2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛）
暨2021年全国高中数合竞赛
一试（A 卷）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分分．
1．等差数列{a n }满足a 2021＝a 20+a 21＝1，则a 1的值为__________．
2．设集合A ＝{1，2，m }，其中m 为实数．令B ＝{a 2｜a ∈A }，C ＝A ∪B ．若C 的所有元素之和为6，则C 的所有元素之积为__________．
3．设函数f (x )满足：对任意非零实数x ，均有f (x )＝f (1)·x +
()2f x
－1，则f (x )在(0，+∞)上的最小值为__________．
4．设函数f (x )＝cosx +log 2x （x >0），若正实数a 满足f (a )＝f (2a )，则f (2a )－f (4a )的值为__________．
5．在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，B －C ＝23π，则△ABC 的面积为__________．6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线Γ：y 2＝2px （p >0）的焦点为F ，过Γ上一点P （异于O ）作Γ的切线，
与y 轴交于点Q ．若|FP |＝2，|FQ |＝1，则向量OP 与OQ 的数量积为__________．
7．一颗质地均匀的正方形骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互），所得的点数依次为a 1，a 2，a 3，则事件“|a 1－a 2|+|a 2－a 3|+|a 3－a 1|＝6”发生的概率为__________．
8．设有理数r ＝p q
∈(0，1)，其中p ，q 为互素的正整数，且pq 整除3600．这样的有理数r 的个数为__________．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．已知复数列{z n }满足：z 1＝32
，z n +1＝n z (1+z n i )（n ＝1，2，…），其中i 为虚数单位．求z 2021的值．
10．在平面直角坐标系中，函数y ＝11
x x ++的图像上有三个不同的点位于直线l 上，且这三点的横坐标之和为0．求l 的斜率的取值范围．11．如图，正方体ABCD －EFGH 的棱长为2，在正方形ABFE 的内切圆上任取一
点P 1，在正方形BCGF 的内切圆上任取一点P 2，在正方形EFGH 的内切圆上任取
一点P 3．求|P 1P 2|+|P 2P 3|+|P 3P 1|的最小值与最大值．
2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛）
暨2021年全国高中数合竞赛
一试（A卷）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分分．
1．等差数列{a n}满足a2021＝a20+a21＝1，则a1的值为__________．
【答案】1981 4001
【解析】
2．设集合A＝{1，2，m}，其中m为实数．令B＝{a2｜a∈A}，C＝A∪B．若C的所有元素之和为6，则C的所有元素之积为__________．
【答案】－8
【解析】
3．设函数f(x)满足：对任意非零实数x，均有f(x)＝f(1)·x+
()2
f
x－1，则f(x)在(0，+∞)上的最小值为
__________．
【答案】－1
【解析】
4．设函数f(x)＝cosx+log2x（x>0），若正实数a满足f(a)＝f(2a)，则f(2a)－f(4a)的值为__________．【答案】－3或－1
【解析】
5．在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，B －C ＝
23
，则△ABC 的面积为__________．【答案】
3314【解析】
6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线Γ：y 2＝2px （p >0）的焦点为F ，过Γ上一点P （异于O ）作Γ的切线，
与y 轴交于点Q ．若|FP |＝2，|FQ |＝1，则向量OP 与OQ 的数量积为__________．
【答案】
32
【解析】
7．一颗质地均匀的正方形骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互），所得的点数依次为a 1，a 2，a 3，则事件“|a 1－a 2|+|a 2－a 3|+|a 3－a 1|＝6”发生的概率为__________．
【答案】
14
【解析】
8．设有理数r ＝
p q
∈(0，1)，其中p ，q 为互素的正整数，且pq 整除3600．这样的有理数r 的个数为__________．【答案】112
【解析】
二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．已知复数列{z n }满足：z 132
，z n +1＝n z (1+z n i )（n ＝1，2，…），其中i 为虚数单位．求z 2021的值．【解析】
10．在平面直角坐标系中，函数y ＝
11
x x ++的图像上有三个不同的点位于直线l 上，且这三点的横坐标之和为0．求l 的斜率的取值范围．
11．如图，正方体ABCD－EFGH的棱长为2，在正方形ABFE的内切圆上任取一点P1，在正方形BCGF的内切圆上任取一点P2，在正方形EFGH的内切圆上任取一点P3．求|P1P2|+|P2P3|+|P3P1|的最小值与最大值．
【解析】
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