基于模糊数学的多目标决策问题模型及算法
许 霞
(四川烹饪高等专科学校信息技术系,四川成都610072)
收稿日期:2005202206
作者简介:许 霞(1961-),女,四川会理人,副教授,
主要研究方向为运筹学。
摘 要:针对多目标决策中的最优问题,提出了一种实用的模糊决策方法。最后应用该决策方法分
析解决了一个实际问题。
关键词:多目标决策;模糊数学;排序
中图分类号:O22 文献标识码:A 文章编号:16712654X(2005)022*******
引言
多目标决策问题主要解决具有多个目标(指标)
,是我们寻求现实问题最
优解时经常会遇到的。解决多目标决策的困难是如
何获得目标权重,目前解决这类问题的方法很多,如
层次分析法、加权法和理想点法等。这些方法普遍存
在计算量过大且程序实现较为繁琐的问题。在绝大
多数情况下,决策者通常对目标的权重信息和目标值
都有所了解但又难以完全确定。本文提出了一种基
于模糊数学的实用决策方法———模糊决策方法,来解
决多目标决策问题中的最优问题。
1 基于模糊数学的多目标决策问题描
述
对于有m个目标a
1
,a2,…,a m的决策问题,设目
标的相应权重分别为w
1
,w2,…w m,假定解决该决策
问题有n个策略b
1
,b2,…,b n,决策目标就是在其中寻
求最优的策略b
j
3。
一般地,策略b
j
(j=1,2,…,n)对应于目标a i(i
=1,2,…,m)有一个效果指标值。由于实际问题的复
杂性和不确定性,用传统决策分析方法对b
j
进行优排
序很难得到一个理想的决策。但若把模糊数学中的隶
属度理论引入,则问题将得到改善。
对于模糊概念下的“优”(以～
A
表示)的隶属度μ
～
A
(b
j
),即是确定映射:μ～
A
:b j→μ～
A
(b
j
),μ～
A
(b
j
)
∈[0,1],根据最大隶属度原理,隶属度最大的决策就
是最优决策。
2 决策模型及算法
上述决策是在论域B=(b
1
,b2,…,b n)中进行的,
即在论域B中,对n个决策方案之间作优比较(最优决
策是相对而言的)。这时可以建立论域B中的相对优
决策,作为相对优比较的标准。
以S
ij
=f(a i,b j)表示第j个策略b j对应于第i个
目标a
i
的效果指标值。每个目标都可以用n个策略去
对应,于是得到m×n个效果指标值S
ij
,即有如下效果
指标值矩阵:
S=
S11 S12 … S1
n
S21 S22 (2)
… …
S m1 S m2 … S
(1)
显然,效果指标值可以分为越大越优型(如收益
最大等效益型指标)与越小越优型(如投入最小等成
本型指标)两种。
效果指标值对于单个评价目标对于“优”的隶属
度,越大越优型的隶属度定义如下:
γ
ij
=
1 当S
ij
>S ip
(S
ij
-S if)
(S
ip
-S if)
当S
if
0 S
ij
≤S
ip
(2)
式中γ
ij
表示第j个策略b
j
对应于第i个目标a
i
的效果
指标隶属度,S
ip
、S
if
分别表示策略的第i个目标的效果
指标值在有关实际问题中规定的上、下界,如果未作第35卷 第2期
2005年6月
航空计算技术
Aer onautical Computer Technique
Vol135No12
Jun12005
上、下界规定,则可分别取全体策略该效果指标值的最大、最小值。
对于越小越优型,效果指标的隶属度按γij 的余集
y ij 计算,其效果指标隶属度定义为:
γij =
0 当S ij >S ip
(S ip -S ij )
(S ip -S if )
当S if 1
S ij ≤S ip
(3)
由式(2)或(3)可将效果指标矩阵(1)转换成效果指标隶属度矩阵:
～R
=
γ11 γ12 (1)
γ21γ22…γ21…
…
γm 1
γm 2
…γmm
(4)
上述提到的最优决策的相对性,可由矩阵(4)建立标准优等方案,作为优选比较的相对标准,根据最大隶属度原理,可按下式建立优等方案: G G =(γ11∨γ12∨…γ1n ,γ21∨γ22∨…γ2n ,…,
γm 1γm 2∨…∨γm n )
T
=Δ
(g 1,g 2,…,g m )
T
(5)
式中∨为取大运算。
第j 个方案可用向量式表示为:
R j =(γ1j ∨γ2j ∨…∨γm j )
T
(j =1,2,…,n )(6)
m 个目标a 1,a 2,…,a m 的权重表示为:
W =(W 1,W 2,…,W m )
T
(7)
把模糊数学中的贴近度概念拓广为带权的贴近度,并用它来刻划方案 R j 的优程度,即根据 R j 的优方案 G 的带权贴近度的大小排序,可得策略 R j 的优排序,贴近度最大者对应的决策b j 3
与 G 最接近,所以
b j 3
即为最优方案。
带权的贴近度可用下面两种方式定义:1)带权距离定义:
N ( R j , G )=1-D w ( R j , G ),其中D w ( R j , G )表示 R j 与 G 的带权距离。
如果D w ( R j , G )取带权的海明距离,则带权的海明贴近度为:
