1. 如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形，沿着较短的对角线对折，使得
，为的中点.
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求三棱锥的体积；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）1；（3）
【解析】（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全.（2）利用棱锥的体积公式求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.（5）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.
试题解析：（Ⅰ）连接，由已知得和是等边三角形，为的中点，
又边长为2，
由于，在中，
，
（Ⅱ）,
（Ⅲ）解法一：过，连接AE，
，
即二面角的余弦值为.
解法二：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则
显然，平面的法向量为
设：平面的法向量，
由,，
∴二面角的余弦值为.
【考点】（1）空间中线面垂直的判定；（2）三棱锥的体积公式；（3）利用空间向量证明线线垂直和求夹角.
2. 如图，在三棱柱中，平面，，为棱上的动点，.
⑴当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
⑵当的值为多少时，二面角的大小是45.
【答案】（1），（2）.
【解析】（1）此小题考查用空间向量解决线面角问题，只需找到面的法向量与线的方向向量，注意用好如下公式：，且线面角的范围为：；（2）此小题考查的是用空间向量解决面面角问题，只需找到两个面的法向量，但由于点坐标未知，可先设出，利用二面角的大小是45，求出点坐标，从而可得到的长度，则易求出其比值.
试题解析：
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，⑴因为为中点，则，
设是平面的一个法向量，则，得，取，则，设直线与平面的法向量的夹角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；
⑵设，设是平面的一个法向量，则，取，则，是平面的一个法向量，，得，即，所以当时，二面角的大小是.
【考点】运用空间向量解决线面角与面面角问题，要掌握线面角与面面角的公式，要注意合理建系.
3. 在空间直角坐标系中，若两点间的距离为10，则__________．
【答案】.
【解析】直接利用空间两点间的距离公式可得，解之得，即为所求.
【考点】空间两点间的距离公式．
4. A(5，-5，-6)、B(10，8，5)两点的距离等于 .
【答案】.
【解析】∵，，由空间中两点之间距离公式可得：.
【考点】空间坐标系中两点之间距离计算.
5. 如图，边长为1的正三角形所在平面与直角梯形所在平面垂直，且，，，，、分别是线段、的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【解析】（1）由已知中F为CD的中点，易判断四边形ABCD为平行四边形，进而AF∥BC，同时EF∥SC，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．（II）取AB的中点O，连接SO，以O为原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出平面SAC与平面ACF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角S-AC-F的大小．．
（1）分别是的中点，．又，所以．，……2分
四边形是平行四边形．．是的中点，．……3分
又，，平面平面……5分
（2）取的中点，连接，则在正中，，又平面平面，平面平面，平面．…6分
于是可建立如图所示的空间直角坐标系．
则有，，，，
，．…7分
设平面的法向量为，由．
取，得．……9分平面的法向量为．10分
…11分而二面角的大小为钝角，
二面角的余弦值为 ．
【考点】1．用空间向量求平面间的夹角；2．平面与平面平行的判定．
6. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为 ( )．
| A． | B． | C． | D． |
【解析】设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，
则C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1），可知=（2，-2，1），=（2，2，-1），∴•＝2×2−2×2−1×1＝−1，|| ＝ 3， | |＝3;∴cos＜,＞＝，所以sin＜,＞=．故选B .
【考点】用空间向量求平面间的夹角.
7. 已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．
(1)证明：PF⊥FD；
(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；
(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．
【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3).
【解析】解法一（向量法）
（I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD；
（2）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置；
（3）由是平面PAD的法向量，根据PB与平面ABCD所成的角为45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
解法二（几何法）
（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；
（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH＝AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD．从而确定G点位置；
（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．.
试题解析：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则
A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．
不妨令P(0,0，t)，∵＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，
∴＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，
即PF⊥FD.
(2)解：设平面PFD的法向量为n=(x，y，z)，
由得
令z=1，解得：x=y=.
∴n=.
设G点坐标为(0,0，m)，E，则，
要使EG∥平面PFD，只需·n=0，即，得m=，从而满足AG=AP的点G即为所求．
(3)解：∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得=(1,0,0)，又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量为n=.
∴.
故所求二面角A－PD－F的余弦值为.
【考点】1.用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系；3.直线与平面平行的判定．
8. 已知三棱柱，平面，，，四边形为正方形，分别为中点．
（1）求证：∥面；
（2）求二面角——的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）只要证出∥，由直线与平面平行的判定定理即可得证
（2）建立空间直角坐标系，利用求二面角的公式求解
试题解析：（1）在中、分别是、的中点
∴∥
又∵平面，平面
∴∥平面
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
∴，
平面的一个法向量
设平面的一个法向量为
则即
取.
∴
∴二面角的余弦值是.
【考点】直线与平面平行的判定定理，在空间直角坐标系中求二面角
9. 如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱),底面中，棱，分别为的中点.
（1）求>的值；
（2）求证：
【答案】（1）>的值为；（2）证明过程详见试题解析.
【解析】（1）先以C为原点建立空间坐标系，由已知易求出，进而可求 >的值；
（2）由（1）所建立的空间坐标系可写出、、的坐标表示，即可知，从而得证.
