一、选择题（共10题）

1. 函数  的零点在区间为  

 ．   ．   ．   ．  

2. 已知函数  有三个零点，则实数  的取值范围是  

 ．   ．   ．   ．  

3. 设  且 ，函数 ，，下列说法错误的是  

 ．  与  在各自的定义域内有相同的单调性

 ．  与  两者的图象关于直线  对称

 ．  与  两者都既不是奇函数，又不是偶函数

 ．  与  有相同的定义域和值域

4. 已知函数 ．若函数  恰有  个零点，则  的取值范围是  

 ．  

 ．  

 ．  

 ．  

5. 函数  在  的零点个数为  

 ．   ．   ．   ．  

6. 若函数 ，有三个不同的零点，则实数  的取值范围是  

 ．   ．   ．   ．  

7. 已知函数 ，则方程  的实数根个数不可能为  

 ．  个 ．  个 ．  个 ．  个

8. 设 ，，，则  

 ．   ．   ．   ．  

9.   的值为  

 ．   ．   ．   ．  

10. 已知函数 ，则  

 ．  在  单调递增

 ．  在  单调递减

 ．  的图象关于直线  对称

 ．  的图象关于点  对称

二、填空题（共6题）

11. 已知 ，那么      ，     ．

12. 设函数 ．若函数  有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是    ．

13. 函数 （ 且 ）的图象恒过定点    ．

14. 已知 ，且函数  至少有两个零点，则  的取值范围是    ．

15. 以下是三个变量 ，， 随变量  变化的数值表：其中关于  呈指数型函数变化的变量是    ，呈对数型函数变化的变量是    ，呈幂函数型变化的变量是    ．

