九年级数学
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．
2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，
恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡
．．．．上）
．．．相应位置1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子一次，下列事件中，概率最大的是
A．朝上一面的数字恰好是6B．朝上一面的数字是2的整数倍
C．朝上一面的数字是3的整数倍D．朝上一面的数字不小于2
2．下列方程是一元二次方程的是
A．3x2＝2x＋1B．2x3－3x＝0C．x2－y2＝1D．x＋2y＝0 3．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是
A．45°B．60°C．90°D．180°
4．已知α、β是一元二次方程2x2－2x－1＝0的两个实数根，则α＋β的值为A．－1B．0C．1D．2
5．某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为172cm，方差为k cm2．第二天，小明
来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是172cm，此时全班
．．同学身高的方差为k′cm2，那么k′与k的大小关系是
A．k′＞k B．k′＜k C．k′＝k D．无法判断6．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝3，则方程a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝0的解为
A．x1＝0，x2＝2B．x1＝－2，x2＝4
C．x1＝0，x2＝4D．x1＝－2，x2＝2
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直
接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上）7．方程x 2＝4的解为
▲
．
8．一个圆锥的底面圆的半径为3cm ，母线长为9cm ，则该圆锥的侧面积为▲
cm 2．
9．将一元二次方程x 2＋4x －1＝0变形为(x ＋m )2＝k 的形式为
▲
．
10．小华在一次射击训练中的6次成绩（单位：环）分别为：9，8，
9，10，8，8，则他这6次成绩的中位数比众数多
▲
环．
11．如图，⊙O 是一个油罐的截面图．已知⊙O 的直径为5m ，油的
最大深度CD ＝4m （CD ⊥AB ），则油面宽度AB 为
▲
m ．
12．若关于x 的一元二次方程－(x ＋a )2＝b 有实数根，则b 的取值
范围是
▲
．
13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，则△ABC 内切圆的半径是
▲．
14．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定：如果购买
树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元．若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了x 棵树苗，则可列出方程
▲
．
15．如图，正方形ABCD 的顶点A 、B 在⊙O 上，若AB ＝23cm ，⊙O 的半径为2cm ，
则阴影部分的面积是
▲
cm 2．（结果保留根号和 ）
16．如图，∠AOB ＝45°，点P 、Q 都在射线OA 上，OP ＝2，OQ ＝6．M 是射线OB 上的
一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为
▲
．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程x 2＝2x ．
18．（6分）解方程2x 2＋3x －1＝0．
A
B
O
P
Q
（第16题）
（第15题）
C
D A
B
O
（第11题）
19．（8分）已知关于x 的方程(x －m )2＋2(x －m )＝0．
（1）求证：无论m 为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为－1，则另一个根为
▲
．
20．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，分别连接AC 、BC ．过点B 作直线BD ，
使∠CBD ＝∠A ．
求证：直线BD 与⊙O 相切．
21．（8分）用一根长12cm 的铁丝能否围成面积是7cm 2的矩形？请通过计算说明理由．
22．（8分）某次数学竞赛共有3道判断题，认为正确的写“A ”，错误的写“B ”．小明
（第20题）
A
B
C
D
O
在做判断题时，每道题都在“A ”或“B ”中随机写了一个．（1）小明做对第1题的概率是
▲
；
（2）求小明这3道题全做对的概率．
23．（9分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝210，BC ＝4，⊙O 是△ABC 的外接圆．
（1）求⊙O 的半径；
（2）若在同一平面内的⊙P 也经过B 、C 两点，
且P A ＝2，请直接写出．．．．
⊙P 的半径的长．24．（8分）甲、乙两名同学5次数学练习（满分120分）的成绩如下表：（单位：分）
测试日期11月5日
11月20日
12月5日12月20日
1月3日甲9697100103104乙
100
95
100
105
100
已知甲同学这5次数学练习成绩的平均数为100分，方差为10分2．（1）乙同学这5次数学练习成绩的平均数为
▲
分，方差为
▲
分2；
（2）甲、乙都认为自己在这5次练习中的表现比对方更出色，请你分别写出一条支持
他们俩观点的理由．
25．（8分）如图，在网格纸中，O 、A 都是格点，以O 为圆心，OA 为半径作圆．用无刻．．
度的直尺．．．．
完成以下画图：（不写画法）（第23题）
A
B
C
O
