项级数的性质（6学时）
第十四章 幂 级 数（12学时）
[教学目的]
使学生掌握幂级数的性质，会求幂级数的收敛半径、收敛区间及和函数，能将函数展为幂级数。
[重点与难点]
幂级数的性质
[学时分配]
第一节 幂级数（6学时）
一、幂级数的收敛区间
二、幂级数的性质
三、幂级数的运算
第二节 函数的幂级数展开（6学时）
一、泰勒级数
二、初等函数的幂级数展开式
第十五章 傅里叶级数（12学时）
[教学目的]
使学生了解傅里叶级数收敛定理的条件和结论，能将函数展为傅里叶级数。
[重点与难点]
傅里叶级数收敛定理
[学时分配]
第一节 傅里叶级数（8学时）
一、三角级数·正交函数系
二、以2π为周期的函数的傅里叶级数
三、收敛定理
第二节 以2L为周期的函数的展开式（4学时）
一、以2L为周期的函数的傅里叶级数
二、偶函数与奇函数的傅里叶级数
第十六章 多元函数的极限与连续（16学时）
[教学目的]
使学生掌握多元函数的概念，理解并掌握二重极限的定义，会计算二重极限和累次极限，会判断二元函数的连续性。了解R2上的闭区域套定理、聚点定理和有限覆盖定理。
[重点与难点]
多元函数极限与连续的概念
[学时分配]
第一节 平面点集与多元函数（8学时）
一、平面点集
二、R2上的完备性定理
三、二元函数
四、n元函数
第二节 二元函数的极限（4学时）
一、二元函数的极限
二、累次极限
第三节 二元函数的连续性（4学时）
一、二元函数的连续性概念
二、有界闭域上连续函数的性质
第十七章 多元函数微分学（20学时）
[教学目的]
使学生掌握全微分、偏导数的概念及多元复合函数的链式求导法则，能计算复合函数的方向导数及全微分。
[重点与难点]
可微性与求导法则
[学时分配]
第一节 可微性（6学时）
一、可微性与全微分
二、偏导数
三、可微性条件
第二节 复合函数微分法（4学时）
一、复合函数的求导法则
二、复合函数的全微分
第三节 方向导数与梯度（2学时）
第四节 泰勒公式与极值（8学时）
一、高阶偏导数
二、中值定理和泰勒公式
三、极值问题
第十八章 隐函数定理及其应用（18学时）
[教学目的]
使学生掌握隐函数及隐函数组的存在定理，能计算隐函数的导数或偏导数，能用隐函数理论解应用问题。
[重点与难点]
隐函数存在定理
[学时分配]
第一节 隐函数（6学时）
一、隐函数概念
二、隐函数存在性条件的分析
三、隐函数定理
四、隐函数求导举例
第二节 隐函数组（4学时）
一、隐函数组概念
二、隐函数组定理
第三节 几何应用（4学时）
一、平面曲线的切线与法线
二、空间曲线的切线与法平面
三、曲面的切平面与法线
第四节 条件极值（4学时）
第三学期（第十九章-第二十二章）
第十九章 含参量积分（18学时）
[教学目的]
使学生掌握含参变量积分一致收敛的概念及其性质，掌握含参变量积分一致收敛的判别法，掌握函数及B函数的性质，并能用它们计算某些反常积分的值。
[重点与难点]
含参量积分的一致收敛性
[学时分配]
第一节 含参量正常积分（6学时）
第二节 含参量反常积分（6学时）
一、一致收敛性及判别法
二、含参量反常积分的性质
第三节 欧拉积分（6学时）
一、Γ函数
二、B函数
三、Γ函数与B函数之间的关系
第二十章 曲线积分（10学时）
[教学目的]
使学生掌握曲线积分的定义，第一型与第二型积分的关系及其计算方法。
[重点与难点]
曲线积分的计算
[学时分配]
第一节 第一型曲线积分（5学时）
一、第一型曲线积分的定义
二、第一型曲线积分的计算
第二节 第二型曲线积分（5学时）
一、第二型曲线积分的定义
二、第二型曲线积分的计算
第二十一章 重 积 分（36学时）
[教学目的]
使学生掌握二重积分及三重积分的定义，掌握二重积分与三重积分换元法，能应用二重积分与三重积分解决应用问题。
[重点与难点]
重积分的定义和计算
[学时分配]
第一节 二重积分概念（6学时）
一、平面图形的面积
二、二重积分的定义及其存在性
三、二重积分的性质
第二节 直角坐标系下二重积分的计算（6学时）
第三节 格林公式·曲线积分与路线的无关性（6学时）
一、格林公式
二、曲线积分与路线的无关性
第四节二重积分的变量变换（6学时）
一、二重积分的变量变换公式
二、用极坐标计算二重积分
第五节 三重积分（6学时）
一、三重积分的概念
二、化三重积分为累次积分
三、三重积分换元法
第六节 重积分的应用（6学时）
一、曲面面积
二、重心
三、转动惯量
第二十二章 曲面积分（12学时）
[教学目的]
使学生掌握曲面积分的定义，掌握第一型曲面积分与第二型曲面积分的计算方法及两种曲面积分的关系，掌握高斯公式与斯托克斯公式，并能应用它们解应用问题。
[重点与难点]
曲面积分的概念和计算
[学时分配]
第一节 第一型曲面积分（3学时）
一、第一型曲面积分的概念
二、第一型曲面积分的计算
第二节 第二型曲面积分（5学时）
一、曲面的侧
二、第二型曲面积分概念
三、第二型曲面积分的计算
第三节 高斯公式与斯托克斯公式（4学时）
一、高斯公式
二、斯托克斯公式
