九年级上册数学教材分析
一、教材的系统
1．本册内容结构
⑴ 本册内容分属几何、代数、概率三个领域，具体牵涉到：
几何：图形与证明——证明（二）、证明（三）；认识图形——视图与投影。
代数：方程——一元二次方程；函数——反比例函数。
概率：建立概率概念——概率的频率定义与多种求值方法。
⑵ 不同内容之间的联系（逻辑框架与方法）
本册内容在逻辑方面的联系比较“散”，除去“证明（二）”与“证明（三）”有明确的关联以外，其余部分基本上没有确定的逻辑联系。在数学方法方面，对于两章“证明”的处理思路是一致的——关注基本过程、基本方法、表述格式、通过证明加深对知识的理解、渗透借助证明去获得发现；“视图与投影”和“频率与概率”的研究方法有比较明显的相似性——实验、形成概念、应用概念解决问题；而“一元二次方程”和“反比例函数”的处理方式也相近——形成模型、研究模型的数学特征、应用模型解决问题。
2． 本册内容与教材其他各册相关内容的联系
证明（二）、证明（三）与证明（一）；“一元二次方程”、“反比例函数”和“一元一次函数”、“一元二次函数”；“视图与投影”和“空间图形”、“平行”、“相似”；“频率与概率”与先前的概率实验等。
3． 各部分内容的设计要点
（关于证明学习的要点说明——不能够仅仅将证明的教学基本目标定位成确认命题的正确性；还应当包括对证明本身的学习：证明的必要性，数学证明的含义，证明的基本过程，证明的基本方法，由证明而获得的理解和发现。）
第一章和第三章
对“公理”意义的进一步理解；关注“证明的基本方法”、“获得证明策略的不同思路”、“由证明而导致的新发现”，特别地，对于“反证法”的逻辑合理性的理解。
（1）证明的思路与以前直观探索的联系；出现的新命题的探索及证明的思路。证明方法的学习、获得证明的策略；
证明（二）、证明（三）是证明（一）的继续，其中许多命题都已经在前几册中让学生通过直观的方法探索过了，学生对其结论都已经有所了解。本册主要是对这些结论进行理论的证明。但这并不意味着我们在前几册中的直观探索就没有用处了，事实上，前面学生借助折纸、画图等活动进行直观探索的过程和方法为本章的证明提供了铺垫，为学生提供了定理相应的证明思路。如在证明等腰三角形的两个底角相等时，教材先给出了证明的思路，即由当时利用折纸来探索此结论的方法，而想到通过连接底边的中线构造全等三角形，从而证明两个角相等。
除了学生已经直观探索过的命题外，教材中还涉及了一些学生没有探索过的新命题。这些命题的获得有的是直接通过证明得到的，而有的则创设了一些问题情景，通过合情推理获得的，但此时证明是必须的。要使学生意识到证明是探索活动的自然延续和必要发展，使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用，进一步发展学生的推理证明意识和能力。如对于命题“直角三角形中，300所对的边等于斜边的一半”，教材引导学生拼摆三角板，去发现其边之间的关系，但我们不能只满足于结论的获得，要积极探索证明的思路和方法。事实上，探索的过程为证明时辅助线的添加提供了思路，为证明奠定了基础，这些都希望教师在教学时能够充分的意识到。
教材还注意引导学生探索证明的不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，开阔学生的视野，培养学生的思维能力，如在一种证明结束后提出问题“你还有其他的证明方法吗？与同伴交流”。
P4：不同的证明方法；P78：交流不同的思考方法、证明途径。（作辅助线、“发现”的案例）
此外，教材还注意渗透数学的思想方法，如由特殊结论到一般结论的归纳思想、类比、转化的思想方法等。如在证明等腰梯形的两个底角相等时，教材在分析证明思路时指出将等腰梯形的两个底角转化为等腰三角形的两个底角，从而证明其相等——明确方法的学习。
（2）关注命题的拓展、引申，引导学生发现规律，发展概括抽象的能力。证明加深理解
