数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）

1．（3分）下列各数中，最大的数是（）

A．0B．﹣2C．D．π

2．（3分）如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用（0，0）表示，“卒”的位置用（2，1）表示，那么“马”的位置用（）表示．

A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）3．（3分）如图是小林同学一次立定跳远的示意图，小林从点A起跳，落在点B处，经测量，AB＝2.23米，那么小林实际的跳远成绩可能是（）米．

A．2.10B．2.35C．2.41D．2.56

4．（3分）不等式x﹣3＞0的解集在数轴上表示正确的是（）

A．B．

C．D．

5．（3分）已知a＞0，则点P（2，﹣a）在第（）象限．

A．一B．二C．三D．四

6．（3分）已知是关于x，y的二元一次方程ax﹣by＝3的解，则2a+4b的值是（）A．3B．6C．9D．12

7．（3分）下列命题中为真命题的是（）A．16的平方根是4

B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

C．同旁内角互补

D．若a＜b，则ac2＜bc2

8．（3分）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，下列方程组正确的是（）

A．B．C．D．

9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，将四边形ABCD沿EF折叠后，C，D两点分别落在C1D1上，若∠EFC＝110°，则∠AED1的大小是（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

10．（3分）关于x的不等式（a﹣b）x+2a+3b＞7的解集是x＜1，且b＝2a，则a+b的值为（）

A．﹣6B．﹣3C．3D．6

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

11．（3分）26的立方根是．

12．（3分）学校调查了学生最喜爱的一项体育运动，制成了如图所示的扇形统计图，其中“跑步”对应扇形的圆心角度数为．

13．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB，垂足为O．若∠BOD＝150°，则∠COM的度数为．

14．（3分）关于x，y的方程组的解也是二元一次方程x+y＝3的解，则k的值为．

15．（3分）如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，如果四边形ABFD 的周长是16cm，则三角形DEF的周长是cm．

16．（3分）如图，在四边形ABCD中，如果AB∥CD，∠A＝60°，P是边AB上一点，DE 平分∠ADP交边AB于点E，DF平分∠CDP交边BC于点F．以下四个结论：

①∠C＝60°；

②∠EDF＝60°；

③若∠AED＝∠ADF，则∠APD＝60°；

④若DP平分∠EDF，则∠DEB＝∠DFB．

其中正确的是（填写正确的序号）．

三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程、或演算步骤.）17．（6分）如图，AB∥CD，∠A+∠ECD＝180°，求证：EC∥AD．

18．（8分）解下列方程组

（1）；（2）19．（8分）x取哪些整数时，不等式2x﹣1＞﹣3与都成立？

20．（8分）如图，三角形ABC三个顶点坐标分别是A（0，3），B（﹣2，2），C（2，1），若这个三角形中任意一点D（x，y）经平移后对应点为D₁（x+2，y﹣4），将三角形ABC 作同样的平移得到三角形A1B1C1；

（1）画出三角形A1B1C1；

（2）求三角形A1B1C1的面积．

21．（8分）为了解七年级学生60秒跳绳的次数情况，体育老师随机抽查了50名学生，根据调查结果得到如下统计图表，请根据图表信息解答下列问题：

次数60≤x＜9090≤x＜120120≤x＜150150≤x＜180180≤x＜210频数2810a12

（1）求a的值；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）该校共有900名学生，若规定跳绳次数不少于150次为优良，请你估计这所学校跳绳次数达到优良的学生人数．

22．（10分）小林同学三次到某超市购买A，B两种商品，其中仅有一次是有打折的．购买数量及消费金额如下表：

购买A商品的件数购买B商品的件数消费金额（元）第一次63108

第二次5184

第三次7496（1）直接回答：第次购买有折扣；

（2）求A，B两种商品的原价；

（3）若小林同学再次以原价购买A，B两种商品共10件（每种商品至少买1件），且消费金额不超过90元，求A商品最多可以购买多少件？

23．（12分）在数学活动课中，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形ABC和三角形DEF，其中∠BAC∠EDF＝90∠ACB＝30°，∠DEF＝∠DFE＝45°，且AC＜DE）开展数学活动．

