一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1. 年是我国完成第一个年奋斗目标的关键之年，到年我国全面建成小康社会．人民生活水平越来越高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 若分式的值为零，则（ ）
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
3. 已知点、，都在反比例函数的图象上，则下列、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 一个不透明的盒子中装有个红球，个黄球，这些球除了颜色外其余都相同，从中随机摸出个小球，则事件“所摸个球中必含有红球”是（ ）
A.不确定事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.随机事件
5. 甲队修路与乙队修路所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修．设甲队每天修路，依题意，下面所列方程正确的是
A. B. C. D.
6. 若将分式（，均为正数）中，的值分别扩大为原来的倍，则分式的值（ ）
A.扩大为原来的倍 B.缩小为原来的
C.不变 D.缩小为原来的
7. 如图，中，，，以点为旋转中心顺时针旋转后得到，且点在边上，则旋转角的度数为( )
A. B. C. D.
8. 下列命题是真命题的是（ ）
A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
9. 如图，为边长为的正方形的对角线上任一点，过点作于点，于点，连接．给出以下个结论：①＝；②；③最短长度为；④若＝时，则的长度为．其中结论正确的有（ ）
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
10. 如图，在以为原点的直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若＝，且的面积是，则＝（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）
当 时，分式有意义．
设函数与的图象的交点坐标为，则的值为________．
若关于的分式方程无解，则＝________．
已知一个菱形的边长为，其中一条对角线长为，则这个菱形的面积为________．
已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________.
如图，菱形中，为中点，＝，折叠菱形，使点落在所在的直线上，得到经过点的折痕，则的大小为________．
两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：
①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点是的中点时，点一定是的中点．
其中一定正确的是________（把你认为正确结论的序号都填上，答案格式：“①②③④”）．
如图，正方形的边长是，的平分线交于点，若点、分别是和上的动点，则的最小值为________．
三、解答题：（本大题共10小题，共76分）
化简
（1）；
（2）．
解方程：．
先化简，再求值：，其中．
年月日是全国中小学生安全教育日，常德芷兰实验学校为加强学生的安全意识，组织了全校名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图解题．
频率分布表
| 分数段 | 频数 | 频率 |
（1）这次抽取了________名学生的竞赛成绩进行统计，其中：＝________，＝________；
（2）补全频数分布直方图．
（3）若成绩在分以下（含的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
已知，在平面直角坐标系中，函数的图象与一次函数＝的图象的交点为．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设一次函数＝的图象与轴交于点，若是轴上一点，且满足的面积是，求点的坐标．
在矩形中，将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点．将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点．
求证：四边形为平行四边形；
若四边形为菱形，且，求的长．
如图，为矩形对角线的交点，，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若＝，＝，求四边形的面积．
某商场出售一批进价为元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价（元）与日销售量（个）之间有如下关系：
日销售单价
| （元） | ||||
| 日销售量（个） |
（1）猜测并确定与之间的函数关系式，并画出图象；
（2）设经营此贺卡的销售利润为元，求出与之间的函数关系式，
（3）若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过元/个，请你求出当日销售单价定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？
如图，直线分别与轴、轴交于、两点，与直线＝交于点．
（1）点坐标为________,________，为________,________；
（2）在线段上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，四边形是平行四边形；
（3）若点为轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
已知，矩形中，＝，＝，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为．
（1）如图，连接、．求证四边形为菱形，并求的长；
（2）如图，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中，
①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式．
参与试题解析
2021-2022学年江苏省苏州市昆山市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1.
【答案】
A
【考点】
中心对称图形
【解析】
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
【解答】
解：根据把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，可得：
，是中心对称图形，故正确；
，不是中心对称图形，故错误；
，不是中心对称图形，故错误；
，不是中心对称图形，故错误.
故选.
2.
【答案】
D
【考点】
分式值为零的条件
【解析】
根据分式值为零的条件可得＝，且，再解即可．
【解答】
由题意得：＝，且，
解得：＝，
3.