教材在证明（二）、证明（三）的设计上注意到了对学生数学学习方法的指导和思维能力、水平的指导和培养，为学生设置了可将结论进行推广和一般化的空间，希望通过命题的拓展，为学生创造深入思考数学问题的机会。比如在证明“等腰三角形两底角的平分线相等”并提出“等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？”等问题之后，教材在“议一议”中设置了相应的两个拓展问题，分别从角的变化和线段的变化两个角度出发，对前面已经讨论过的特殊结论进行了一般化的推广。对这种拓展型的命题，教师在教学时应当注意引导学生发现规律、对数学现象进行概括和抽象，并强化和渗透归纳、类比、转化等思想方法，从而提高学生的数学思维能力。
P5、6：由证明而获得的新结论。P75：由反思证明过程而导致新发现；关注证明的基本策略。
（3）对公理化方法的体会。
需要注意的是，依据标准的要求，在北师大版教材中，证明部分的内容可以看作是一个局部的公理体系，即从给定的6条公理及有关概念的定义出发，通过逻辑推理证明，得到平行线、三角形和平行四边形等基本图形的有关结论。因此证明（一）——（三）中所有的命题，其证明的前提只能是教材中提供的公理和已经证明过了的定理。而这也就是教材中为什么在P35例题中证明“等腰直角三角形的底角等于45°”和“有一个角等于45°的直角三角形是等腰三角形”这两个看似十分简单的结论的原因。
因此，教师在教学时要注意引导学生体会公理化的数学思想方法，发现直观探索和证明、合情推理和演绎推理之间的区别，从而认识到合情推理与论证推理之间的相互依赖和相互补充的辨证关系。
通过对公理体系的了解，学生能够认识到在数学中证明的必要性和如何进行证明以及证明的基本方法等，是我们讲授证明这几章的基本目的。
在这个意义上，教材对数学证明学习的要求提高了。
是否可以在证明（三）结束以后，来一次知识的结构化处理——将几何知识系统化；解释公理化的含义。
P8：反证法的理解有一定难度。
P17：命题之间的关系，理解其含义，不需过份关注“命题”、“逆命题”之间的转换——后面有一定的机会，而且高中将要进一步学习。
P80：三角形中位线定理：
首先是使学生在自主探索与合作交流的基础上发现结论；然后是证明结论——验证四个小三角形全等的方法可以是直观的，也可以是逻辑证明。此处，如果学生用逻辑证明的方法可能比较困难，可以让学生用直观的方法（如剪切后使之重合）来验证。
第二章：延续处理方程的基本思路：模型——求解——应用（与函数的联系在后面谈）。如“花边有多宽”、“梯子的底端滑动多少米”等，创设贴近学生生活的现实情境，让学生从具体的实例出发，经历模型化的过程，然后在此基础上抽象出数学概念和数学问题。让学生在“问题情境——建立模型——应用”的过程中体会模型化的思想，从而感受到数学的应用价值。
在求解方程过程中关注数学思想方法——化归，理解在求解程序上具有一般意义的“配方法”的实质；同时，介绍求解方程的另一种思路——通过估算而获得近似解；对于方程的应用，仍然是突出运用数量关系建立适当的数学模型。
1．估计方程的解的意义。
本章与以往的方程内容有所不同，增加了估计近似解的内容。增加这一内容，一方面可以促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力；另一方面又为方程精确解的研究作了铺垫，激发学生探求精确解的欲望，从而可以在此基础上自然地引入以后求精确解的内容。另外，教材中“地毯的花边”、“梯子的底端滑动多少米”等问题都是借助“夹逼”的方法逐步获得近似解的。应当说，夹逼思想是近似计算的重要思想。所以，教师应当在教学中注意引导学生体会夹逼思想在数学解题中的运用。
估算本身也是一种解某些方程的方法。
通过估算而获得近似解——有助于学生理解方程解的含义、体会借助计算机获得方程解的想法、发展估算能力；
P46：解方程的含义在扩大——不仅仅是利用公式。
2．方程的解法