操作发现：我们会发现（1）如图1，将三角形ABC沿BC方向移动，得到三角形A1B1C1，AB∥A1B1，推理的根据是：；

（2）将这副三角板如图2摆放，并过点E作直线a平行于边BC所在的直线b，点A与点F重合，求∠1的度数；

（3）在（2）的条件下，如图3，固定三角形DEF，将三角形ABC绕点C旋转一周，当AB∥DE时，请判断直线BC和直线b是否垂直，并说明理由．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，下表列举的是直线l上的点P（x，y）的取值情况．

x…﹣1012345…

y…543210﹣1…

（1）观察表格，直接写出直线l上的点P（x，y）的横坐标x与纵坐标y之间的数量关系为；

（2）若点C（m，n）在第一象限，且满足三角形ABC的面积为6，求点C（m，n）的横、纵坐标满足的数量关系；

（3）在（2）的条件下，直线OC与直线AB相交于点D，若三角形AOC的面积不大于三角形BCD的面积，求点C（m，n）的横坐标m的取值范围．

2022-2023学年广东省广州市越秀区七年级（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）

1．【分析】先对各数进行大小比较，再辨别、求解．

【解答】解：∵﹣2＜0＜＜π，

∴所给各数中，最大的数是π，

故选：D．

【点评】此题考查了实数的大小比较能力，关键是能准确理解并运用实数的性质与估算进行求解．

2．【分析】根据帅、卒坐标建立平面直角坐标系，由马的位置直接写出马的坐标．【解答】解：根据帅、卒坐标建立平面直角坐标系，直接写出马的坐标是（﹣2，1）．

故马的坐标是（﹣2，1），应选A．

【点评】本题考查了由点的坐标确定平面直角坐标系，由点的位置确定点的坐标；解题的关键就是根据帅、卒的坐标确定坐标原点和x，y轴的位置及方向，马的位置确定坐标．3．【分析】直接利用垂线段最短进而得出小林跳远成绩．

【解答】解：∵AB＝2.23米，AB不与起跳线垂直，

∴根据垂线段最短可知这次小林实际的跳远成绩小于2.23米．【点评】此题主要考查了垂线段最短，正确掌握垂线段的性质是解题关键．

4．【分析】不等式的解集为x＞3，在数轴上表示出来就是不包括端点的射线，所以A正确．【解答】解：不等式x﹣3＞0的解为x＞3．

∵解集x＞3在数轴上表现为不包括端点的射线，

D、B、C都不正确．

故选：A．

【点评】此题考查不等式的解集，注意数轴上空心和实心表示．

5．【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点P所在的象限．【解答】解：∵a＞0，

∴﹣a＜0，

∵点P的横坐标是正数，纵坐标是负数，

∴点P在平面直角坐标系的第四象限．

故选：D．

【点评】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特点．

6．【分析】把代入方程，得出关于a、b的方程a﹣2b＝3，再根据方程中未知数的系数特点解答即可．

【解答】解：把代入方程ax﹣by＝3，

得：a+2b＝3，

2a+4b＝2（a+2b）＝2×3＝6，

故选：B．

【点评】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．

7．【分析】根据平方根的概念，平行线性质，不等式性质等逐项判断即可．【解答】解：16的平方根是±4，故A是假命题，不符合题意；

过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B是真命题，符合题意；

两直线平行，同旁内角互补，故C是假命题，不符合题意；

若a＜b，则ac2≤bc2，故D是假命题，不符合题意；【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．8．【分析】根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解答】解：依题意，得：．

故选：A．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

9．【分析】根据平角定义得∠EFB＝70°，根据平行线的性质得∠DEF＝∠EFB＝70°，由翻折可得∠DEF＝∠D1EF＝70°，再根据平角定义即可解决问题．

【解答】解：∵∠EFC＝110°，

∴∠EFB＝70°，

∵AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB＝70°，

由翻折可知：∠DEF＝∠D1EF＝70°，

∴∠AED1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，

故选：B．

【点评】本题考查翻折变换，平行线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．10．【分析】将b＝2a代入原不等式，解不等式，再利用已知条件得到关于a的方程，解方程求得a值，则结论可求．

