《空间向量与立体几何》

1．共面向量定理：  如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得   四点共面的充要条件是

2、用向量描述空间线面关系

设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则由如下结论

（1）线线关系：若不重合的两直线AB、CD的方向向量分别为，，则：

一般关系：设异面AB与CD所成角为，则。

特殊关系：① AB⊥CD

② AB∥CD∥存在实数，使。

（2）线面关系：若平面外的直线AB的方向向量为，平面的法向量为，则：

一般关系：设直线AB与平面所成的角为，则。

特殊关系：① AB∥存在实数，使。

② AB∥。

（3）面面关系：若平面的法向量为，平面的法向量为，则：

一般关系：设以，为面的锐（直）二面角的平面角为，则。

设以，为面的钝二面角的平面角为，则

特殊关系：①。

②∥∥存在实数，使。

（4）点到平面的距离：若AB是平面外的一条线段，B是AB与平面的交点，平面的法向量为。设点A到平面的距离为，则有等于在上的射影的绝对值，

即。

四．空间向量与立体几何专题练习

一、填空题:

1.下列各组向量中平行的是_____________

①    ②

③       ④

2.如果平面的一条斜线的方向向量和这个平面的法向量分别是，,那么这条斜线与平面所成的角是____________

3. 在空间直角坐标系中，已知点，那么下列说法正确的是_____________

①点关于轴对称的点的坐标是

②点关于平面对称的点的坐标是

③点关于轴对称的点的坐标是

④点关于原点对称的点的坐标是

4. 已知是空间二向量，若的夹角为___________

5. 已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2) , B(4,－3,7) , C(0,5,1) , 则BC边上的中线长为_______

6. 已知,，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是__________

7. 已知，，，点Q在直线OP上运动，则当

取得最小值时，点Q的坐标为____________

8. 已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于 _________   

9. 已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝，

则x＋y＋z＝     ．

10. 已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是__________

    ①．    

②．

    ③．    

④．

二、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

11.在正四面体PABC（四个面都是全等的等边三角形的四面体）中，若E、F分别在棱PC、AB上，且.

⑴设, , ,试用表示和;

⑵求异面直线PF与BE所成的角的余弦值.

12．如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，

， 

（Ⅰ）证明：四点共面；

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值

（Ⅲ）设，求二面角的大小；

13. 如图，在三棱锥中，，，，  ．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．下载本文