一元二次方程的精确求解方法有配方法、公式法、分解因式法等。教材中先研究的是可应用于求解任意一个一元二次方程的配方法、公式法。其中配方法可以说是公式法得来的根本，公式法中根的一般表达式就是由配方法解一般的一元二次方程得到的。而公式法是配方法的一般化和程式化，任意一个一元二次方程只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解。因此我们要求学生能够理解配方法，体会公式法的由来。
对于一些特殊的一元二次方程，教材还引入了一种特殊的求解方法——分解因式法，分解因式法把一个一元二次方程化为两个一元一次方程方程来解，这种降次的思想是处理髙次方程的一种重要思想，教师要注意在教学时对这种思想进行渗透。
对于方程的一般解法，突出基本的数学思想方法，而不是具体的求解程序；解方程的具体技巧（因式分解法等）不是重心；
P48：解方程的过程与基本的思想方法。
3．方程应用的体现。
教材力图把方程的应用渗透在各节之中，如第一节中的“地毯的花边有多宽”，第二节中的“花园的设计方案”，第五节中的“冰箱定价问题”以及各节的习题中都安排了一定的应用性问题，从而将列方程、解方程和对方程的解的解释融为一体，而不是割裂开来进行处理，这样可以使学生在本章的学习中能够比较完整地经历一个从具体情境中抽象出数学问题，然后对数学问题进行研究和解决，再利用数学知识解释实际问题的全过程，感受一元二次方程的应用价值，理解数学与现实世界之间的联系。这也使得“模型——求解——应用”的过程得以完整地体现。
P68：讨论解应用型问题的关键。
第四章： 视图与投影学习的基本定位；基于生活经验的学习、高于生活经验的认识——平行投影、中心投影。平行投影与视图、相似；中心投影与视点；
1．视图、投影的主要内容和目标
在七年级上册中的学习中，学生们已经获得了画立方体及其简单组合体的三种视图的有关经验。本册中视图的学习是前面学习的继续，主要研究一些特殊几何体——圆柱、圆锥、直三棱柱等的三种视图。这部分内容的教学中，应使学生掌握圆柱、圆锥、直棱柱等特殊几何体的三种视图，即能够识别、画这些几何体的三种视图，从中体会这几种几何体与其视图之间的相互转化关系。教师要注意让学生经历由实物抽象出几何体的过程，进一步发展其空间观念。
在投影部分，教材主要对平行投影与中心投影，视点、视线和盲区进行了初步的探讨。首先对于生活中大量存在的影子现象，教材提供了一系列与点光源、太阳光源所形成的影子有关的生活实例，让学生通过观察，归纳出点光源与太阳光源所形成影子的各自规律。然后教材将人眼与点光源进行类比，视线与点光源发出的光线类比，影子与盲区类比，在中心投影之后安排了视点、视线和盲区等内容。教师在教学时要注意让学生经历实践、探索的过程，了解平行投影、中心投影的含义，并为学生提供大量实例让他们了解视点、视线、盲区的概念，体会其在现实生活中的应用。其中结合生活实例，发展学生的空间观念，提高学生把握空间的能力是本部分教学的主要目的。
2．投影与视图的关系
教师在教学时应当把握投影和视图之间的关系。投影和视图两个内容看似相互，实际上却有着密切的联系。视图可以看作是投影的特殊情况，在特殊位置下物体的平行投影就是物体的三种视图。
借助想象而实现相应几何体与其三视图的相互转化，这是发展空间观念的一个重要途径（P105、106等）。
P110、P116：基于生活经验的学习；P113、P 117：高于生活经验的认识；
第五章：延续处理一次函数的基本思路：模型——探究性质——应用。研究函数性质的具体方法：从观察图像入手，过渡到获得相应的代数结论，突出对于函数数学特性的形象化感受；同时，在研究方法、研究对象方面，给学生以进一步的感性认识（结合一元一次函数）；对于应用，则提倡多种解决方法的综合使用。
1．模型化思想的体现
反比例函数作为一种特殊的函数形式是研究现实世界变化规律的数学模型之一。在原有对函数的模型化特征的认识的基础上，本章同样采用一定的实例来体现反比例函数在刻画显示问题中的作用，让学生经历分析实际情境，建立函数模型，并进一步提出明确的数学问题，然后解决问题的过程。教师在教学时应当注重函数概念的形成过程和对函数概念的理解，注意对数学问题进行分析的过程，引导学生从实际背景中发现原型的本质属性，抽象出反比例函数的表达式，通过用数学语言对实际问题进行解释，让学生经历数学化的过程，逐步学会用数学的眼光考察实际问题。其中，模型化思想就渗透在数学化的过程中。
