一、内容和内容解析

1．内容

反比例函数的意义．

2．内容解析

   本课是反比例函数这一章的第一课时，其主要功能是在学生学习过的一次函数的基础上，通过实际例子帮助学生认识并归纳出反比例函数的意义．反比例函数作为初中三个基本函数（还有一次函数和二次函数）中最特殊的一个，明确其意义是最为重要的内容．另外本节课的学习可以给学生研究其它函数做好引领工作，帮助他们养成良好的思维品质和学习习惯．

    学生需要对从实际问题中得出的三个关系式进行观察、归纳，结合已学知识来得出反比例函数的概念，并且深入的理解其意义．在此过程中，教师需要给学生一些必要的指引，具体到课堂教学实际中就是通过问题的引领，帮助学生做好问题的探究．学生是这个环节的主体，教师是辅助者，在实际教学中要尊重学生所提出的问题和看法，不应该把教师的观点强加给学生．

    基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解反比例函数的概念．

二、目标和目标解析

1．教学目标

（1）理解反比例函数的意义；

（2）能够根据已知条件确定反比例函数的解析式．

2．目标解析

    达成目标（1）的标志是：通过对实际问题和数学问题的分析，抽象概括得出反比例函数的概念，知道自变量和对应函数成反比例的特征．

    达成目标（2）的标志是：能根据问题中的变量关系,确定反比例函数的解析式．

三、教学问题诊断分析

    学生已经学习过了一次函数、二次函数、分式等预备知识，对函数的图象、性质和特征具有了一定的认知能力．再加上小学已经学习过的反比例关系，学生对反比例函数的引入不会感到突然．在对实际问题和数学问题进行分析过程中，需加强对函数概念的理解：对于自变量每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应．反比例函数与一次函数、二次函数的不同在于两个变量的乘积为定值．同时，学习过程中要回顾类比反比例关系，分式的概念及其运算．

    但是反比例函数与学生已学过的一次函数、二次函数有着根本的不同．虽然从形式上和正比例函数很类似，但是其自变量取值范围不再是全体实数，所以相比于学生熟悉的函数类型，反比例函数的研究方式会有所不同，而本节课的学习就是所有这些改变的起点．

    本课的教学难点是：抽象得到反比例函数概念的过程．

    四、教学过程设计

1．知识回顾与反思

   函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量，并且对于其中一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有    确定的值与其对应，那么我们就说第    个变量是自变量，第    个变量是它的函数.

反思：函数是两个   量的关系。

2.问题情境与反思

    问题1京广高铁全程为2 298km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）与此次列车的全程运行时间t（单位：h）有什么样的关系？关系：                                

    问题2：某住宅小区要种植一块面积为1000m2什么的矩形草坪，草坪的场y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化，对应的等量关系为：             

  问题3：已知北京市的总面积为：1.68×km2，人均占有面积S(km2/人）随全市人口n（单位：人）变化而变化，对应的等量关系：               

 问题4：一个游泳池的容积为2000m3 ，游泳池注满水所用时间t（单位：h）随注水速度v（（单位：m3/h）的变化而变化；对应的等量关系为：             

问题5：某长方体的体积1000cm3，长方体的高h（单位：cm）随底面积S（单位：cm2）的变化而变化；对应的等量关系为：         

问题6:一个物体重100N，物体对压强p（单位：Pa)随物体与地面S（单位：m2）的变化而变化；对应的等量关系为：            

    活动：教师提出问题，学生思考、得出答案．教师板书学生给出的答案．

   设计意图：用实际问题引出现实中的反比例关系，为后续的反比例函数的意义教学做好铺垫．创设问题情境，让学生感受量与量之间的函数关系，体会实际问题中蕴涵的函数关系，激发探究兴趣．

    针对学生的答案，提出一系列问题：

    问题：这些关系式有什么共同点？               、               。

    反思：x，y是函数关系吗？                 

   师生活动：教师针对学生的答案进行提问，引导学生进行思考，并鼓励学生提出问题，以推动对问题的进一步思考．开始渗透研究函数的一般步骤，帮助学生探究函数关系．学生需要调动原有知识储备，经过思考和讨论来回答问题．