16. 若方程  在  内恰有一个实根，则实数  的取值范围是    ．

三、解答题（共6题）

17. 已知函数 ，．

(1)  判断  的奇偶性．

(2)  判断  的单调性并证明．

(3)  对于任意的 ，不等式  恒成立，试求实数  的取值范围．

18. 求函数  的单调递减区间．

19. 已知定义域为  的函数 ．

(1)  试判断函数  在  上的单调性，并用函数单调性的定义证明；

(2)  若对于任意 ，不等式  恒成立，求实数  的取值范围．

20. 已知 ．

(1)  设 ，，若函数  存在零点，求  的取值范围；

(2)  若  是偶函数，设 ，若函数  与  的图象只有一个公共点，求实数  的取值范围．

21. 在区间  上，如果函数  为减函数，而  为增函数，则称  为  上的弱减函数．若 ．

(1)  判断  在区间  上是否为弱减函数；

(2)  当  时，不等式  恒成立，求实数  的取值范围；

(3)  若函数  在  上有两个不同的零点，求实数  的取值范围．

22. 已知函数 ．

(1)  当  时，解不等式 ；

(2)  设 ，且函数  存在零点，求实数  的取值范围．

答案

一、选择题（共10题）

1.  【答案】C

【解析】 ，在  上单调递增．

因为 ，，

所以根据函数的零点存在性定理得出： 的零点在  区间内，

所以函数  的零点所在的区间为 ．

【知识点】零点的存在性定理

2.  【答案】D

【知识点】函数的零点分布

3.  【答案】D

【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质

4.  【答案】D

【解析】注意到 ，所以要使  恰有  个零点，只需方程  恰有  个实根即可，

令 ，即  与  的图象有  个不同交点．

因为 ，

当  时，此时 ，如图 ， 与  有  个不同交点，不满足题意；

当  时，如图 ，此时  与  恒有  个不同交点，满足题意；

当  时，如图 ，当  与  相切时，联立方程得 ，

令  得 ，解得 （负值舍去），所以 ．

综上， 的取值范围为 ．

【知识点】函数的零点分布、分段函数

5.  【答案】B

【解析】函数  在  的零点个数，

即  在区间  的根个数，即 ，

令左右为新函数  和 ， 和 ，

作图求两函数在区间  的图象可知：

  和 ，在区间  的图象的交点个数为  个．

【知识点】函数的零点分布

6.  【答案】C

【解析】由题意可知  且 ，当  时，函数  的导函数为 ，

所以函数  在  为减函数，在  为增函数，

故函数  最多两个零点；而当  时，函数  是单调函数，故函数  最多有一个零点；

根据上述分析可以得出：函数  必须有两个零点，函数  必须有一个零点．

当  时，在函数  中，

因为 ，故 ，解得 ，

当  时，当  时，函数  在  上单调递减，，与  轴无交点，

当  时，函数  在  上单调递增，

因为  在  时有一个零点，则 ，解得：．

综上：．

【知识点】函数的零点分布

7.  【答案】A

【解析】作出  的图象，如图所示．

  当  时， 或 ，此时对应  的个数为 ；

  当  时， 或  或 ，此时对应  的个数为 ；

  当  时， 或  或  或 ，此时对应  的个数为 ；

  当  时， 或  或  或 ，此时对应  的个数为 ；

  当  时， 或  或 ，此时对应  的个数为 ；

  当  时， 或 ，此时对应  的个数为 ；

  当  时，，此时对应  的个数为 ．

综上可知，实数根个数不可能为  个．

故选A．

【知识点】函数的零点分布

8.  【答案】B

【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质

9.  【答案】D

【解析】 ．

【知识点】对数的概念与运算

10.  【答案】C

【知识点】对数函数及其性质

二、填空题（共6题）

11.  【答案】  ；  

【解析】 ，故 ，．

【知识点】对数的概念与运算

12.  【答案】  

【知识点】函数的零点分布

13.  【答案】  

【知识点】对数函数及其性质

14.  【答案】  

【解析】  至少有两个零点等价于方程  至少有两个根，

即  与  至少有两个不同的交点，

由  可得函数图象如图所示：

  恒过点 ，则如图所示，

当  时， 与  至少有两个不同的交点，

由  解析式可得：点 ，所以 ，

联立  得：，则 ，

解得： 或 ，所以 ．

【知识点】函数的零点分布

15.  【答案】  ；  ；  

【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质、幂函数及其性质

16.  【答案】  

【知识点】函数的零点分布

三、解答题（共6题）

17.  【答案】

(1)  因为 ，定义域为 ，关于原点对称，

所以 ，所以  是奇函数．

(2)  设  且 ，

所以

因为 ，所以 ，，，

所以 ，所以  是增函数．

(3)  对于 ，，即 ，

所以 ，所以 ，

即 ，，

令 ，所以 ，对称轴 ，

所以 ，所以 ， 的取值范围为 ．

【知识点】函数的奇偶性、函数的最大（小）值、函数的单调性、指数函数及其性质

18.  【答案】由  知，函数的定义域是 ，

令 ，

则 ，

当  时，随  的增大， 增大， 减小，故函数的递减区间为 ．

【知识点】指数函数及其性质、函数的单调性

19.  【答案】

(1)  任取 ，且 ，

则 ，，，

于是 ，

即 ，故函数  在  上单调递减．

(2)  任取 ，则 ，

故  为奇函数，从而 ，

由（）知，函数  在  上单调递减，

故 ，即  对于任意  恒成立，

由 ，得 ，即实数  的取值范围是 ．

【知识点】函数的奇偶性、指数函数及其性质、函数的单调性

20.  【答案】

(1)  函数  存在零点，即  有解．

因为 ，所以 ，

因为 ，所以 ，即 ，

因为  有解，

所以 ，即 ，

所以  的取值范围是 ．

(2)  因为  的定义域为 ，且  是偶函数，

所以 ，

因为 ，

所以 ．经检验，符合题意，

因为函数  与  的图象只有一个公共点，

所以方程  只有一个解，

所以  只有一个解，即  只有一个解，即  只有一个解．

令 ，，则  只有一个正根或两个相等的正根．

当  时，，不符合题意．

当  时，若方程有两个相等的正根，则 ，且 ，解得 ．

当方程有两个不相等的实根且只有一个正根时，因为  的图象恒过点 ，所以只需图象开口向上即可，即 ，解得 ．

综上，实数  的取值范围是 ．

【知识点】函数的零点分布

21.  【答案】

(1)  由初等函数性质知，

  在  上单调递减，

而  在  上单调递增，

所以  是  上的弱减函数．

(2)  不等式化为  在  上恒成立，则  

而  在  单调递增，

所以  的最小值为 ， 的最大值为 ，

所以  

所以 ．

(3)  由题意知方程  在  上有两个不同根，

①当  时，上式恒成立；

②当  时，则由题意可得方程  只有一解，

根据 ，

令 ，则 ，

方程化为  在  上只有一解，

所以 ．

【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布、函数的单调性

22.  【答案】

(1)  当  时，，由  得 ，即 ，解得  或 ，

所以，原不等式的解集为 ．

(2)  函数  存在零点  方程  有解 ，亦即  有解 ，注意到  在  上递减，故 ，从而，实数  的取值范围为 ．

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