2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分；
考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一：选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，则（ ）
{}2|{},1|<=->=x x B x x A =B A
.A ()1,-+∞.B (),2-∞-.C ()1,2-.D φ2. 设，则（
） ()2z i i =+z = .A 12i +.B 12i -+.C 12i -.D 12i --3. 已知向量，则（ ）
()()2,3,3,2a b == a b -=
50.25.2.2.D C B A 4. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）
5
1.52
.53
.32
.D C B A 5. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测
甲：我的成绩比乙高
乙：丙的成绩比我和甲的都高
丙：我的成绩比乙高
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（
） 甲、乙、丙 乙、甲、丙 丙、乙、甲 甲、丙、乙
.A .B .C .D 6. 设为奇函数，且当时，,则当时，（ ）
()x f 0x ≥()1-=x e x f 0x <=)(x f
1.1.1.1.+---+-----x x x x e D e C e B e A 7. 设为两个平面，则∥的充要条件是（
） βα，αβ内有无数条直线与平行
内有两条相交直线与平行 .A αβ.B αβ平行于同一条直线
垂直于同一平面 .C βα，.D βα，8. 若是函数两个相邻的极值点，则（ ） 4
3,421ππ
==x x ()()0sin >=ωωx x f =ω
21.1.23
.2
.D C B A
9. 若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（ ）
)0(22>=p px y 132
2=+p y p x =p
8.4.3.2.D C B A 10. 曲线在点处的切线方程为（
） x x y cos sin 2+=(),1π- 0122.0
1.=---=---ππy x B y x A 01.012
2.=+-+=+-+ππy x D y x C 11. 已知,则（
） 12cos 2sin 2,20+=⎪⎭⎫
⎝⎛∈ααπα，=αsin 5
52.33
.55.51
.D C B A 12.设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于F ()0,01:2222>>=-b a b
y a x C O OF 222a y x =+两点，若,则的离心率为（
） Q P ,PQ OF =C
5.2.3.2.D C B A 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、若变量满足约束条件：，则的最大值是 .
,x y 23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩
3z x y =-14、我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有个车次的正点率为，有个车次100.9720的正点率为，有个车次的正点率为，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值0.98100.99为 .
15、的内角的对边分别为，已知，则 .
ABC ∆,,A B C ,,a b c sin cos 0b A a B +=B =16、中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形状为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）。半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。半正多面体体现了数学的对称美。图2
是一个棱数为
48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体表面上，且此正方体的棱长为，则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________（本题第一空2分，第二空3分）
1
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答，
（一） 必考题：共60分
17.（12分）
如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，
1111ABCD A B C D -ABCD E 1AA 1BE EC ⊥
（1） 证明：
11BE EB C ⊥平面（2） 若求四棱锥的体积.
1,3,AE A E AB ==11E BB C C -
18.（12分）
已知是各项均为正数的等比数列，.
{}n a 1322,216a a a ==+（1） 求的通项公式；
{}n a （2） 设，求数列的前项和.
2log n n b a ={}n b n 19.（12分）
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了个企业，得到这些企业第一季度相对于前一100年第一季度产值增长率的频数分布表：
y 的分组
y [)0.20,0- [)0,0.20 [)0.20,0.40 [)0.40,0.60 [)0.60,0.80企业数 2 24 53
14 7（1） 分别估计这类企业中产值增长率不低于的企业比例、产值负增长的企业比例；
40%（2） 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
（精确到0.01）
8.602≈
20.（12分）
已知是椭圆的两个焦点，为上的点，为坐标原点 12,F F ()22
22:10x y C a b a b
+=>>P C O （1） 若为等边三角形，求的离心率；
2POF ∆C
21．（12分）
已知函数证明：
()()1ln 1.f x x x x =---（1）存在唯一的极值点；
()f x （2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
()0f x =
（二） 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.【选修4-4：极坐标与参数方程】（10分）
在极坐标系中，为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，O ()()0000M ρθρ>，:4sin C ρθ=l ()4,0A OM 垂足为.
P （1） 当时，求及的极坐标方程；
0=3π
θ0ρl （2） 当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程.
M C P OM P
23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知 ()()2.f x x a x x x a =-+--（1） 当时，求不等式的解集；
1a =()0f x <（2） 若时，求的取值范围.(),1x ∈-∞()0f x
