数学试卷（文科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分。）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 复数的虚部记作，则
A. B. C. D.
2. 函数的定义域是（ ）
A. （0，1） B. [0，1） C. （0，1] D. [0，1]
3. 已知等差数列满足，则它的前10项和（ ）
A. 85 B. 135 C. 95 D. 23
4. 为了了解吉安市高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5—18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中，体重在[56.5，.5]的学生人数是（ ）
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
5. 不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
6. 给出下列四个结论：
①若命题，则；
②“”是“”的充分而不必要条件；
③命题“若，则方程＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程＝0没有实数根，则”；0
④若，，，则的最小值为1。
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 函数的图像大致为（ ）
8. 已知直线与直线：平行且与圆：相切，则直线的方程是（ ）
A. B.或
C. B.或
9. 设x，y满足约束条件，若目标函数（a＞0，b＞0）的最大值为12，则ab的取值范围是（ ）
A. （0，] B. （0，） C. [，） D. （0，）
10. 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合※中的元素个数是（ ）
A. 10个 B. 15个 C. 16个 D. 18个
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）
11. 若，则 。
12. 如下图，在四边形ABCD中， ，E为BC的中点，且＝x﹒＋，则3x－2y＝ 。
13. 已知函数，则函数f（x）过点（2，1）的切线方程为 。
14. 在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为，某公司每月生产x台某种产品的收入为R（x）元，成本为C（x）元，且R（x）＝3000x－20x2，C（x）＝600x＋4000（x∈N*），现已知该公司每月生产该产品不超过100台，（利润＝收入－成本），则利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为 元。
15. 将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中A＝，B＝，C＝，若A、B、C中的元素满足条件：，，k＝1，2，…，n，则称M为“完并集合”。
（1）若M＝｛1，x，3，4，5，6｝为“完并集合”，则x的一个可能值为 。（写出一个即可）
（2）对于“完并集会” M＝｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，l2｝，在所有符合条件的集合C中，其元素乘积最小的集合是 。
三、解答题（本大题共6个小题，共75分。解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）
16. （本小题满分12分），在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，向量，且
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若a＝9，b＝5，求向量在方向上的投影。
17. （本小题满分12分）正项数列的前n项和Sn满足：
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前n项和为Tn，
证明：对于任意的n∈N*且n≥2，都有
18. （本小题满分12分）随着工业化的发展，环境污染愈来愈严重，某市环保部门随即抽取60名市民对本市空气质量满意度打分，把数据分[40，50），[50，60），…，[90，100]六段后得到如下频率分布表：
| 分组 | 频数 | 频率 |
| [40，50） | 6 | 0.10 |
| [50，60） | 9 | 0.15 |
| [60，70） | 9 | 0.15 |
| [70，80） | z | x |
| [80，90） | y | 0.25 |
| [90，100] | 3 | 0.05 |
| 合计 | 60 | 1.00 |
（2）用分层抽样的方法在分数[60，80）的市民中抽取容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取1人在分数段[70，80）的概率。
19. （本小题满分12分）如图，已知椭圆的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：，设圆T与椭圆C交于点M与点N。
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M、N的任意一点，且直线MP、NP分别与x轴交于点R、S，O为坐标原点，求证：为定值。
20. （本小题满分13分）对于函数（x∈D，D为函数的定义域），若同时满足下列条件：①f（x）在定义域内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]。那么把（x∈D）称为闭函数。