    设计意图：通过对问题的讨论分析，让学生学会用函数的观点分析生活中变量之间的关系，并能够用反比例关系式表示出来，初步建立反比例函数的模型．

3．合作探究与反思

问题5这个函数应该如何表示？

    问题6你能给这个函数起个名字吗？

    归纳整理出反比例函数的意义：

    一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．

   师生活动：教师提出问题，学生思考、议论后交流．教师应引导学生用规范的数学语言表达反比例函数的概念，并引导学生发现自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．

设计意图：使学生从上述不同的数学关系式中抽象出反比例函数的一般形式，让学生感受反比例函数的基本特征，发展学生用数学语言描述反比例函数的能力，体会从实际问题中抽象出反比例函数的方法．

    4.点拨升华与反思

    （一）自我尝试：

1、下列哪些式子表示是关于的反比例函数？反比例函数中的值是多少？

1；⑵；⑶；⑷；⑸

⑹；⑺  （8）

2、变式训练

（1）关系式xy+4=0中y是x的反比例函数吗?若是，比例系数k等于多少？

（2）、 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（       ）

A、   B、   C、   D、

（3） 已知函数是正比例函数,则 m =       

已知函数是反比例函数,则 m =      

师生活动：教师提出问题，学生思考、交流，解答问题．教师引导学生理解“y是x的反比函数”这句话的意义，总结得出求反比例函数解析式的方法，正确用反比例函数解析式解决问题．

 （二）分析例题

1、已知y是x的反比函数，并且当x＝2时，y＝6.

（1）写出y关于x的函数解析式；  

（2）当x＝4时，求y的值.

设计意图：使学生会根据已知条件求反比例函数的解析式，进一步熟悉函数值的求法.

 2 、已知y与x²成反比例，并且当x=3时y=4 ．

（1）写出y和x的函数解析式；

（2）求当y=6时，求x的值。例1 已知y是x的反比函数，并且当x＝2时，y＝6.

   （1）写出y关于x的函数解析式.

   （2）当x＝4时，求y的值.

    设计意图：已知条件中y与x2成反比例. 设为（k≠0），看作整体，进一步加深对反比例函数概念理解，明确反比例与反比例函数的区别和联系，并会解决实际问题．

5．知识整合与反思

反比函数与以前学过的函数什么相同点和不同点？

反比例函数与一次函数、二次函数的不同在于两个变量的乘积为定值;形式上和正比例函数很类似，但是其自变量取值范围不再是全体实数．

反比例函数与一次函数、二次函数的研究方法类似：解析式、图像、性质及应用  

    设计意图：函数是初中数学重要的概念，对函数的研究方法一脉相承．它们都是描述变化规律的数学模型，虽然变化规律各不相同，但都概括得出函数解析式；根据解析式，由自变量的值求出相应的函数值，通过列表表示这些自变量的值和函数值；然后把这些值对应的点在坐标系中表示出来；最后用平滑的曲线把这些点连接起来，得到函数的图象．由它的图象，同时结合其解析式，我们得到其图象特征和性质：图象的形状、位置和变化规律等等．这是学习每类具体函数时采用的相同研究方法，反比例函数也不例外.

6．达标检测与反思

       目标检测设计

   .  

     设计意图：进一步明晰概念，用反比例函数的概念判定函数是否为反比例函数：从形式上看是写成一般式，实质上是两个变量的乘积为定值．

  2.当m＝        时，关于x的函数y=(m+1)是反比例函数？

设计意图：进一步明晰概念，用反比例函数的概念判定函数是否为反比例函数且k不为0

    3.已知y与x2成反比例,并且当＝2时，y＝－6.

（1）写出y关于的函数解析式;

（2）当＝4时，求y的值;

（3）当y＝4时，求x的值. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

设计意图：进一步加深概念理解，明确反比例与反比例函数的区别和联系，并会解决实际问题．

   7.回顾小结与反思

    教师与学生一起回顾本课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

   （1）我们今天学习了反比例函数的哪些知识？如何获得反比例函数的概念？

   （2）反比例函数中的两个变量的关系是什么？

  （3）反比例函数对自变量取值有何要求？

  （4）如何根据已知条件求反比例函数的解析式？

   设计意图：让学生能够梳理知识体系，进一步加深对知识的理解．

   8.作业       教科书习题26.1 复习巩固第1，2题.