【答案】
B
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
把点、、的坐标分别代入函数解析式，求得、、的值，然后比较它们的大小．
【解答】
∵ 反比例函数图象上三个点的坐标分别是、、，
∴ ，＝，．
∵ ，
∴
4.
【答案】
B
【考点】
随机事件
【解析】
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【解答】
∵ 盒子中装有个红球，个黄球，
∴ 从中随机摸出个小球，则事件“所摸个球中必含红球”是必然事件，
5.
【答案】
A
【考点】
由实际问题抽象为分式方程
【解析】
设甲队每天修路，则乙队每天修米，再根据关键语句“甲队修路与乙队修路所用天数相同”可得方程．
【解答】
解：设甲队每天修路，依题意得：
，
故选.
6.
【答案】
B
【考点】
分式的基本性质
【解析】
根据分式的基本性质，可得答案．
【解答】
将分式（，均为正数）中，的值分别扩大为原来的倍，则分式的值缩小为原来的，
7.
【答案】
C
【考点】
旋转的性质
等腰三角形的性质
【解析】
先利用互余计算出＝，再利用旋转的性质得＝，＝＝，等于旋转角，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数即可．
【解答】
解：∵ ，，
∴ ，
∵ 以点为旋转中心顺时针旋转后得到，且点在边上，
∴ ，，等于旋转角，
∴ ，
∴ ，
即旋转角的度数为．
故选.
8.
【答案】
C
【考点】
矩形的判定
正方形的判定
平行四边形的判定
【解析】
根据平行四边形的判定定理求解：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（不可直接证明为平行四边形）
矩形的判定定理：四个角都是直角的四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
正方形的判定定理：对角线互相垂直的矩形是正方形，
对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形．
【解答】
、根据平行四边形定理得出为假命题，故错误；
、根据平行四边形定理得出为假命题，故错误；
、根据平行四边形定理得出是真命题，故正确；
、根据平行四边形定理得出是假命题，故错误．
9.
【答案】
A
【考点】
正方形的性质
【解析】
连接，可证得，结合矩形的性质，可证得＝，国判断①；延长交于点，可证得，可判断②；求得的最小值即可求得的最短长度，可判断③；当点在点或点时，有最大值，则可判断④；可求得答案．
【解答】
①如图，连接，
∵ 四边形为正方形，
∴ ＝，＝＝，
在和中
∴ ，
∴ ＝，
∵ ，，且＝，
∴ 四边形为矩形，
∴ ＝，
∴ ＝，故①正确；
②延长交于点，
由①可得＝＝，
∵ ，
∴ ＝，
∴ ＝，
∵ ＝，
∴ ＝＝，
∴ ，故②正确；
③当时，有最小值，此时为的中点，
由①可知＝，
∴ 的最短长度为，故③正确；
④当点在点或点位置时，＝＝，
∴ ＝，
∴ 当＝时，，
即的长度不可能为，故④不正确；
综上可知正确的结论为①②③，
10.
