如图1，∠MON＝90°，点A为边OM上一定点，点B为边ON上一动点，以AB为一边在∠MON的内部作正方形ABCD，过点C作CF⊥OM，垂足为点F（在点O、A之间），交BD于点E，试探究△AEF的周长与OA的长度之间的等量关系．

该兴趣小组进行了如下探索．

【动手操作，归纳发现】

（1）通过测量图1、2、3中线段AE、AF、EF和OA的长，他们猜想△AEF的周长是OA长的倍．请你完善这个猜想．

【推理探索，尝试证明】

为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：

（2）如图4，过点C作CG⊥ON，垂足为点G，则∠CGB＝90°，∴∠GCB+∠CBG＝90°．又∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，则∠CBG+∠ABO＝90°，∴∠GCB＝∠ABO．在△CBE与△ABE中，……

【类比探究，拓展延伸】（3）如图5，当点F在线段OA的延长线上时，直接写出线段AE、EF、AF与OA长度之间的等量关系为．

2．小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边△ABC外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AB于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够得到AD与DE的数量关系．

（1）AD与DE相等吗？请你说明理由；

【类比探究】

（2）当点D是线段BC上（不与点B，C重合）任意一点时，其它条件不变，如图2，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论；

【拓展应用】

（3）当点D在BC的延长线上，且满足CD＝BC，连接AE，其它条件不变，如图3，若AD＝6，求DE的长．

3．已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点，

（1）如图①，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是；

（2）如图②，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是；

（3）如图③，在（2）的条件下若BE的延长线交直线AD于点M，找出图中与CP相等的线段，并加以证明．

（4）如图④，已知BC＝4，AD＝2，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B 作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为d1，线段CF的长度为d2，试求出点P在运动的过程中d1+d2的最大值．

4．如图1，△ABC为等边三角形，点M是射线AE上任意一点（M不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转60°得到线段CN，连接BN，直线BN交射线AE 于点D．

（1）直接写出直线BD与射线AE相交所成锐角的度数；

（2）如图2，当射线AE与AC的夹角∠EAC为钝角时，其他条件不变，（1）中结论是否发生变化？如果不变，加以证明；如果变化，请说明理由；

（3）如图3，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，射线AE交BC于点H，∠EAC＝15°，点M是射线AE上任意一点（M不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，连接BN，直线BN交射线AE于点D．G，F分别是AH，AB 的中点．求证：CD＝GF．

5．【问题探索】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在AC、BC 边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．探索BE与MN的数量关系．聪明的小华推理发现PM与PN的关系为，最后推理得到BE与MN的数量关系为．

【深入探究】将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的BE与MN的数量关系是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

【解决问题】若CB＝8，CE＝2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，求MN的长度．

6．已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，动点P在斜边AB所在的直线上，把线段CP绕着点C逆时针旋转90°得到CQ，连接PQ，探究并解决下列问题：

（1）如图1，若点P在线段AB上，请直接写出P A2，PB2，PQ2三者之间的数量关系：；

（2）如图2，若点P在线段AB的延长线上，（1）中的结论是否仍然成立，若成立请给予证明；若不成立请说明理由；

（3）若动点P满足＝，求的值．

7．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α（0°＜α＜180°）．点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，CP．点M是AB的中点，点N是AD的中点．

（1）问题发现

如图1，当α＝60°时，的值是，直线MN与直线PC相交所成的较小角的度数是．

（2）类比探究

如图2，当α＝120°时，请写出的值及直线MN与直线PC相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．

（3）解决问题

如图3，当α＝90°时，若点E是CB的中点，点P在直线ME上，请直接写出点B，P，D在同一条直线上时的值．

8．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时

针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE、DF相交于点P．

（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF 的数量关系是．

（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB＝8，BC＝12，将△AEF旋转至AE⊥BE，请算出DP的长．

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB的中点，点P为直线BC 上的动点（不与点B点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．

（1）观察猜想：如图①，线段BQ与CP的数量关系是；∠CBQ＝；

（2）探究证明：

如图②，当点P在CB的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

10．已知△ABC和△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接BD，CE．（1）如图1，当点E在AB边上时，试判断线段BD，CE之间的关系是．（2）将图1中的△ADE绕点A旋转至如图2所示位置时，探究线段BD，CE之间的关系，并说明理由；

（3）将图1中的△ADE绕点A旋转至DE与直线AC垂直，直线BD交直线CE于点F，若AB＝15，AD＝5，请直接写出线段BF的长度．

11．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）当点D在AC上时，如图1，试猜想线段BD和CE的数量关系是；位置关系是．