（1）求闭函数y＝－x 3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由。
（3）若是闭函数，求实数k的取值范围。
21. （本小题满分14分）已知函数f（x）＝（0 （2）定义，其中，求； （3）在（2）的条件下，令，若不等式对且n≥2恒成立，求实数m的取值范围. 8. D 解析：圆x2＋y2＋2y＝0的圆心为（0，－1），半径为r＝1，因为直线l1∥l2，所以，设直线l1的方程为3x＋4y＋c＝0，由题意得 所以，直线l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0，故选D。 9. A 解析：画出不等式的不面区域，由图可知，目标函数过A点时，取得最大值，A点坐标为（4，6），所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6 ，所以 10. B 解析：从定义出发，抓住a，b的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键，当a，b同奇偶时，根据m※n＝m＋n将12分拆两个同奇偶数的和，当a，b一奇一偶时，根据m※n＝mn将12分拆一个奇数与一个偶数的积，再算其组数即可。 若a，b同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有一个点（6，6），这时有2×5＋1＝11； 若a，b一奇一偶，有12＝1×12＝3×4，每种可以交换位置，这时有2×2＝4； ∴共有11＋4＝15个，故选B。 三、解答题（本大题共6个小题，共75分。解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤） 16. 解：（1）由，得 ， （2）由正弦定理，有 故向量在方向上的投影为 17. （1）解：由已知得 由于是正项数列，所以 于是， 当时， 综上，数列的通项＝ （2）证明：当时，由 得 18. 解：（1）x＝1－0.1－0.15－0.15－0.25－0.05＝0.3 z＝60x＝18 y＝60×0.25＝15 （2）∵[60，70）共9人，[70，80）共18人。 ∴分层抽取的6人中[60，70）的2人，[70，80）的4人，分别编号a，b，1，2，3，4 设事件A为“从中任取2人，至多有1人在分数段[70，80）”。 ∵从6人中任取两人的基本事件有15种：（ab）（a1）（a2）（a3）（a4）（b1）（b2）（b3）（b4）（12）（13）（14）（23）（24）（34） 至多有1人在分数段[70，80）的基本事件有9种：（ab）（a1）（a2）（a3）（a4）（b1）（b2）（b3）（b4） ∴ 19. 解：（1）依题意，得，，； 故椭圆C的方程为 （2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设，，不妨设。 由于点M在椭圆C上，所以 （*） 由已知T（－2，0），则， ∴ ＝ 由于－2＜x1＜2，故当时，取得最小值为。 由（*）式，，故，又点M在圆T上，代入圆的方程得到。 故圆T的方程为： 方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，－sinθ）， 不妨设sinθ＞0，由已知T（－2，0），则 =（2cosθ+2）2－sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=5 故当时，取得最小值为，此时， 又点M在圆T上，代入圆的方程得到。故圆T的方程为：。 （3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：， 令y=0，得，同理 故 （**） 又点M与点P在椭圆上，故，， 代入（**）式， 得： 所以=4为定值。 方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，－sinθ）， 不妨设sinθ＞0，P（2cos，sin），其中sin≠±sinθ。 则直线MP的方程为：， 令y=0，得， 同理： ， 故。 所以=4为定值。 20. （1）由在[a，b]上为减函数，得， 可得a＝－1，b＝1，∴所求区间是[－1，1]。 （3分） （2） 可见在时，和都不恒成立， 可得在不是增函数也不是减函数，所以不是闭函数。（6分） （3）在定义域上递增 设函数符合条件②的区间为[a，b]，则，故a，b是方程的两个实根。 （方法一）命题等价于有两个不等实根。 （10分） 当时，解得，；（12分） 当时，，这时，k无解。 （13分） 所以k的取值范围是 (14分) （方法二） 命题等价于的图像与的图像有两个公共点。（10分） 当与图像相切时， 令得，代入得，即切点为 此时 当过点（－2，0）时 由图可知，所以k的取值范围是 21. （1）假设存在点M（a，b），使得函数y＝f（x）的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y＝f（x）的图像上，则函数y＝f（x）图像的对称中心为M（a，b）。 由，得， 即对恒成立，所以解得 所以存在点M（1，1），使得函数y＝f（x）的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y＝f（x）的图像上。 （2）由（1）得。 令，则。 因为 ①， 所以 ②， 由①＋②得，所以 所以。 （3）由（2）得 ，所以 因为当且时，。 所以当且时，不等式恒成立 设，则。 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 因为，所以， 所以当且时，。 由，得，解得。 所以实数m的取值范围是。
