4.1特征函数

内容提要

1.  特征函数的定义 设X是一个随机变量,称为X的特征函数,其表达式如下

由于,所以随机变量X的特征函数总是存在的.

2.  特征函数的性质

(1) ;

(2) 其中表示的共 轭;

(3) 若Y=aX+b,其中a,b是常数.则

(4) 若X与Y是相互的随机变量,则

(5)  若存在,则可次求导,且对,有

(6)  一致连续性 特征函数在上一致连续

(7)  非负定性 特征函数是非负定的,即对任意正整数n,及n个实数和n个复数,有 

(8) 逆转公式 设F(x)和分别为X的分布函数和特征函数,则对F(x)的任意两个点,有

特别对F(x)的任意两个连续点,有

(9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定；

(10) 若连续随机变量X的密度函数为p(x),特征函数为如果

,

则

3.  常用的分布函数特征表

1.  设离散随机变量X的分布列如下,试求X的特征函数.

2.  设离散变量X服从几何分布   

试求X的特征函数,并以此求E(X)和Var(x).

,

,

,

,

,

3．设离散随机变量X服从巴斯卡分布 　　试求X的特征函数.

 解 设是相互同分布的随机变量,且都服从参数为p的几何分布Ge(p),则由上一题知的特征函数为

其中q=1-p. 又因为,所以X的特征函数为

.

4．求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.

(1)  (a>  (a>0).

解 因为此分布的密度函数为  

所以此分布的特征函数为

又因为   

所以  ar(X)= 

(2) 因为此分布的密度函数为   

所以此分布的特征函数为

又因为当t>0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查积分表)

所以当t>0时,有  

而当t<0时,有 所以

又因为在t=0处不可导,故此分布(柯西积分)的数学期望不存在.

注：也可利用复变函数中的留数理论来计算,方法如下：t>0时,

5.  设试用特征函数的方法求X的3阶及4阶中心矩.

解　因为正态分布的特征函数为所以

由此得X的3阶及4阶中心矩为

6. 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p),Y ~ b(m , p),且 X与Y,则X+Y ~ b(n + m, p).

证 记q=1-p,  因为  ,  ,  

所以由 X与Y的性得

,

这正是二项分布b(n + m, p)的特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P).

 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X~P( 1),Y~ P( 2),且X与Y,则X+Y~P( 1+ 2).

证：因为   所以由X与Y性得

这正是泊松分布 P( 1+ 2).的特征函数,由唯一性定理知X+Y~ P( 1+ 2).  .

 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性：若 ,且X与Y,则.

证  因为 ,,所以由X与Y的性得

,

这正是伽玛分布的特征函数,由唯一性定理知 

.

9.试用特征函数的方法证明分布的可加性：若,,且X与Y,则

证 因为,,所以由X与Y的性得

,

这正是分布(n+m)的特征函数,由唯一性定理知

10. 设同分布,且.试用特征函数的方法证明:

.

证 因为,所以由诸的相互性得的特征函数为

,

这正是伽玛分布的特征函数,由唯一性定理知.

11. 设连续随机变量X服从柯西分布,其密度函数如下：

,

其中参数,常记为,

(1) 试证X的特征函数为,且利用此结果证明柯西分布的可加性；

(2) 当时,记Y=X,试证,但是X与不；

(3) 若相互,且服从同一柯西分布,试证：

与Xi同分布.

证  (1) 因为的密度函数为,由本节第4题(2)知Y 的特征函数为.由此得的特征函数

.

下证柯西分布的可加性: 设服从参数为的柯西分布,其密度函数为:  .若与相互,则

,

这正是参数为柯西分布的特征函数.所以由唯一性定理知, 服从参数为的柯西分布.

(2)  当时有  ,,所以

 .

由于Y=X,当然X与Y不.

此题说明,由不能推得X与Y.

(3)  设都服从参数为的柯西分布,则特征函数为.由相互性得,  的特征函数为  ,即 与X1具有相同的特征函数,由唯一性定理知它们具有相同的分布.

12.设连续随机变量X的密度函数为p(x),试证：p(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.

证：记X的特征函数为.先证充分性,若是实的偶函数,则或,这表明X与-X有相同的特征函数,从而X与-X有相同的密度函数,而-X的密度函数为p(-x),所以得p(x)=p(-x),即p(x)关于原点是对称的.

再证必要性.若p(x)=p(-x),则X与-X有相同的密度函数,所以X与-X有相同的特征函数.由于-X的特征函数为,所以=,故是实的偶函数.

13.设同分布,且都服从N()分布,试求的分布.

解：因为Xj的特征函数为,所以由诸Xi互相得的特征函数为这是正态分布N()的特征函数,所以由唯一性定理知~N()下载本文