【解答】解：∵b＝2a，

∴原不等式变为：﹣ax+2a+6a＞7，

∴﹣ax＞7﹣8a，

当﹣a＜0时，解得：x＜．

∵关于x的不等式（a﹣b）x+2a+3b＞7的解集是x＜1，

∴＝1，

∴a＝1．

∴b＝2a＝2，

∴a+b＝1+2＝3．【点评】本题主要考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

11．【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，由此即可得到答案．【解答】解：∵（22）3＝26，

∴26的立方根是4．

故答案为：4．

【点评】本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义．

12．【分析】用360°乘“跑步”所占百分比可得答案．

【解答】解：“跑步”对应扇形的圆心角度数为：360°×（1﹣20%﹣36%﹣14%）＝108°，故答案为：108°．

【点评】本题考查扇形统计图，理解扇形统计图表示各个部分所占整体的百分比是解决问题的关键．

13．【分析】根据垂直定义可得∠BOM＝90°，然后求出∠BOC的度数，即可求出答案．【解答】解：∵EO⊥AB，

∴∠BOM＝90°，

∵∠BOD＝150°，

∴∠BOC＝180°﹣150°＝30°，

∴∠COM＝90°﹣30°＝60°．

故答案为：60°．

【点评】此题主要考查了垂线，对顶角和邻补角，关键是掌握垂直的定义．

14．【分析】先求的解，再代入第二个方程求k．

【解答】解：解得：，

∴2×﹣3×＝2k﹣1，

解得：k＝3，

故答案为：3．【点评】本题考查了二元英寸的解，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．15．【分析】根据平移的性质得到AD＝BE＝CF＝3cm，AB＝DE，BC＝EF，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．

【解答】解：由平移的性质可知：AD＝BE＝CF＝3cm，AB＝DE，BC＝EF，

∵四边形ABFD的周长是16cm，

∴AB+BF+DF+AD＝16cm，

∴DE+EF+3cm+DF+3cm＝16cm，

∴DE+EF+DF＝10cm，

∴三角形DEF的周长是10cm，

故答案为：10．

【点评】本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．

16．【分析】AB∥CD，但AD和BC不平行，因此∠C≠∠A＝60°，由平行线的性质求出∠ADC＝120°，由角平分线定义即可求出∠EDF＝60°，由平行线的性质，角平分线定义推出∠PDC＝60°即可得到∠APD＝60°；由角平分线定义得到∠ADE＝∠FDC＝30°，得到∠DEP＝90°，由于∠C≠60°，因此∠DFB≠90°．于是得到∠DEB≠∠DFB．【解答】解：∵AB∥CD，但AD和BC不平行，

∴四边形ABCD不是平行四边形，

∴∠C≠∠A＝60°，

故①不符合题意；

∵AB∥CD，

∴∠A+∠ADC＝180°，

∵∠A＝60°，

∴∠ADC＝120°，

∵DE平分∠ADP，DF平分∠CDP，

∴∠EDP＝∠ADP，∠FDP＝∠CDP，

∴∠EDP+∠FDP＝（∠ADP+∠CDP），

∴∠EDF＝∠ADC＝60°，

故②符合题意；∵AB∥CD，

∴∠AED＝∠CDE，

∵∠AED＝∠ADF，

∴∠CDE＝∠ADF，

∠ADE＝∠CDF，

∵DE平分∠ADP，DF平分∠CDP，

∴∠ADP＝∠CDP＝∠ADC＝60°，

∴∠APD＝∠CDP＝60°，

故③符合题意；

∵DP平分∠EDF，

∴∠EDP＝∠FDP，

∵DE平分∠ADP，DF平分∠CDP，

∴∠ADE＝∠EDP＝∠FDP＝∠CDF＝30°，

∵∠A＝60°，

∴∠AED＝90°，

∴∠DEB＝90°，

∵∠C≠60°，

∴∠CFD≠90°，

∴∠DFB≠90°，

∴∠DEB≠∠DFB，

故④不符合题意．

故答案为：②③．

【点评】本题考查平行线的性质，角平分线定义，掌握以上知识点是解题的关键．

三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程、或演算步骤.）17．【分析】由AB∥CD得出∠A＝∠D，由∠A+∠ECD＝180°推导出∠D+∠ECD＝180°，即证明EC∥AD．