试题解析：以C为原点，CA、CB、CC1所在的直线分别为轴、轴、轴，建立坐标系
（1）依题意得,∴
∴ ,
∴>= 6分
(2) 依题意得 ∴ ,
∴ ,,
∴ ,
∴ , ∴
∴ 12分
【考点】空间坐标系、线面垂直的判定方法.
10. 如右图，正方体的棱长为1．应用空间向量方法求：
⑴ 求和的夹角
⑵ ．
【答案】（1）
（2）对于线线垂直的证明可以运用几何性质法也可以运用向量法来证明向量的垂直即可。
【解析】解：建立空间直角坐标系，则
- 1分
⑴ 所以 ，， - 2分
，
所以 - 4分
所以 5分
⑵ 因为 ，， 7分
-9分
所以 ． 10分
【考点】空间向量的运用
点评：主要是考查了向量法来求解异面直线所成的角和线线垂直的证明，属于基础题。
11. 若点，，当取最小值时，的值等于（ ）．
| A． | B． | C． | D． |
【解析】∵，，∴，∴当x=时，取最小值，故选C
【考点】本题考查了空间向量的坐标运算
点评：熟练掌握空间向量的坐标运算及模的坐标公式是解决此类问题的关键，属基础题
12. ⊿ABC的三个顶点分别是，，，则AC边上的高BD长为（ ）
| A． | B．4 | C．5 | D． |
【解析】由已知 =（0,4，-3），=（4，－5，0），所以=，|BD|===5，故选C。
【考点】本题主要考查空间向量的夹角，空间两点间的距离。
点评：简单题，空间两点间的距离，如果点的坐标知道，可直接运用公式，本题中给出了三角形顶点坐标，因此，通过计算向量及向量的夹角，利用直角三角形中的边角关系，得解。
13. 与A(-1，2，3)，B(0，0，5)两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件为__________．
【答案】2x-4y+4z=11
【解析】由代入坐标得整理化简得
【考点】两点间距离公式
点评：则
14. 已知A（1，0，2），B（1，1），点M在轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为
A．（，0，0）
B．（0，，0）
C．（0，0，）
D．（0，0，3）
【答案】C.
【解析】设M的坐标为(0,0,z),因为M在轴上且到A、B两点的距离相等,
所以,所以z=-3,所以点M的坐标为(0,0,-3).
【考点】空间两点间的距离公式.
点评：在M在z轴上其横坐标，纵坐标都为零，设M的坐标为(0,0,z),因而再根据空间两点间的距离公式建立关于z的方程求出z的值得到点M的坐标.
15. 点A(x,2，3)与点B(-1，y，z)关于坐标平面yOz对称，则x=_____,y=______,z=______.
【答案】x=1，y=2,z=3
【解析】点 点关于坐标平面yOz，所以y,z坐标不变，x坐标互为相反数
【考点】空间点的对称
点评：掌握对称点的坐标关系
关于平面xOy的对称点为
关于平面xOz的对称点为
关于平面yOz的对称点为
16. 设a=(x,4,3)，b=(3,2,z),且a∥b，则等于（ ）
| A．9 | B．-4 | C． | D．-9 |
【解析】因为,所以所以.所以.
【考点】空间向量平行的坐标表示.
点评：设,如果,那么.
17. 如图，在直三棱柱中， AB=1，，.
(Ⅰ)证明：；
（Ⅱ）求二面角A——B的余弦值。
【答案】（1）证： 三棱柱为直三棱柱， …1分
在中，,由正弦定理,…………3分
,又 ……5分
（2）解如图，作交于点D点，连结BD，
由线面垂直的性质定理知 …………7分
为二面角的平面角。 ……8分
在 …………9分
【解析】略
18. 如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求直线BC与平面APB所成角的正弦值
（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.
【答案】（I） 取AB中点D，连结PD，CD.
∵AP=BP，
∴PD⊥AB. ……………1
∵AC=BC,
∴CD⊥AB. ……………2
∵PD∩CD=D,
∴AB⊥平面PCD. ……………3
∵PC∩平面PCD.
∴PC⊥AB. ……………4
（Ⅱ）∵AC=BC，AP＝BP，
∴△APC≌△BPC.
又PC⊥BC.
∴PC⊥BC.
又∠ACB=90°,即AC⊥BC.
且AC∩PC＝C,
∴BC⊥平面PAC.
取AP中点E，连结BE，CE.
∵AB＝BP，
∴BE⊥AP.
∵EC是BE在平面PAC内的射影.
∴CE⊥AP.
∴∠EBC是直线BC与平面APB所成的角 ……………6
在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝AB＝，
sin∠EBC== ……………8
(Ⅲ)由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，
∴平面APB⊥平面PCD.
过C作CH⊥PD，垂足为H.
∵平面APB∩平面PCD＝PD，
∴CH⊥平面APB.
∴CH的长即为点C到平面APB的距离， ……………10
由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，
且AB∩AC＝A.
∴PC⊥平面ABC.
CD平面ABC.
∴PC⊥CD.