（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角，（0°＜α＜90°），如图2，（1）中的结论是否成立，若成立，请给出证明；若不成立说明理由．

12．如图1，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，且CD＝CE，此时显然AD＝BE，AD⊥BE成立．若保持△ABC不动，将△DCE绕点C 逆时针旋转，旋转角为α．

（Ⅰ）如图2，当0°＜α＜90°时，问：AD＝BE，AD⊥BE是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（Ⅱ）如图3，当α＝45°时，延长BE交AD于点F，若CE＝，BC＝3，则线段EF ＝（直接写出结果即可）．

13．已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE．∠DAE＝∠BAC．【初步感知】

（1）特殊情形：如图①．若点D，E分别在边AB，AC上，则DB EC．（填“＞”、“＜”或“＝”）

（2）发现证明：如图②，将图①中的△ADE绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E 在△ABC内部时，求证：DB＝EC．

【深入探究】

（1）如图③，△ABC和△ADE都是等边三角形，点C，E，D在同一条直线上，则∠CDB 的度数为线段CE，BD之间的数量关系为；

（2）如图④，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，AM为△ADE中DE边上的高．则∠CDB的度数为；线段AM．BD，CD之间的数量关系为；

【拓展提升】如图⑤，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BE、CD．当AB＝5．AD＝2时，在旋转过程中，△ADE与△ADC的面积和的最大值为．

14．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、发现问题：

如图1，当点D在边BC上时，

（1）请写出BD和CE之间的位置关系为，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：．

尝试探究：

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系，BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；

拓展延伸：

（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝7，CE＝5，直接写出线段ED的长．

15．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、发现问题：

如图1，当点D在边BC上时，

（1）请写出BD和CE之间的位置关系为，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：．

尝试探究：

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系、BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；

拓展延伸：

（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝6，CE＝2，求线段ED的长．

16．已知Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为直线BC上的一动点（点D不与点

B、C重合），以AD为边作Rt△ADE，AD＝AE，连接CE．

（1）发现问题：如图①，当点D在边BC上时，

①请写出BD和CE之间的数量关系，位置关系；

②线段CE、CD、BC之间的关系是；

（2）尝试探究：如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中CE、CD、BC之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）拓展延伸：如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝4，CE＝2，求线段CD的长．

17．在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC＝DC＝，将Rt△DCE绕点C顺时针旋转，连接BD，AE，点F，G分别是BD，AE的中点，连接CF，CG．

（1）观察猜想

如图1，当点D与点A重合时，CF与CG的数量关系是，位置关系是；

（2）类比探究

当点D与点A不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．

（3）问题解决

在Rt△DCE旋转过程中，请直接写出△CFG的面积的最大值与最小值．

18．综合与实践动手操作

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AED．延长ED分别交CB于点F，交AB于点G，连接AF．

思考探究

（1）∠CAF＝°，∠EAG＝°；

（2）若BC＝（+1）AC，则①∠DAG＝°；②＝，请证明你的结论；

开放拓展

（3）如图2，若改变旋转角，已知AC＝3，BC＝4，当∠EAF＝90°时，△AFB的面积为．

19．如图，已知在△ABC和△DCE中，∠ACB＝∠DCE，且满足＝＝k，将△DEC绕点C旋转．连接BD，F，G，

H分别是AB，BD，DE的中点，连接FG，GH．

（1）当k＝1时，①如图（1），点D在AC边上时，判断FG，GH的数量关系是；

②如图（2），点D不在AC边上时，①中的结论是否成立，并说明理由；

（2）如图（3），当k＝时，探索FG，GH的数量关系．直接写出探究结论，不需证明．

20．如图1，已知△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点D在线段AC上，点F为AB的中点，点M为BE的中点，点N为AD的中点．

（1）如图1，请直接写出∠FMN的大小以及FM和MN之间的数量关系．

（2）如图2，将△DCE绕点C顺时针旋转，此时（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请写出相应正确的结论．

（3）如图3，若AB＝4，CE＝2，在将△DCE绕点C顺时针旋转360°过程中，直线BD，AE交于点G，△ABG的面积的最小值为．

21．在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，△DEC绕点C逆时针旋转，连接BD，F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，连接FG，FH，HG．

（1）如图1，当∠A＝∠EDC＝45°，点D在AC边上时，直接猜想FG，HG的数量关系和位置关系是；

（2）如图2，当∠A＝∠EDC＝45°，点D不在AC边上时，（1）猜想的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

（3）如图3，当∠A＝∠EDC＝30°时，猜想FG，HG的数量关系和位置关系，请直接写出猜想结论．下载本文