2．反比例函数性质的探索及设计
在反比例函数性质探索这部分内容中，教材希望学生能够观察、归纳、探索、概括、发现规律，获得对反比例函数图形性质的认识。因此教材为学生提供了一些实例，如给出y=4/x,y=-4/x的图象以及y=2/x,y=4/x,y=6/x图象，希望学生能通过观察具体的实例，通过归纳得出反比例函数图象的共同特征，从而探索出反比例函数的主要性质。
P138：借助图像进行研究：P145：从应用图像研究问题，过渡到应用解析式解决问题。
学习素材的选取也关注到学生数学背景（第三节）。
第六章：获得概率概念的新思路：借助频率定义概率（不是古典定义）——重在对概率概念的理解，而不是求得事件发生的概率（古典概型的求解更多地借助树状图、列表等）。突出求解概率问题的最基本方法——实验；了解随机的含义、了解统计与概率的联系。
我们所研究的概率问题大多非常特殊，不应当将教学重心主要（甚至完全）放在求解这些问题的技能上。
1．通过实验（两步实验）继续渗透频率与概率的关系
学生在七年级已经认识了许多随机事件。本册是在原来一步实验的基础上，借助两步实验继续渗透频率和概率的关系。首先以涉及两步实验的事件发生的概率问题为切入口，教材一方面加强前后知识的联系，另一方面，通过实验活动让学生领悟到“当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率”这一结论的含义，进一步加深学生对概率的理解,同时授予学生两种计算随机事件发生的概率的理论方法——树状图和列表法。
P162-1：借助树状图、列表的方法求解概率；
教师在借助两步试验渗透频率和概率的关系时，需要注意两个问题。一是“当试验次数很大时，频率稳定在概率附近”并不意味着试验次数越大，频率就越为靠近理论概率。有可能出现这样的情形：增加了几次试验，试验数据和理论概率的差距反而扩大了；二是在利用树状图和列表法来求事件发生的概率时，其使用前提必须是各种情况出现的可能性要相同，即等可能性是我们求理论概率的前提。
P159-160：借助频率理解概率；
2．用实验的方法，以频率估计概率的应用
概率计算有理论计算和试验估算两种方式。对于一些比较复杂的问题，虽然存在着理论概率，但其理论计算已经超过了学生的接受能力，学生只能借助试验模拟获得其估计值。教材针对这类问题，选取了既联系学生的生活实际，同时又有一定的趣味性和可操作性的投针问题和生日问题。
首先对于投针问题，教材希望学生能够经历具体的试验操作、统计等活动，获得一定的活动经验，并在活动中进一步发展学生的合作交流的意识和能力。在投针问题之后，教材接着引入了贴近学生生活的生日问题。这个问题的理论概率与学生的常识大相径庭，具有一定的趣味性。另外其理论计算超出了学生的理论计算水平，因此试验估算的作用就体现的更为明显。
P167、P171：突出求解概率的最基本方法——实验；
3．对模拟试验方法的认识和掌握
通过投针问题和生日问题两个活动，学生们对试验估计概率的方法已经有了一定的认识。那么，在此基础上，教材还鼓励学生利用带编号的小球等实物或现代信息技术手段（计算器、计算机或其他媒体）进行模拟实验。其理由有两点：首先采用模拟试验方法可以解决不具备试验条件的问题，比如手头没有硬币，而又需要做掷硬币试验时，我们可以借助计算器产生随机数进行模拟。其次，采用模拟试验尤其是借助计算器和计算机进行模拟试验的方法，可以实现通过大量的模拟实验获得更为准确的实验结果，进一步加深对频率和概率关系的理解。
设计恰当的模拟试验也是提高学生概率模型理解水平的一个有效方法。
需要注意的是，在利用模拟试验方法进行试验时，试验结果未必具有很好的精确度。但教师只要让学生体会到试验次数很大时，结果将较为精确即可。