【答案】
C
【考点】
反比例函数系数k的几何意义
【解析】
所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
【解答】
∵ 四边形是矩形，
∴ ＝，＝，
设点的坐标为，
∵ ＝，
∴ ，
∵ 点，在反比例函数的图象上，
∴ ，∴ ，
∵ ＝＝＝，
∴ ，
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）
【答案】
由题意得：，
解得：．
【考点】
分式有意义、无意义的条件
【解析】
根据分式有意义的条件可得，再解即可．
【解答】
由题意得：，
解得：．
【答案】
【考点】
函数的综合性问题
【解析】
把交点坐标代入个函数后，得到个方程，求得，的解，整理求得的值即可．
【解答】
解：∵ 函数与的图象的交点坐标为，
∴ ，，
∴ ，
，
，
解得或，
∴ 或，
∴ 的值为．
故答案为：．
【答案】
或
【考点】
分式方程的解
【解析】
分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的能令最简公分母为，据此进行解答．
【解答】
方程两边都乘得，＝，
整理得，＝，
当整式方程无解时，＝即＝，
当分式方程无解时：①＝时，无解，
②＝时，＝，
所以＝或时，原方程无解．
【答案】
【考点】
菱形的性质
【解析】
首先根据题意画出图形，由一个菱形的边长为，其中一条对角线长为，可利用勾股定理，求得另一菱形的对角线长，继而求得答案．
【解答】
如图，∵ 菱形中，＝，＝，
∴ ，＝，
∴ ，
∴ ＝＝，
∴ 这个菱形的面积为：＝．
【答案】
且
【考点】
分式方程的解
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，根据解为负数确定出的范围即可．
【解答】
解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
根据题意得：，且.
解得：且.
故答案为：且.
【答案】
【考点】
菱形的性质
翻折变换（折叠问题）
【解析】
连接，由菱形的性质及＝，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到＝，＝，＝，进而求出＝，由折叠的性质得到＝＝，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【解答】
连接，
∵ 四边形为菱形，＝，
∴ 为等边三角形，＝，＝，
∵ 为的中点，
∴ 为的平分线，即＝＝，
∴ ＝，
∴ 由折叠的性质得到＝＝，
在中，＝＝．
【答案】
①②④
【考点】
反比例函数系数k的几何意义
【解析】
本题考查的是反比例函数中的几何意义，无论如何变化，只要知道过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是个恒等值即易解题．
【解答】
①与的面积相等都为；
②四边形的面积不会发生变化为；
③不能确定与是否始终相等；
④由于反比例函数是轴对称图形，当为的中点时，为的中点，故本选项正确．
故其中一定正确的结论有①、②、④．
【答案】
【考点】
正方形的性质
轴对称——最短路线问题
【解析】
过作的垂线交于，交于，再过作，由角平分线的性质可得出是关于的对称点，进而可知即为的最小值．
【解答】
作关于的对称点，再过作于，
∵ ，
∴ ＝，
∵ ＝，＝，
∴ ，
∴ 是关于的对称点，＝＝，
∴ 即为的最小值，
∵ 四边形是正方形，
∴ ＝，
∴ ＝，
∴ 在中，
＝，＝，
∵ ＝，
＝，即＝，
∴ ，即的最小值为．
三、解答题：（本大题共10小题，共76分）
【答案】
原式
＝；
原式＝
＝
．
【考点】
分式的混合运算
【解析】
（1）根据同分母分式加减运算法则计算后约分即可得．
（2）先计算分式的除法，再计算减法即可得．
【解答】
原式
＝；
原式＝
＝
．
【答案】
去分母得＝，
解得＝，
检验：当＝时，，
所以原方程的解为＝．
【考点】
解分式方程
【解析】
先去分母，把方程化为整式方程，解得＝，然后进行检验确定原方程的解．
【解答】
去分母得＝，
解得＝，
检验：当＝时，，
所以原方程的解为＝．
【答案】
当时
原式
【考点】
分式的化简求值
【解析】
根据根式的运算法则即可求出答案．
【解答】
当时
原式
【答案】
,,
如图，
＝，
所以该校安全意识不强的学生约有人．
【考点】
用样本估计总体
频数（率）分布直方图
频数（率）分布表
【解析】
（1）用第一个分数段的频数除以它的频率可得到调查的总人数，然后用总人数成以得到的值，用除以总人数可得到的值；
（2）利用的频数为可补全频数分布直方图；
（3）估计样本估计总体，用乘以前面两分数段的频率之和可估计出该校安全意识不强的学生数．
【解答】
＝，
＝＝，＝＝；
故答案为，；；
如图，
＝，
所以该校安全意识不强的学生约有人．
【答案】
根据题意，将点代入，
得：，
解得：＝，
即点，
将点代入＝，得：＝，
解得：＝，
∴ 一次函数的解析式为＝；
如图，
∵ 一次函数＝与轴的交点为，与轴的交点为，
＝，
∴ ＝，
解得＝，
则点坐标为，．
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
【解析】
（1）将点坐标代入，求出的值为，再将代入＝，求出的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）将三角形以轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加．
【解答】
根据题意，将点代入，
得：，
解得：＝，
即点，
将点代入＝，得：＝，
解得：＝，
∴ 一次函数的解析式为＝；
如图，
∵ 一次函数＝与轴的交点为，与轴的交点为，
＝，
∴ ＝，
解得＝，
则点坐标为，．
【答案】
证明：∵ 四边形是矩形，
∴ ，，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 四边形为平行四边形；
解：∵ 四边形为菱形，
∴ ，.