【解答】证明：∵AB∥CD，

∴∠A＝∠D，

∵∠A+∠ECD＝180°，

∴∠D+∠ECD＝180°，

∴EC∥AD．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的性质推导出∠D+∠ECD＝180°是解题关键．

18．【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可；

（2）将原方程组变形后利用加减消元法解方程组即可．

【解答】解：（1），

将①代入②得：3x+2（x+3）＝16，

整理得：5x+6＝16，

解得：x＝2，

将x＝2代入①得：y＝2+3＝5，

故原方程组的解为；

（2）原方程组变形为，

①+②×5得：﹣14y＝﹣28，

解得：y＝2，

将y＝2代入②得：x﹣10＝﹣8，

解得：x＝2，

故原方程组的解为．

【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握并应用解方程组的方法是解题的关键．19．【分析】由题意解一元一次不等式组，求得不等式组的整数解即可得出结论．【解答】解：由题意得：，

∵不等式2x﹣1＞﹣3的解集为x＞﹣1，

不等式的解集为x≤4，

∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤4，

∵x为整数，

∴x＝0，1，2，3，4．答：x取0，1，2，3，4这些整数时，不等式2x﹣1＞﹣3与都成立．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．

20．【分析】（1）利用点D和D1的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用点平移的变换规律得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；

（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形A1B1C1的面积．【解答】解：（1）如图，三角形A1B1C1为所作；

（2）三角形A1B1C1的面积＝4×2﹣×4×1﹣×2×1﹣×2×2＝3．

【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．21．【分析】（1）先根据频数之和等于总数求得a的值；

（2）根据频数分布表可补全直方图；

（3）总人数乘以样本中第4、5组的频率之和可得．

【解答】解：（1）a＝50﹣（2+8+10+12）＝18，

答：a的值为18；

（2）补全频数分布直方图如下：

（3）900×＝540（人），

答：估计这所学校跳绳次数达到优良的学生人数为540人．

【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，用样本估计总体，以及频数（率）分布表，弄清题意是解本题的关键．

22．【分析】（1）分析三次购买A，B两种商品数量及消费金额，可得出第三次购买有折扣；

（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，利用消费金额＝A商品的原价×购买A商品的数量+B商品的原价×购买B商品的数量，结合第一、二次购买购买A，B两种商品数量及消费金额，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（3）设购买m件A商品，则购买（10﹣m）件B商品，利用消费金额＝A商品的原价×购买A商品的数量+B商品的原价×购买B商品的数量，结合消费金额不超过90元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵第三次购买A，B两种商品的数量都比第一次购买的多，消费金额反而少，

∴第三次购买有折扣．

故答案为：三；

（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，

根据题意得：，

解得：．

答：A商品的原价为16元/件，B商品的原价为4元/件；

（3）设购买m件A商品，则购买（10﹣m）件B商品，根据题意得：16m+4（10﹣m）≤90，

解得：m≤，

又∵m为正整数，

∴m的最大值为4．

答：A商品最多可以购买4件．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）分析三次购买数据，找出第三次购买有折扣；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

23．【分析】（1）由平移的性质可求解；

（2）由平行线的性质可得∠EHB＝∠ABC＝30°，由外角的性质可求解；

（3）分两种情况讨论，由平行线的性质和直角三角形的性质可求解．

【解答】解：（1）∵将三角形ABC沿BC方向移动，得到三角形A1B1C1，

∴AB∥A1B1，理由平移图形后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等．故答案为：平移图形后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等；