P175：概率模型；
关注统计与概率的联系——揭示统计推断的一些理论依据（第4节）；P176、P178：感受随机观念；了解统计与概率的联系。
课题学习：
这是一个比较典型的“做数学”活动——猜想、尝试、证明、拓广（提出问题）。其中的思维过程非常重要。
让学生在解决一个个看似简单又具有挑战性的问题的过程中，不断经历判断、选择及综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识，经历“做数学”的过程。
这是一个具有开放性意义的研究课题，主要意图不在于回答一些具
体问题，而是设置一种思考、探究的氛围，在活动中体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动的经验。
教材设计特点：为学生自主探索留有较大空间，通过“做一做”
积累经验、“想一想”诱导发现；“议一议”中提出的问题均有一定深度又有相当大的弹性，不同的学生可以找到自己感兴趣的问题，在“读一读”中引出两种思路，对问题解决有很大启发性。
九年级下册数学教材分析
一、教材的系统
⒈本册内容结构
⑴ 本册内容分属几何、代数、统计与概率三个领域，具体牵涉到：几何：图形的认识——直角三角形的边角关系、圆；
代数：函数——二次函数；统计与概率：对统计与概率的学习做一个总结、提升。
⑵ 不同内容之间的联系（逻辑框架与方法）：直角三角形的边角关系与圆，在探索图形性质的方法方面有一致性；其余部分基本上没有确定的逻辑与方法方面的密切联系。
本册总内容框架
第一章直角三角形的边角关系；第二章二次函数；第三章圆；第四章统计与概率。
第一章 直角三角形的边角关系内容：①从梯子的倾斜程度谈起②30°、45°、60°角的三角函数值③三角函数的有关计算④船有触礁的危险吗？ 回顾与思考
第二章 二次函数内容：①二次函数所描述的关系②结识抛物线③刹车距离与二次函数④二次函数y = a x2 + b x + c的图像⑤用三种方式表示二次函数⑥何时获得最大利润⑦最大面积是多少⑧二次函数与一元二次方程 回顾与思考
课题学习：拱桥设计。
第三章 圆内容：①车轮为什么做成圆形？②圆的对称性③圆周角和圆心角的关系④确定圆的条件⑤直线与圆的位置关系⑥圆与圆的位置关系⑦弧长及扇形的面积⑧圆锥的侧面积。回顾与思考。
课题学习：设计遮阳篷。
第四章 统计与概率内容：①50年的变化②哪种方式更合算③游戏公平吗。回顾与思考
2本册内容与教材其他各册相关内容的联系
直角三角形的边角关系与三角形、相似在知识方面的联系；直角三角形的边角关系、圆与三角形、四边形等在方法方面的联系；二次函数与一次函数、反比例函数在方法方面的联系；统计与概率和各册的统计、概率内容在知识与方法方面的联系。
3各部分内容的设计要点
第一章： 内容处理的基本定位是：将直角三角形的边角关系作为解决问题的工具来处理，基本内容是三角学，而不是三角函数；以正切作为研究边角关系的起源（正弦和余弦的概念，则是在正切的基础上、利用直角三角形、让学生通过说理得到的）；随后是引入计算器处理有关三角的计算问题、和应用三角知识解决问题。
问题：在研究和学习直角三角形的三种边角关系时，教材先引入一个角的正切，而后给出正弦和余弦，这样的安排出于怎样的考虑？
在日常生活中，刻画物体的倾斜程度、山的坡度等常常用到正切，对学生来讲用正切刻画倾斜程度也是很直观的、易于接受的，因此，教材在本章一开始就从现实的问题出发，借助于日常生活中常见的梯子，山坡等情景，提出相关的问题后，引导学生在解决问题的过程中得出正切的概念，并结合具体的问题进行应用。在此基础上，运用类比的方法再引出正弦和余弦的概念，使直角三角形的边角关系的研究自然展开。
P2、7：体现将直角三角形的边角关系作为解决问题的工具来处理的想法，说明了为什么要研究三角学，而且以正切作为研究边角关系的起源。
整章内容均表现出知识与应用是密切相联系的。
问题 教材上称“锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数”，此处是从函数的角度研究直角三角形的边角关系吗？