∵ 四边形是矩形，
∴ ，，
∴ .
∵ ，，
∴ ，，
∴
．
【考点】
矩形的性质
菱形的性质
平行四边形的判定
翻折变换（折叠问题）
含30度角的直角三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：∵ 四边形是矩形，
∴ ，，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 四边形为平行四边形；
解：∵ 四边形为菱形，
∴ ，.
∵ 四边形是矩形，
∴ ，，
∴ .
∵ ，，
∴ ，，
∴
．
【答案】
四边形是菱形．
∵ ，，
∴ 四边形是平行四边形，
又在矩形中，＝，
∴ 四边形是菱形．
连接．由菱形得：，
又∵ ，
∴ （在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行），
又∵ ，
∴ 四边形是平行四边形；
∴ ＝＝
∴ ＝．
【考点】
菱形的判定
矩形的性质
平行四边形的判定
【解析】
（1）首先可根据、判定四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，可得＝，由此可判定四边形是菱形．
（2）连接，通过证四边形是平行四边形，得＝；根据菱形的面积是对角线乘积的一半，可求得四边形的面积．
【解答】
四边形是菱形．
∵ ，，
∴ 四边形是平行四边形，
又在矩形中，＝，
∴ 四边形是菱形．
连接．由菱形得：，
又∵ ，
∴ （在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行），
又∵ ，
∴ 四边形是平行四边形；
∴ ＝＝
∴ ＝．
【答案】
由表可知，＝，
∴ ，
函数图象如下：
根据题意，得：
＝
＝
＝；
∵ ，
∴ ，
则，
即当＝时，取得最大值，最大值为元，
答：当日销售单价定为元/个时，才能获得最大日销售利润，最大利润是元．
【考点】
反比例函数的应用
【解析】
（1）由表知＝，据此可得，画出函数图象可得；
（2）根据总利润＝每个贺卡的利润贺卡的日销售数量可得函数解析式；
（3）根据反比例函数的性质求解可得．
【解答】
由表可知，＝，
∴ ，
函数图象如下：
根据题意，得：
＝
＝
＝；
∵ ，
∴ ，
则，
即当＝时，取得最大值，最大值为元，
答：当日销售单价定为元/个时，才能获得最大日销售利润，最大利润是元．
【答案】
,,,
∵ 点是直线＝上的点，
∴ ＝，解得：＝，
∴ 直线为＝．
∵ 点的横坐标为，
∴ ，，
∴ ＝．
∵ 四边形是平行四边形，
∴ ＝，即＝，
解得：．
故当时，四边形是平行四边形．
假设存在．
以、、、为顶点的菱形分两种情况：
①以为边，如图所示．
∵ 点，，
∴ ＝．
∵ 以、、、为顶点的四边形为菱形，
∴ ＝或＝．
当＝时，点或；
当＝时，点．
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即．
②以为对角线，对角线的交点为，如图所示．
∵ 点，，
∴ ，＝．
∵ ，
∴ ＝＝，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝，
∴ 点，即．
∵ 以、、、为顶点的四边形为菱形，
∴ 点，即．
综上可知：若点为轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点，使得、、、四个点能构成一个菱形，此时点坐标为、、或．
【考点】
一次函数的综合题
【解析】
（1）由点的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，再分别令直线的解析式中＝、＝求出对应的、值，即可得出点、的坐标；
（2）由点的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，结合点的横坐标即可得出点、的坐标，再根据平行四边形的性质即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）分为边和为对角线两种情况讨论．当为边时，根据菱形的性质找出点的坐标，结合、的坐标即可得出点的坐标；当为对角线时，根据三角形相似找出点的坐标，再根据菱形对角线互相平分即可得出点的坐标．综上即可得出结论．
【解答】
将点代入中，
得：＝，解得：＝，
∴ 直线为．
令中＝，则＝，
