主讲老师：肖宏

基础知识：

函数的周期性

如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得

f(x＋T)＝f(x)

恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.

一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.

关于函数的周期性，请参考陕西师范大学《高中数学竞赛辅导》(刘诗雄主编)

例题：

1． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.

证明：因为f(x＋m)＝－f(x)

所以，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]

＝－f(x＋m)

＝f(x)

所以f(x)是以2m为周期的周期函数.

2． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x－m),求证:2m是f(x)的一个周期.

证明：因为f(x＋m)＝f(x－m)

令x－m＝t，则x＋m＝t＋2m

于是f(t＋2m)＝f(t)对于t∈R恒成立，

所以f(x)是以2m为周期的周期函数.

3． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝,求证:2m是f(x)的一个周期.

证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]

＝f(x)

所以f(x)是以2m为周期的周期函数.

4． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－,求证:4m是f(x)的一个周期.

证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]

于是f(x＋4m)＝－＝f(x)

所以f(x)是以4m为周期的周期函数.

5． 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a＋x)＝f(a－x)且f(b＋x)＝f(b－x),

求证:2|a－b|是f(x)的一个周期.(a≠b)

证明：不妨设a＞b

于是f(x＋2(a－b))＝f(a＋(x＋a－2b))

＝f(a－(x＋a－2b))

＝f(2b－x)

＝f(b－(x－b))

＝f(b＋(x－b))

＝f(x)

∴ 2(a－b)是f(x)的一个周期

当a＜b时同理可得

所以，2|a－b|是f(x)的周期

6． 已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有

f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)

若f(0)＝2004，求f(2004)

解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)

所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)

两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)

即：f(x＋3)＝－f(x)

∴ f(x＋6)＝f(x)

f(x)是以6为周期的周期函数

2004＝6×334

∴ f(2004)＝f(0)＝2004

7． 已知对于任意a，b∈R，有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，且f(x)≠0

⑴求证：f(x)是偶函数；

⑵若存在正整数m使得f(m)＝0，求满足f(x＋T)＝f(x)的一个T值(T≠0)

⑴证明：令a＝b＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去)

又令a＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x)

所以，f(x)为偶函数

⑵令a＝x＋m，b＝m

得f(x＋2m)＋f(x)＝2f(x＋m)f(m)＝0

所以f(x＋2m)＝－f(x)

于是f(x＋4m)＝f[(x＋2m)＋2m]

＝－f(x＋2m)

＝f(x)

即T＝4m(周期函数)

8． 数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝an＋1－an(n∈N＋)

①求a100；

②求S100.

解：由已知a1＝a，a2＝b，

所以a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，a7＝a，a8＝b，......

由此可知，{an}是以6为周期的周期数列，

于是a100＝a6×16＋4＝a4＝－a

又注意到a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0

S100＝a1＋a2＋a3＋......＋a96＋a97＋a98＋a99＋a100

＝0＋a97＋a98＋a99＋a100

＝a1＋a2＋a3＋a4

＝a＋b＋(b－a)＋(－a)

＝2b－a

9． 对每一个实数对x,y,函数f(t)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1,若f(－2)=－2,试求满足f(a)＝a的所有整数a.

解：令x＝y＝0，得f(0)＝－1

再令x＝y＝－1，得f(－2)＝2f(－1)＋2，又f(－2)＝－2

所以f(－1)＝－2

又令x＝1，y＝－1，可得f⑴＝1

令x＝y＝1得f⑵＝2f⑴＋1＋1＝4

令y＝1，得f(x＋1)＝f(x)＋x＋2

即f(x＋1)－f(x)＝x＋2 ①

当x取任意正整数时，f(x＋1)－f(x)＞0

又f⑴＝1＞0

所以f(x)＞0

于是f(x＋1)＝f(x)＋x＋2＞x＋1

即对任意大于1的正整数t，f(t)＞t

在①中，令x＝－3，得f(－3)＝－1，进一步可得f(－4)＝1

注意到f(x)－f(x＋1)＝－(x＋2)

所以当x≤－4时，f(x)－f(x＋1)＞0

即f(x)＞f(x＋1)＞f(x＋2)＞......＞f(－4)＝1

所以x≤－4时，f(x)＞x

综上所述，满足f(a)＝a的整数只有a＝1或a＝－2

10． 设f(x)是一个从实数集R到R的一个映射,对于任意的实数x,都有|f(x)|≤1,并且f(x)+,求证:f(x)是周期函数.

证明：由已知f(x)+

所以

即 ①

同理有

即 ②

由①②

于是f(x＋1)－f(x)＝f(x＋2)－f(x＋1)，记这个差为d

同理f(x＋3)－f(x＋2)＝f(x＋2)－f(x＋1)＝d

......

f(x＋n＋1)－f(x＋n)＝f(x＋n)－f(x＋n－1)

＝......

＝f(x＋1)－f(x)＝d

即是说数列{f(x＋n)}是一个以f(x)为首项，d为公差的等差数列

因此f(x＋n)＝f(x)＋nd＝f(x)＋n[f(x＋1)－f(x)]对所有的自然数n成立，

而对于x∈R，|f(x)|≤1，即f(x)有界，

故只有f(x＋1)－f(x)＝0

即f(x＋1)＝f(x) x∈R

所以f(x)是周期为1的周期函数.

习题:

1. 函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝3，对任意的x∈R，均有f(x＋4)＝f(x)＋f⑵，求f(2001)的值.

2. 设f(x)是定义在实数集上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当x∈[2，3]时，f(x)＝x，那么，当x∈[－2，0]时，求f(x)的解析式.

3. 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－,求证:2m是f(x)的一个周期.

4. 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝(其中:a,b,c∈R,且a2＋bc≠0),求证:2m是f(x)的一个周期.

5. 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是偶函数,

求证:2m是f(x)的一个周期.

6. 已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是奇函数,

求证:4m是f(x)的一个周期.

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