在Rt△PCD中，CD＝
∴PC＝
∴CH=
∴点C到平面APB的距离为
【解析】略
19. 如图，在中，为边上的高，，沿将翻折，使得得几何体
（1）求证：； （2）求二面角的余弦值。
【答案】因为，所以平面。
又因为平面所以 ①……… 1分
在中，，由余弦定理，
得
因为，所以，即。② ……… 3分
由①，②及，可得平面 ………4分
（2）在中，过作于，则，所以平面
在中，过作于，连，则平面，
所以为二面角的平面角 ……… 6分
在中，求得，
在中，求得，
所以所以。
因此，所求二面角的余弦值为。
【解析】略
20. 如图四棱锥中，，，是的中点，是底面正方形的中心，。
（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角。
【答案】（Ⅰ）证明：
； 3分
（Ⅱ）解：
所以是与面所成角。 3分
在中，所以，
又，所以EO与平面所成的角为。
【解析】略
21. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，,底面，且，是的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的大小.
【答案】
【解析】略
22. 直三棱柱中，若a b c
| A．a+b-c | B．a–b+c | C．-a+b+c． | D．-a+b-c |
【解析】要表示向量 ，只需要用给出的基底 表示出来即可，要充分利用图形的直观性，熟练利用向量加法的三角形法则进行运算．
解答：解：=
=-
故选D．
23. 若向量=(1，x，2)，=(2，1，2)，且，则x=_____▲_____．
【答案】 -26
【解析】本题考查向量的垂直的判断
若向量，则
设，则
由且得
则
24. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C交于点O，向量，则= ▲ ．（试用表示）
【答案】
【解析】利用向量的运算法则
,所以
25. 已知、、，点在平面内，则的值为（ ）
| A． | B．1 | C．10 | D．11 |
【解析】略
26. 已知、，则线段AB的中点P的坐标为 （ ）
| A． | B． | C． | D． |
【解析】略
27. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
【解析】根据点的对称性，得点关于轴的对称点的坐标是，故选B.
【考点】空间点的对称性.
28. （本小题满分13分）已知是边长为1的正方体，求：
（Ⅰ）直线与平面所成角的正切值；
（Ⅱ）二面角的大小．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）60°
【解析】（Ⅰ）先根据其为正方体得到∠C1AB1就是AC1与平面AA1B1B所成的角；然后在RT△C1AB1中求其正切即可；
（Ⅱ）先过B1作B1E⊥BC1于E，过E作EF⊥AC1于F，连接B1F；根据AB⊥平面B1C1CB推得B1E⇒AC1；进而得到∠B1FE是二面角B﹣AC1﹣B1的平面角；然后通过求三角形的边长得到二面角B﹣AC1﹣B1的大小即可．
试题解析：（Ⅰ）连接AB1，∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体
∴B1C1⊥平面ABB1A1，AB1是AC1在平面AA1B1B上的射影
∴∠C1AB1就是AC1与平面AA1B1B所成的角
在RT△C1AB1中，tan∠C1AB1=
∴直线AC1与平面AA1B1B所成的角的正切值为.
（Ⅱ）过B1作B1E⊥BC1于E，过E作EF⊥AC1于F，连接B1F；
∵AB⊥平面B1C1CB，⇒AB⊥B1E⇒B1E⇒平面ABC1⇒B1E⇒AC1
∴∠B1FE是二面角B﹣AC1﹣B1的平面角
在RT△BB1C1中，B1E=C1E=BC1=，
在RT△ABC1中，sin∠BC1A=
∴EF=C1E•sin∠BC1A=，
∴tan∠B1FE=
∴∠B1FE=60°，即二面角B﹣AC1﹣B1的大小为60°．
【考点】线面角以及二面角的平面角及其求法.
29. （13分）如图，在长方体中，，点在棱AB上移动．
（1）证明：；
（2）若，求二面角的大小。
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】以D为以为坐标原点，直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则
因为 ，∴ ;
设平面 的法向量 ，二面角 的大小为 ，
∵AE=2- ，∴ ，∴ ,
由 ，令b=1，∴c=2，a=，∴ ，
依题意 ,即二面角 的大小为
考点: 本题考查二面角的求法，线线垂直的证明
点评:解决本题的关键是熟练掌握利用空间向量解决空间的线线关系，线面关系，面面关系
30. （本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，，．在梯形中，∥，且，⊥平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若二面角为，求的长．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】第一问注意线性垂直的证明方法，注意垂直关系的转化，应用线面垂直转化为线线垂直，对于第二问，注意应用题中所给的条件确定出E点的坐标，从而求出CE的长．
试题解析：（Ⅰ）证明：在中,
所以,由勾股定理知所以 ． 2分
又因为 ⊥平面，平面
所以 ． 4分
又因为 所以 ⊥平面，又平面
所以 ． 6分
（Ⅱ）因为⊥平面，又由（Ⅰ）知，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
设，则,,，,，
． 8分
设平面的法向量为，则 所以
令．所以． 10分
又平面的法向量 11分
所以， 解得 ． 12分
所以的长为． 13分
【考点】线线垂直，二面角．下载本文