（1）在图①中画⊙O 的一个内接正六边形ABCDEF ；（2）在图②中画⊙O 的一个内接正八边形ABCDEFGH ．
26．（7分）某小型工厂9月份生产的A 、B 两种产品数量分别为200件和100件，A 、B
两种产品出厂单价之比为2∶1．由于订单的增加，工厂提高了A 、B 两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A 产品生产数量的增长率和A 产品出厂单价的增长率相等，B 产品生产数量的增长率是A 产品生产数量的增长率的一半，B 产品出厂单价的增长率是A 产品出厂单价的增长率的2倍．设B 产品生产数量的增长率为x （x ＞0），若10月份该工厂的总收入增加了4.4x ，求x 的值．
（第25题）
A
②
O
A
①
O
27．（12分）数学概念
若点P 在△ABC 的内部，且∠APB 、∠BPC 和∠CP A 中有两个角相等，则称P 是△ABC 的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是△ABC 的“强等角点”．理解概念
（1）若点P 是△ABC 的等角点，且∠APB ＝100°，则∠BPC 的度数是
▲
°．
（2）已知点D 在△ABC 的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足∠BDC ＋∠BAC ＜180°．
作△BCD 的外接圆O ，连接AD ，交⊙O 于点P ．
当△BCD 的边满足下面的条件时，求证：P 是△ABC 的等角点．（要求：只选择其中一道题进行证明！）①如图①，DB ＝DC ．②如图②，BC ＝BD ．
深入思考
（3）如图③，在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 均小于120°，用直尺和圆规作它的强等
角点Q ．（不写作法，保留作图痕迹）（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：
①直角三角形的内心是它的等角点；
②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；③正三角形的中心是它的强等角点；
④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中，正确的有
▲
．（填序号）
（第27题）
①
D O
A B
C
P
②A
B
C
D
P O
A
B
C
③
2019/2020学年度第一学期第二阶段学业质量监测
九年级数学参及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（每小题2分，共计12分）
题号123456答案
D
A
C
C
D
C
二、填空题（每小题2分，共计20分）7．x 1＝2，x 2＝－28．27π
9．(x ＋2)2＝5
10．0.511．412．b ≤0
13．2
14．x [120－0.5(x －60)]＝8800
15．12－3
3－
4
3
π16．42－23
三、解答题（本大题共11小题，共计88分）17．（本题6分）
解：移项，得x 2－2x ＝0．……………………………………………………………2分
原方程可变形为x (x －2)＝0．…………………………………………………4分x ＝0或x －2＝0．
所以x 1＝0，x 2＝2．…………………………………………………6分18．（本题6分）
解：方法一
∵a ＝2，b ＝3，c ＝－1，…………………………………………………1分∴b 2－4ac ＝32－4×2×(－1)＝17＞0．…………………………………………3分
∴x ＝－3±172×2
＝－3±174．…………………………………………………4分
∴x 1＝
－3＋174，x 2＝－3－174
．……………………………………………6分方法二
移项，得2x 2＋3x ＝1．两边都除以2，得x 2＋32x ＝1
2
．…………………………………………………
1分
配方，得x 2
＋3
2x ＝12＋．
＝17
16
．…………………………………………………3分解这个方程，得x ＋3
4＝±174．…………………………………………………4分
所以x 1＝
－3＋174，x 2＝－3－174
．…………………………………………6分19．（本题8分）
（1）证明：方法一
原方程可化为x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m ＝0．……………………………1分∵a ＝1，b ＝－2(m －1)，c ＝m 2－2m ，……………………………2分∴b 2－4ac ＝[－2(m －1)]2－4(m 2－2m )＝4＞0．………………………4分∴无论m 为何值，该方程都有两个不相等的实数根．………………5分方法二
原方程可化为(x －m )(x －m ＋2)＝0．…………………………2分x －m ＝0或x －m ＋2＝0．
x 1＝m ，x 2＝m －2．…………………………………………………4分
∵m ＞m －2，
∴无论m 为何值，该方程都有两个不相等的实数根．………………5分
（2）1或－3．……………………8分20．（本题8分）
证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠C ＝90°．……………………3分
∴∠A ＋∠ABC ＝90°．……………………4分∵∠CBD ＝∠A ，
∴∠ABD ＝∠CBD ＋∠ABC ＝90°，即AB ⊥BD ．……………………6分∵点B 在⊙O 上，……………………7分∴直线BD 与⊙O 相切．……………………8分
21．（本题8分）
解：设这根铁丝围成的矩形的一边长为x cm ．……………………1分
根据题意，得x (6－x )＝7．……………………4分
解这个方程，得x 1＝3＋2，x 2＝3－2．……………………6分
当x 1＝3＋2时，6－x 1＝3－2；当x 2＝3－2时，6－x 2＝3＋2．……7分
答：用一根长12cm 的铁丝能围成面积是7cm 2的矩形．……………………8分如果用二次函数的性质作答，那么请按下列评分标准给分：
设这根铁丝围成的矩形的一边长为x cm ，围成的矩形面积为y cm 2．………1分根据题意，得
y ＝x (6－x )……………………4分＝－x 2＋6x