《反比例函数意义》效果分析

   1．在这节课中老师完成了学生教学目标中的知识、能力目标、情感态度与价值观，即情感态度、价值观有机地带入到了课堂教学内容中去，并有意识地贯穿了整个教学过程，而且教学活动中有沟通和合作过程。

    2．创造性的使用教材方处理较为得体高效，给学生展示多样的学习和丰富多彩的学习参考资料；注重学生是学习和发展的主体，老师平等对待学生，认可学生的个体差异充分留给每位学生的思考、质疑、发言的权利，真正解决课堂中的问题，同时真正参与、体验了学习的快乐、获得心智发展。

   3.教学内容丰富，知识结构清晰，逻辑性与系统性强；双基的落实到位，重点突出，难点突破顺利；教材处理恰当、挖掘的深度；内容的实用性与适用性较好。

    4.知识容量大，训练的饱和度高，教学时间利用的有效率高；学生负担较轻，学生答问的正确率高；学生完成变式训练的正确率较高；学生智力的开发(如思考能力的形成、学习方法的掌握、自学能力的养成)较充分。

《反比例函数意义》教材分析

   1．教材地位和作用

本节课是人教版版九年级下册第26章《反比例函数》1.1反比例函数的内容，反比例函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律基础上抽象出的重要数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型.在前面已学习过反比例关系、“变量之间的关系”和“一次函数”、“二次函数”等内容，对函数已经有了初步的认识，在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念，它是初中阶段三大函数之一，为后继学习更高层次函数的学习，以及函数、方程、不等式间的关系处理奠定了基础,在数学学习中起着承上启下的桥梁作用。

本小节反比例函数的意义，是反比例函数这一章的开头一小节，对于后面学习反比例函数的图像和性质，及反比例函数与实际问题，有重要的意义。同时，本小节反比例函数的意义，是对一次函数，正比例函数的进一步延伸和拓展。

从数学思想方法看，蕴涵的类比、建模、转化、方程等数学思想方法，对学生观察问题、研究问题和解决问题都是十分有益的.

   2．教学目标分析

     知识目标：

   （1）从现实情境和已知经验出发，讨论两个变量之间的相互关系，加深对概念的理解。

  （2）经历抽象反比例函数概念的过程，了解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。

  （3）会求简单实际问题中的反比例函数解析式。

    能力目标：进一步提高探究问题、归纳问题的能力，能运用函数思想方法解决有关问题。

   重点、难点、关键

 （1）重点：理解和领会反比例函数的概念；

 （2）难点：领悟反比例函数的概念；

 （3）关键：从现实情意和所学的知识入手，探索两个变量之间的相依关系。

3.教材编写意图

通过对具体情境的分析(运动中的数学、生活中的数学、物理与数学、工程问题中的数学等)，抽象出反比例函数的表达达形式，明确反比例函数的概念。

通过例题和学生列举的实例可以丰富对反比例函数的认识，理解反比例函数的意义。

在本章的编写时，一方面十分注意具体题目的分析及求解过程，另一方面更加注重一些重要的数学思想，如变化与对应的数学思想、数形结合的思想以及转化思想的传授和渗透。

《反比例函数意义》课后反思

   1．教材编写意图

通过对具体情境的分析(运动中的数学、生活中的数学、物理与数学、工程问题中的数学等)，抽象出反比例函数的表达达形式，明确反比例函数的概念。

通过例题和学生列举的实例可以丰富对反比例函数的认识，理解反比例函数的意义。

在本章的编写时，一方面十分注意具体题目的分析及求解过程，另一方面更加注重一些重要的数学思想，如变化与对应的数学思想、数形结合的思想以及转化思想的传授和渗透。

2.教材处理特色

（1）先简单复习了函数的定义，目的是想让学生从变量角度进一步加深对函数概念的认识． 

（2）结合大量的生活实际，加强不同学科之间的联系，从其他学科引入数学问题，注重了由浅入深的梯度，用数学模型的思想来研究反比例函数．

（3）在例题的处理上注重了学生解题步骤的培养，同时通过变式进一步巩固解法，并拓宽了学生的思路。

        《反比例函数意义》学情分析

   1. 已有的知识储备

     本节课是人教版版九年级下册第26章《反比例函数》1.1反比例函数的内容，反比例函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律基础上抽象出的重要数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型.在前面已学习过反比例关系、“变量之间的关系”和“一次函数”、“二次函数”等内容，对函数已经有了初步的认识，虽然他们在小学已经接触了反比例，但都处于浅显的、肤浅的知识表面在此基础上讨论，反比例函数可以进一步领悟函数的概念，它是初中阶段三大函数之一，为后继学习更高层次函数的学习，以及函数、方程、不等式间的关系处理奠定了基础,在数学学习中起着承上启下的桥梁作用。