教材上虽然称正弦、余弦和正切为三角函数，但实际上并没有从函数的角度研究它们，也就是说没有研究随着角的变化，其正切值的变化规律如何？而是研究当角一定时，相应的边的比值是什么？那么，之所以又引入三角函数的名词，一方面可以与后面高中的学习相衔接，同时也没有必要再用其他的称呼为之命名。因此教学中，教师应注意此处的要求，做到心中有数。
第二章： 延续了一次函数的基本思路：模型——探究性质——应用——与一元二次方程的联系；突出图像在二次函数学习过程中的独特作用。
研究函数性质的具体方法：从借助图像进行讨论开始，再逐步获得相应的代数结论，突出对于函数数学特性的形象化感受。对于应用二次函数解决实际问题，则提倡多种方法结合。
P34：提供各种类型的背景，强调模型的意义；
问题 “用三种方式表示二次函数”的意义是什么？
有研究表明，函数的多种表示、各种表示之间的联系与转化是函数学习中的“重要思想”。
函数有四种表示形式：语言表示、表格表示、图象表示、代数式表示。其中后三种是数学的形式。这四种表示形式各有其特点，它们从不同的侧面反映变量之间关系，文字的（或口头的）、数值的、图象的和符号的，在用不同的表示形式表示同一关系时，它们之间应该是互相联系的。如y=x2，y的值应该在x=0处最小，它的图象应该在x轴以上且关于y轴对称等，而语言表示向数学表示的转化，及从数学表示回到实际问题，就是数学建模。
关注了各种表示之间的联系与转化，也就关注了学生对函数关系的理解、对数学方法的理解。
事实上，这一思想渗透在二次函数整章的内容中，如一般二次函数的作图，始终都在考虑表达式与图象之间的联系、表达式的变化引起图象相应的什么变化等。一直在用分析、推理的方法，而不只是简单的描点作图。
P38、P46：突出利用图像研究二次函数的做法；
P42、P56：在解决问题的过程中研究二次函数的相应特征；
问题 二次函数的应用题学生感到比较困难，能否换一些简单的题？
培养学生的数学应用意识，是新课程的重要目标之一，教材中选用范围更加广泛、内容更加贴近实际的应用问题。很明显，新课程在放宽一些要求（如根式的计算）的同时，对应用数学解决实际问题的要求有所提高。
勿庸质疑，解应用问题确实比较难，这由于应用问题往往没有良好的结构，即不是很好定义的，需要很好地进行翻译。并且应用问题经常需要进行估算、有多个结果或结果不确定等。
解决实际问题的过程，就是寻找实际问题和数学之间的一种联系的过程，或者说是建立数学模型。由于普通语言结构的灵活性、表达的丰富性和包含在其中的意义的含糊性，使得寻找与所叙述的实际问题相配的数学结构具有困难性。具体地说这些困难包括读题、理解题意，把实际问题翻译为数学问题，求解的过程、对解的分析等多个方面，最主要的是“把实际问题翻译为数学问题”这一步骤。因此解决实际问题往往比较难。这样，应用问题难度在客观上有所提高。
二次函数的应用问题，一般是利用它有一个最值点，由于这一点，二次函数被广泛地用来解决一些单变量的最优化问题，教材也安排了这样的应用问题。也就是说教材中的应用问题是随着知识的线索而展开的，它的难度是与知识的特点相适应的。
P60、P63：采用不同的方法研究应用二次函数解决实际问题；
问题 不管是求精确解还是近似解，解一元二次方程都有很好的方法。利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解意义何在？
求一元方程的解，曾被认为是代数的主要内容。对于一个方程，我们希望能找到它的一般解，像一元二次方程那样，有公式解。但遗憾的是，五次及五次以上的方程没有公式解，并且尽管三次方程和四次方程有公式解，由于复杂，人们也不常用。这样，利用图象法求方程的近似解就是一个很好的求解思路。近来，由于计算机的运算速度的增加和精确性的提高，人们越来越多地使用方程的近似解。