∴ ；
令中＝，则＝，
∴ ．
故答案为：；；；．
∵ 点是直线＝上的点，
∴ ＝，解得：＝，
∴ 直线为＝．
∵ 点的横坐标为，
∴ ，，
∴ ＝．
∵ 四边形是平行四边形，
∴ ＝，即＝，
解得：．
故当时，四边形是平行四边形．
假设存在．
以、、、为顶点的菱形分两种情况：
①以为边，如图所示．
∵ 点，，
∴ ＝．
∵ 以、、、为顶点的四边形为菱形，
∴ ＝或＝．
当＝时，点或；
当＝时，点．
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即．
②以为对角线，对角线的交点为，如图所示．
∵ 点，，
∴ ，＝．
∵ ，
∴ ＝＝，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝，
∴ 点，即．
∵ 以、、、为顶点的四边形为菱形，
∴ 点，即．
综上可知：若点为轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点，使得、、、四个点能构成一个菱形，此时点坐标为、、或．
【答案】
①∵ 四边形是矩形，
∴ ，
∴ ＝，＝，
∵ 垂直平分，垂足为，
∴ ＝，
∴ ，
∴ ＝，
∴ 四边形为平行四边形，
又∵ ，
∴ 四边形为菱形，
②设菱形的边长＝＝，则＝，
在中，＝，
由勾股定理得＝，
解得＝，
∴ ＝．
①显然当点在上时，点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形；
同理点在上时，点在或上或在，在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，
∴ 以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，＝，
∵ 点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，
∴ ＝，＝＝，即＝，
∴ ＝，
解得，
∴ 以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．
②由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上．
分三种情况：
如图，当点在上、点在上时，＝，即＝，得＝；
如图，当点在上、点在上时，＝，即＝，得＝；
如图，当点在上、点在上时，＝，即＝，得＝．
综上所述，与满足的数量关系式是＝．
【考点】
平行四边形的性质与判定
菱形的判定与性质
勾股定理
线段垂直平分线的性质
全等三角形的性质与判定
矩形的性质
【解析】
（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得的长；
（2）①分情况讨论可知，当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②分三种情况讨论可知与满足的数量关系式．
【解答】
①∵ 四边形是矩形，
∴ ，
∴ ＝，＝，
∵ 垂直平分，垂足为，
∴ ＝，
∴ ，
∴ ＝，
∴ 四边形为平行四边形，
又∵ ，
∴ 四边形为菱形，
②设菱形的边长＝＝，则＝，
在中，＝，
由勾股定理得＝，
解得＝，
∴ ＝．
①显然当点在上时，点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形；
同理点在上时，点在或上或在，在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，
∴ 以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，＝，
∵ 点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，
∴ ＝，＝＝，即＝，
∴ ＝，
解得，
∴ 以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．
②由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上．
分三种情况：
如图，当点在上、点在上时，＝，即＝，得＝；
如图，当点在上、点在上时，＝，即＝，得＝；
如图，当点在上、点在上时，＝，即＝，得＝．
综上所述，与满足的数量关系式是＝．