（2）如图，延长BA交直线a于点H，

∵a∥b，

∴∠EHB＝∠ABC＝30°，

∵∠AEH+∠EHB＝∠EAD＝45°，

∴∠AEH＝15°＝∠1；

（3）直线BC和直线b垂直，理由如下：

如图，延长DF交BC于H，交AB于N，延长EF交BC于M，BC交直线a于G，∵AB∥DE，

∴∠D＝∠BND＝90°，

∵∠B＝30°，

∴∠BHN＝60°＝∠FHM，

∵∠EFD＝∠HFM＝45°，

∴∠EMG＝75°，

∴∠EGM＝90°，

∴BC⊥直线a，∵a∥b，

∴BC⊥直线b．

如图，延长ED交直线b于G，交AC于N，

∵a∥b，

∴∠CGN＝∠HED＝45°+15°＝60°，

∵AB∥CD，

∴∠A＝∠ANG＝90°，

∴∠GCN＝30°，

∴∠BCG＝30+60°＝90°，

∴BC⊥直线b．

综上所述：BC⊥直线b．

【点评】本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，平行线的性质，平移的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

24．【分析】（1）观察表格得y＝﹣x+4；

（2）求出AB＝＝4，可知△ABC中，AB边上的高为＝，故C 的轨迹是平行于AB，且到AB距离为的两条直线，当C在AB右侧时，设C所在直线交x轴于K，过A作AH⊥CK于H，可得△AHK是等腰直角三角形，AK＝AH＝3，及得K（7，0），直线CK解析式为y＝﹣x+7，从而n＝﹣m+7（0＜m＜7）；当C在AB 左侧时，同理可得n＝﹣m+1（0＜m＜1）；

（3）当n＝﹣m+7（0＜m＜7）时，C（m，﹣m+7），直线OC解析式为y＝x，可

得x D＝m，根据三角形AOC的面积不大于三角形BCD的面积，得×4×（﹣m+7）

≤×4m﹣×4×m，即可得≤m＜7；当n＝﹣m+1（0＜m＜1）时，同理得≤m＜1．

【解答】解：（1）观察表格可知，y＝﹣x+4；

故答案为：y＝﹣x+4；

（2）在y＝﹣x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝4，

∴A（4，0），B（0，4），

∴AB＝＝4，∵三角形ABC的面积为6，

∴△ABC中，AB边上的高为＝，

∴C到AB的距离为，C的轨迹是平行于AB，且到AB距离为的两条直线，当C在AB右侧时，设C所在直线交x轴于K，过A作AH⊥CK于H，如图：

∴AH＝，

∵OA＝OB＝4，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

∴∠AKH＝∠OAB＝45°，

∴△AHK是等腰直角三角形，

∴AK＝AH＝3，

∴OK＝OA+AK＝7，

∴K（7，0），

设直线CK解析式为y＝﹣x+b，

∴0＝﹣7+b，

解得b＝7，

∴直线CK解析式为y＝﹣x+7，

∴n＝﹣m+7（0＜m＜7）；

当C在AB左侧时，同理可得n＝﹣m+1（0＜m＜1）；

综上所述，n＝﹣m+7（0＜m＜7）或n＝﹣m+1（0＜m＜1）；

（3）当n＝﹣m+7（0＜m＜7）时，如图：

∴C（m，﹣m+7），

∴直线OC解析式为y＝x，

由x＝﹣x+4得x＝m，

∴x D＝m，

∵三角形AOC的面积不大于三角形BCD的面积，

∴×4×（﹣m+7）≤×4m﹣×4×m，

解得m≥，

∴≤m＜7；

当n＝﹣m+1（0＜m＜1）时，如图：

∴C（m，﹣m+1），

∴直线OC解析式为y ＝x，

由x＝﹣x+4得x＝4m，

∴x D＝4m，

∵三角形AOC的面积不大于三角形BCD的面积，∴×4×（﹣m+1）≤×4×4m ﹣×4×m，解得m ≥，

∴≤m＜1；

综上所述，m

的取值范围是≤m＜7

或≤m＜1．

【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及动点轨迹，三角形面积，不等式等知识，解

题的关键是分类讨论思想的应用。

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