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，最重要的不是获得解本身，重要的是方法，是求解的思路，对方程解的理解——包括解的范围、解的精确度以及如何达到所要求的精确度等，这些对于学生来说都是有价值的数学。
同时利用图象法求解，还可以使学生进一步理解一元二次方程和二次函数之间的关系。
P66、P67：换一个角度看待一元二次方程及其解，加深对相应内容的理解。
问题 在本章的“读一读”栏目中，有“假设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x在某一范围的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它确定，那么就说y是x的函数，x叫做自变量”的函数定义，为什么教材不把这个定义写在正文当中？
这个定义与第3册的定义相比，多了“y的值唯一”的说法，为学生进一步学习函数，进行铺垫。
没有放到正文当中，是因为教材试图在这一学段回避从形式上讨论：哪些y有唯一确定的值，哪些y不是有唯一确定的值，这种讨论一般是制造一些不符合“唯一性”的“关系”，从而在“函数”和“关系”之间进行区别。在本学段，对函数的学习我们强调函数的模型思想，强调一个量是如何依据另一个量的，强调运用函数对变化趋势进行预测等。
教材这样处理，再次体现了“淡化形式、注重实质”的一贯设计思路。
第三章：基本定位；突出对圆的整体特征的认识；对于数学推理的要求高于对形式化证明的要求。
问题 圆，小学就已经有所研究，而且课程标准对其要求有所变化，为什么将其单独成章 并放置于整个初中几何学习的最后？
确实，圆的知识相对而言比较少，课程标准的要求也相对比较低，因此，将圆的有关知识融合到其他各个章节的学习中，也未尝不可。但各有利弊。几何学习一般可以有两条主线，一条是图形性质，一是图形性质的探索与研究方法，也就是说方法和知识两条主线。如果以方法为主线，根据方法将有关知识整合到某些章节进行学习，学生对方法的感受可能比较丰满，但对图形性质的研究可能是分散的，从而难以形成对图形的整体认识；而如果以图形为主线，将圆单独成章，可以让学生对圆的有关知识及其研究方法有一个全貌的了解。各种处理方式各有利弊，教科书可以有不同的选择，但应保持整个教科书的整体风格。
将圆作为初中几何学习的最后一章，和原来的大纲教材一样，主要是考虑到图形的简单复杂的顺序，前面研究的图形都是直线形，而圆是曲线形，而且圆有关知识的研究可能很需要借助直线形的有关知识。
问题 圆的教学定位如何？
圆作为几何内容的最后一章，其教学定位就不能仅仅是图形性质的再现，而是希望以图形性质的研究为载体，对整个初中阶段图形性质的研究方法进行回顾与提升。
在前面的学习中，学生已经通过实践操作、简单推理和严格的论证等方式探索并证明了直线形的有关性质，这里希望学生迁移前期的学习，继续经历探索与说理的过程（初中阶段，课程标准对圆的有关知识没有提出严格的证明要求，因此这里只要求学生能探索出有关性质，并确信所探索性质的正确性即可，不必要求严密的论证）。当然，教学中应关注圆的有关性质探索方法的多样化，可以在直观观察的基础上进行测量、剪切等活动，从而归纳（猜想）出有关性质，当然不能停留于归纳，归纳之后仍需要利用以前学习的图形性质进行简单的说理；部分学生能直接分析图形的特征，特别是和已经研究过的直线形之间的内在联系，借助几何论证获得有关结论，也是值得赞赏的；此外，教学中，应特别关注圆的特殊性（如对称性），借助于这些特殊性进行性质探索。
问题 对称观点研究圆的性质的一些案例
圆十分“”，它既是轴对称地图形，又是中心对称图形，更一般的，还是旋转对称图形（绕圆心旋转任意角度都可以和原图形重合）。事实上，借助变换的有关知识，可以研究初中阶段关于圆的几乎所有定理；而且借助几何变换，既降低了问题的难度，也提升了学生对圆的理解水平。在这个方面，老师们可以进行大胆地探索：
借助几何变换研究圆有关性质的几个案例：
（1） 观察图1，由其轴对称性可以比较方便地探究垂径定理及其有关逆定理