N H ( R j , G )=1-
∑
m
i =1W i (g i ,γij )(8)
如果D w ( R j , G )取带权的欧几里得距离,则带权的欧几里得贴近度为:
N E ( R j , G )=1-[
∑
m
i =1
W i
(g i ,γij )]1
2
(9)
2)内外积法定义:
N ( R j , G )=1
2[ R j G +1- R j ⊙ G ]w
=
Δ
1
2
[W 1(γ1j ∧g 1)∨W 2(γ2j ∧g 2)∨…∨ W m (γm j ∧g m ]+1
-W 1(γij ∨g 1)∧W 2(γ2j ∨g 2)∧…∧
W n (γm j ∨g m )]
(10)上面两种带权的贴近度各有优点,可根据具体情
况选用合适的带权贴近度公式。把计算得到的带权贴近度由大到小排序,即得到对应策略b j 的优排序,带权贴近度最大者对应的策略即为最优策略b j 3
。
以上的讨论是取优方案 G 作为相对标准,与之相对应,也可取劣方案:
B =(γ11∧γ12∧…γ1n ,γ21∧γ22∧…∧γ2n ,∧,
γm 1∧γm 2∧…∧γin )
T
=Δ
(b 1,b 1,…,b m )
T
(11)
作为相对标准,计算出 R j 与 B 的带权贴近度,则可按计算出的带权贴近度的大小排序得出的优排序,
带权贴近度最小者对应的策略即为最优策略b j 3
。
3 实例
某企业准备投资进行设备改造,考虑分别选A,B ,
C 三种策略,其对应于三个不同目标:平均投入、平均
收益和收益可用周期的效果指标值如下表:
效果指标值表
策略平均投入(万元)平均收益(万元)收益可用周期(月)
A 2507
B 310010C
4
20
15
方案应遵循平均投入不超过5万元,收益、收益可
用周期越大越好的原则。
由上述原则,经专家评议,建议各目标的权重为
W =(0.2,0.1,0.4)T
。利用模糊决策方法确定最优策略(方案)。
平均投入越少越好,所以用越小越优型确定隶属度,按上述规定取S 1p =5,下限无规定,取最小值S 1f =2,由式(3)得
γ1—
=(1,0167,0133)收益越大越好,用越大越好
型确定隶属度,有S 2p =100,S 2f =20,由式(2)得
γ2—
=(01375,1,0)
收益可用周期也是越大越好,用越大越优型确定隶属度,有S 3p =15,S 3f =7,由式(2)得
γ3—=(0,01375,1)
所以效果指标隶属度矩阵为:
・
76・ 2005年6月 许 霞:基于模糊数学的多目标决策问题模型及算法
～R
= 1 0167 013301375 1 0
001375 1
由公式(5)计算得:
G =(1,1,1)
T
取带权的海明贴近度(8)式,计算出优方案与各方案的贴近度为:
N H =( G , R 1)=0.5375N H =( G , R 2)=0.684N H =( G , R 3)=0.766
得C ﹥B ﹥A,所以最优方案为C,即选择C 方案可给企业带来最大收益。
4 结术语
本文的计算结果与用层次分析法计算结果是一
致的,但本文提出的方法其计算量远小于层次分析
法,从而说明本文给出的方法是行之有效的。
另外,对于权重w j 不能完全确定,但知w j 的变化区间为[W -j ,W +
j ],效果指标值S ij 也不能完全确定,仅知S ij 所在的区间[S -ij ,S +
ij ],对于这样的多目标区间决策问题,本文提出的决策模型同样适用。参考文献:
[1] 钱颂迪.运筹学[M ].北京:清华大学出版社,1990.[2] 刘普寅,吴孟达.模糊理论及其应用[M ].长沙:国防科
技大学出版社,1998.
[3] 高峰记,马浩静,王彦.多指标区间决策的T OPSI S 法
[A ].2000年中国控制与决策论文集[C ].沈阳:东北大
学出版社,2000.
M odel and Algorith m of M ulti ple Objecti ve Decisi on
Maki n g on Fuzzy Mathe mati cs
XU X i a
(D epart m en t of Technology Infor m ation,S ichuan Cooking College,Chengdu 610072,China )
Abstract:This paper brings for ward an app lied method on fuzzy mathe matics ai m ing at the multi p le objective deci 2si on Making .A t last,the paper analyses an exa mp le using this method .
Key words:multi p le objective decisi on Making;fuzzy mathe matics;order
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