    本小节反比例函数的意义，是反比例函数这一章的开头一小节，对于后面学习反比例函数的图像和性质，及反比例函数与实际问题，有重要的意义。同时，本小节反比例函数的意义，是对一次函数，正比例函数的进一步延伸和拓展。

    从数学思想方法看，蕴涵的类比、建模、转化、方程等数学思想方法，对学生观察问题、研究问题和解决问题都是十分有益的.

     2.已有的生活体验

     由于学生物理知识的日益丰富，对于刻划反比例关系的物理量的理解有了一定的基础，为反比例函数的学习带来方便。

3.学生形成本节课知识时最主要的障碍点 

    在前面的学习过程中，学生对函数的概念，函数所反映的是两个变量之间的关系的内涵有了一定的了解，在已经学习了正比例函数、一次函数后，又一次学习函数，根据变量间的不同变化情况让学生们认识到了另一种函数——反比例函数.九年级学生已经具备了思维的完备性、深刻性、实践性、批判性等思维品质，对函数的图象、性质和特征具有了一定的认知能力．再加上小学已经学习过的反比例关系，学生对反比例函数的引入不会感到突然．但学生抽象概括能力也有限，对函数的意义的理解、数量变化规律的把握还有一定的难度，特别是对抽象的表达式中的变量的取值理解不深.但是反比例函数与学生已学过的一次函数、二次函数有着根本的不同．虽然从形式上和正比例函数很类似，但是其自变量取值范围不再是全体实数，所以相比于学生熟悉的函数类型，反比例函数的研究方式会有所不同，而本节课的学习就是所有这些改变的起点．

    本课的教学难点是：抽象得到反比例函数概念的过程．

结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具体形象，是从感性认识到理性认识的转化过程，发展学生的思维；同时体验数学活动与人类生活的密切联.

《反比例函数的意义》评测练习

一、选择题

1．若是反比例函数，则a的取值为（　　）

A．1   B．    C．    D．任意实数

考查目的：反比例函数的定义．

答案：A．

解析：∵此函数是反比例函数，

∴，解得a=1．

故选：A．

2．若y是x的反比例函数，那么x是y的（　　）

A．正比例函数     B．一次函数      C．反比例函数    D．二次函数

考查目的：反比例函数的定义．

答案：C．

3．下列问题中，两个变量成反比例的是（　　）

A．长方形的周长确定，它的长与宽

B．长方形的长确定，它的周长与宽

C．长方形的长确定，它的周长与宽

D．长方形的长确定，它的面积与宽

考查目的：反比例函数的定义．

答案：C．

解析：A长方形的周长=2×（长+宽），即长和宽的和为定值，所以根据正比例的概念应该是长和宽成正比例．故本选项错误；

B长方形的周长=2×（长+宽），所以，长=﹣宽，即周长的一半长和宽的和为定值，所以根据正比例的概念应该是周长和宽成正比例．故本选项错误；

C长方形的面积=长×宽，即长和宽的乘积为定值，所以根据反比例的概念应该是长和宽成反比例；故本选项正确；

D长方形的面积=长×宽，即长和宽的乘积为定值，所以根据正比例的概念应该是长和宽成正比例；故本选项错误；

故选C．

二、填空题

4．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）呈反比例，其函数关系式为．如果近似眼镜镜片的焦距x=0.25米，那么近视眼镜的度数y为         ．

考查目的：反比例函数的定义，反比例函数解析式．

答案：400．

解析：把x=0.25代入，

y=400，

故答案为：y=400．

5．下列函数：①y=2x﹣1；②；③y=x2+8x﹣2；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有　     　（填序号）．