（2） 观察图2，在直线的平移过程中，整个图形的轴对称性没有发生变化，而且对称轴也保持不变。在画出其对称轴后，可以引导学生发现切线的性质（切线与过切点的直径垂直）以及直线与圆位置关系的判别方法（比较圆心到直线的具体与半径的大小）。
（3） 固定圆O1，在平移圆O2的过程中，整个图形
是否仍然保持轴对称，其对称轴如何？通过这个问题的思
考，学生可以十分自然地得到连心线（连心线所在直线就
是对称轴），从而得到两圆位置关系的判别方法。
(4) 当然，利用圆的轴对称性，还可以帮助学生解决一些问题。
如图4，AB∥CD，图形是否轴对称，连接A、B、C、D四点，你能得到哪些结论？
如果学生得到了AC=BD，还可以研究其的逆问题：
如图5，AC=BD，图形是否是对称图形，连接A、B、C、D四点，你又能得到哪些结论？
当然，图5中弦AC、BD不交，如果它们相交，则成为图6的情形。这时是否仍有相同的结论呢？
图4 图5 图6
（5） 借助旋转、平移可以得到等弧所对的圆心角相等、等弦对等弧、等弧对等弦。
P88：对称性是圆的一个最为基本的特征，是重点研讨对象。P95、P96：本质上都是对称（对等）性质的体现。
P100：更关注研究的方法；P109：体现了一个研究数学的过程。
P113与122：在探究问题的大思路方面有很明显的一致性，而且和圆周角与圆心角之间的关系的研究也相似。
探索图形性质的方法多样化贯穿始终。
第四章：以对所学统计、概率知识的一个总结性应用来形成基本内容，希望形成一个“螺旋上升”的学习过程。介绍了统计图表所可能引起的错觉。引入了“期望”的内涵，以突出概率在现实情境中的应用。
问题 概率与统计一章的知识定位是什么？
在前5册，学生已经基本完成了课程标准中“统计与概率”有关知识的学习，本章则力图对初中阶段“统计与概率”作个回顾与整理，同时对于统计过程中可能出现的一些问题作一些分析，提升学生统计应用的能力和评判质疑能力；让学生能利用概率有关知识解决一些简单的现实问题，提升学生的应用意识和能力；此外，关注概率与统计的内在联系。
问题 为什么要设计“哪种方式更合算”一节，如何进行教学？
我们认为，学生仅仅认识到现实生活中大量存在的随机现象以及一些简单的随机事件发生的概率，还是远远不够的，例如学生可能认识到某些或促销活动中获胜或获奖的可能性，但未必就具有正确的评判能力和决策能力，应该给予学生一定的工具，让学生评判某项活动是否“合算”，而且判断一件事情的“合算”与否在现实生活中广泛存在，它是概率的一个极为重要的应用，为此我们设计了“哪种方式更合算”一节，力图让学生在具体情境中感受“合算”，并掌握一定的判断方法，提高其决策能力。
这个内容本质上就是数学期望。数学期望是否超出了初中学生的学力水平？我们认为，数学期望从思维上看难度较高，但经过适当处理后可以适应初中学生的学力水平，很多国家的初中学生都学习数学期望这一概念，关键在于如何学习。正是考虑到这一点，教材中并未介绍数学期望这一概念，而是通过实例让学生感知到某项活动的平均收益，而且仅仅介绍一些简单的有关离散型随机变量的数学模型。
具体地，教科书首先通过一个学生熟悉的情境“商场摇奖活动”，引出学生对摇奖平均收益的思考；然后引导学生通过试验操作具体感受和估计“摇奖平均收益”；但估计难能准确，也难能为学生所信服的，这样学生自然产生了对此进行理论研究的内在需要，在此基础上，进行理性的分析，通过巧妙的过渡，加强其与平均数的联系，从而一方面促进了学生的理解，同时也渗透了概率统计之间的联系。
总之，教学中应关注知识之间的内在联系，关注实验操作与理论计算之间的关系与过渡。
P149：在对统计图表做回顾的基础之上，引入统计图表所可能引起的错觉这一现象，而其中的素材尽可能选自现实情境。
P159—P1：在解决问题的过程中回顾了基本的统计知识、方法和较完整的统计过程。
P166：引入“期望”的实际背景，希望帮助学生加深对“概率”的理解。
P171：通过对“游戏是否公平”问题的讨论，总结了概率学习的主要内容和方法。下载本文