＝－(x －3)2＋9．……………………6分
由－1＜0知，当x ＝3时，y 的值最大，最大值是9．
∴当0＜x ＜6时，0＜y ≤9．∴y 的值可以是7．……………………7分答：用一根长12cm 的铁丝能围成面积是7cm 2的矩形．……………………8分
22．（本题8分）
解：（1）1
2
．……………………2分
（2）小明做这3道题，所有可能出现的结果有：（A ，A ，A ），（A ，A ，B ），（A ，B ，
A ），（A ，
B ，B ），（B ，A ，A ），（B ，A ，B ），（B ，B ，A ），（B ，B ，B ），共有8种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“这3道题全做对”（记为事件H ）的结果只有1种，
所以，P （H ）＝1
8
．……………………8分
23．（本题9分）
解：（1）过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，连接OB 、OC ．……………………1分
∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分BC ．∵OB ＝OC ，
∴点O 在BC 的垂直平分线上，即O 在AD 上．·········2分∵BC ＝4，∴BD ＝1
2BC ＝2．····································3分
∵在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，AB ＝210，
∴AD ＝AB 2－BD 2＝6．·········································4分设OA ＝OB ＝r ，则OD ＝6－r ．
∵在Rt △OBD 中，∠ODB ＝90°，∴OD 2＋BD 2＝OB 2，即(6－r )2＋22＝r 2．………6分解得r ＝
103，即⊙O 的半径为10
3
．……………………7分A
B
C
O D
如果用相似三角形的相关知识求解，那么请按下列评分标准给分：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ．………1分∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分BC ．∵OB ＝OC ，
∴点O 在BC 的垂直平分线上，即O 在AD 上．·········2分∵BC ＝4，∴BD ＝1
2BC ＝2．····································3分
∵在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，AB ＝210，
∴AD ＝AB 2－BD 2＝6．·········································4分∵OE ⊥AB ，∴AE ＝1
2AB ＝10．······························5分
∵∠AEO ＝∠ADB ＝90°，∠OAE ＝∠BAD ，∴△OAE ∽△BAD ．……………………6分
∴
AE AD ＝AO AB ，即106＝AO 210
．∴AO ＝103，即⊙O 的半径为10
3．……………………7分
（2）25或217．……………………9分24．（本题8分）
解：（1）100，10．……………………4分
（2）答案不唯一，如：甲的数学成绩逐渐进步，更有潜力；
乙的数学成绩在100分以上（含100分）的次数更多．……………8分
25．（本题8分）
解：（1）如图①，正六边形ABCDEF 即为所求．……………………4分
（2）如图②，正八边形ABCDEFGH 即为所求． (8)
分
D
E
F
E
F
G
H
A
O
A
O
26．（本题7分）
解：根据题意，得
2(1＋2x )×200(1＋2x )＋(1＋4x )×100(1＋x )＝(2×200＋1×100)(1＋4.4x )．…4分整理，得20x 2－x ＝0．
解这个方程，得x 1＝0.05，x 2＝0（不合题意，舍去）．……………………6分所以x 的值是0.05．……………………7分
27．（本题12分）
解：（1）100、130或160．……………………3分
（2）选择①：
连接PB 、PC ．
∵DB ＝DC ，∴⌒DB ＝⌒
DC ．
∴∠BPD ＝∠CPD ．……………………4分∵∠APB ＋∠BPD ＝180°，∠APC ＋∠CPD ＝180°，∴∠APB ＝∠APC ．……………………6分∴P 是△ABC 的等角点．……………………7分选择②：连接PB 、PC ．
∵BC ＝BD ，∴⌒BC ＝⌒
BD ．
∴∠BDC ＝∠BPD ．……………………4分∵四边形PBDC 是⊙O 的内接四边形，
∴∠BDC ＋∠BPC ＝180°．……………………5分∵∠BPD ＋∠APB ＝180°，
∴∠BPC ＝∠APB ．……………………6分
∴P 是△ABC 的等角点．……………………7分
（3）如图③，点Q 即为所求．……………………10分（4）③⑤．……………………12分
对于（4）中⑤的说明：
由（3）可知，当△ABC 的三个内角都小于120°时，△ABC 必存在强等角点Q ．如图④，在三个内角都小于120°的△ABC 内任取一点Q ′，连接Q ′A 、Q ′B 、Q ′C ，将△Q ′AC 绕点A 逆时针旋转60°到△MAD ，连接Q ′M ．∵由旋转得Q ′A ＝MA ，Q ′C ＝MD ，∠Q ′AM ＝60°，∴△AQ ′M 是等边三角形．∴Q ′M ＝Q ′A ．
∴Q ′A ＋Q ′B ＋Q ′C ＝Q ′M ＋Q ′B ＋MD ．∵B 、D 是定点，
∴当B 、Q ′、M 、D 四点共线时，Q ′M ＋Q ′B ＋MD 最小，即Q ′A ＋Q ′B ＋Q ′C 最小．而当Q ′为△ABC 的强等角点时，∠AQ ′B ＝∠BQ ′C ＝∠CQ ′A ＝120°＝∠AMD ．此时便能保证B 、Q ′、M 、D 四点共线，进而使Q ′A ＋Q ′B ＋Q ′C 最小．
①
O
A B
C
P
A
B
C
③
Q
②
A
B
C
D
P O
C
A
B
Q′
M
D
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