考查目的：反比例函数的定义，反比例函数解析式．

答案：②⑤．

解析：①y=2x﹣1是一次函数，不是反比例函数；

②是反比例函数；

③y=x2+8x﹣2是二次函数，不是反比例函数；

④不是反比例函数；

⑤是反比例函数；

⑥中，a≠0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数；

故答案为：②⑤．

6．已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=8，则这个函数关系式为　　．

考查目的：反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式．

答案：．

解析：设反比例函数是，

当x=3时，y=8，代入可解得k=24．

所以．

故答案为：．

三、解答题

7．当m为何值时，函数是反比例函数？当m为何值时，此函数是正比例函数？

考查目的：反比例函数的定义与解析式；正比例函数的定义与解析式．

答案：m=﹣3时，函数是反比例函数；当m=±1时，此函数是正比例函数．

解析：根据反比例函数的定义知2﹣|m|=﹣1，m﹣3≠0，

解得：m=﹣3；

根据正比例函数的定义知2﹣|m|=1，m﹣3≠0，

解得：m=±1．

答：m=﹣3时，函数是反比例函数；当m=±1，此函数是正比例函数．

8．已知y=y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x=0时，y=﹣3，当x=1时，y=﹣1．

（1）求y的表达式；

（2）求当时y的值．

考查目的：反比例函数的定义与解析式；正比例函数的定义与解析式．

答案：（1）；（2）．

解析：（1）∵y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，

∴y1=k1（x﹣1），，

∵y=y1+y2，当x=0时，y=﹣3，当x=1时，y=﹣1．

∴

∴k2=﹣2，k1=1，

∴；

（2）把代入（1）中函数关系式得，．

     《反比例函数意义》课标分析

     课标总体目标

    通过义务教育阶段的反比例函数的学习，学生能够初步学会运用函数的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心。

    具体目标如下：

    知识与技能：经历将一些实际问题抽象为两个变量之间的反比例函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。

    数学思考：经历探索反比例函数的性质的过程，发展有条理的思考和语言表达能力，逐步积累研究函数性质的经验。

    解决问题：学会从函数的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，体验解决问题策略的多样性，学会与人合作。

    情感与态度：体会函数的思想，积累了经验，感受数学的广泛联系和应用价值。

     本节课标要求

     人教版九年级上册26．1 反比例函数一节，包括“反比例函数”“反比例函数的图象和性质”两部分．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对反比例函数的意义要求为：

    结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．

    课标解读

    课标解读

   （一）从变量角度进一步加深对函数概念的认识．

初中阶段从变量的角度研究函数，把函数定义为当一个量变化时，另一个量随这个量的变化而变化．函数定义突出了变化与对应思想，其内涵是：两个变量联系紧密，一个变量变化时另一个变量也发生变化；函数值与自变量之间单值对应，自变量的值确定后，函数值唯一确定．

我们运用变量描述变化规律，认识函数是重要的数学模型．函数的内涵非常丰富，与数、式、方程等联系非常紧密，当我们从函数角度重新认识反比例关系时，这种反比例关系就是反比例函数，此时对反比例关系的认识进一步提高，增加了一种函数类型，建立反比例函数模型，从而对函数的认识进一步加深．

   （二）类比研究一次函数与二次函数的方法与过程来研究反比例函数．

     函数是初中数学重要的概念，对函数的研究方法一脉相承．它们都是描述变化规律的数学模型，虽然变化规律各不相同，但都概括得出函数解析式；根据解析式，由自变量的值求出相应的函数值，通过列表表示这些自变量的值和函数值等，这是学习每类具体函数时采用的相同研究方法，反比例函数也不例外．

    （三）结合实际生活，用数学模型的思想来研究反比例函数．

    现实世界和数学中具有反比例关系的问题，我们可以用反比例函数描述．数学既是科学技术的语言，又是科学技术的工具．反比例函数不仅在现实世界中具有众多原型，而且在现实世界中具有广泛的应用．本章有许多问题来源于物理学科，运用反比例函数知识加以解决，了解这些问题的物理背景是解决它们的前提．实际上，加强不同学科之间的联系，从其他学科引入数学问题，然后运用数学加以解决始终是数学学习的重要方面．

    本节涉及的主要物理背景包括路程、速度与时间，电流、电阻与电压，电功率、电流和电阻，压力、面积与压强等之间的关系，这些具有反比例关系的物理问题是反比例函数研究的重要内容．实际上，凡是能够抽象为“a=bc”型数量关系的物理问题，我们都可以从正比例函数和反比例函数的角度去认识它们．下载本文