一、选择题

1.  设集合，，则         

A.   

2.  (        ) 

A.   

3.  名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有(        ) 

A.种 种 种 种

4.  日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面，在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为        

A.   

5.  某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是         

A.   

6.  基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足，有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为(        ) 

A.天 天 天 天

7.  已知是边长为的正六边形内的一点，则的取值范围是(        ) 

A.   

8.  若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是         

A.   

二、多选题

9.  已知曲线.(        ) 

A.若，则是椭圆，其焦点在轴上

B.若，则是圆，其半径为

C.若，则是双曲线，其渐近线方程为

D.若，，则是两条直线

10.  如图是函数，则(        )

A.   

11.  已知，，且，则(        ) 

A. 

C. 

12.  信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的取值为，，，，且，，定义的信息熵，则(        ) 

A.若，则

B.若，则随着的增大而增大

C.若，则随着的增大而增大

D.若，随机变量所有可能的取值为，，，，且 ，则

三、填空题

13.  斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则________. 

14.  将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为________. 

15.  某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形， ，垂足为，， ，，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为________.

16.  已知直四棱柱的棱长均为，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________. 

四、解答题

17.  在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，， ________？ 

18. 已知公比大于的等比数列满足，.  

求的通项公式；

记为在区间中的项的个数，求数列的前项和 .

19. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度(单位：，得下表：

估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；

根据所给数据，完成下面的列联表：

根据中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？

附：，

20. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为．

证明：平面；

已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．

21. 已知函数.  

当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

若，求的取值范围.

22. 已知椭圆的离心率为，且过点.  

求的方程；

点，在上，且，，为垂足.  证明：存在定点，使得为定值.

参与试题解析

2020年全国新高考Ⅰ卷数学试卷

一、选择题

1.

【答案】

C

【考点】

并集及其运算

【解析】

根据集合并集的运算法则求解.

【解答】

解：集合，，

则.

故选.

2.

【答案】

D

【考点】

复数代数形式的混合运算

【解析】

根据复数的除法运算法则求解.

【解答】

解：

.

故选.

3.

【答案】

C

【考点】

排列、组合及简单计数问题

【解析】

先让甲场馆选人，再让乙场馆选，剩下的去丙场馆即可得解.

【解答】

解：由题意可得，不同的安排方法共有（种）.

故选.

4.

【答案】

B

【考点】

直线与平面所成的角

空间点、线、面的位置

【解析】

根据纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，可得晷针与点处的水平面所成角.

【解答】

解：如图所示，

为日晷晷针，，

由题意知，，

，

，

即晷针与点处的水平面所成角为.

故选.

5.

【答案】

C

【考点】

概率的应用

互斥事件的概率加法公式

【解析】

利用互斥事件的概率公式代入求解.

【解答】

解：设''该中学学生喜欢足球''为事件，''该中学学生喜欢游泳''为事件，

则''该中学学生喜欢足球或游泳''为事件，''该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳''为事件.

由题意知，，，，

所以.

故选.

6.

【答案】

B

【考点】

函数模型的选择与应用

指数式与对数式的互化

【解析】

先根据所给模型求得，然后求得初始病例数，最后求得感染病例数增加倍所需的时间.

【解答】

解：得，，

得.

故选.

7.

【答案】

A

【考点】

平面向量数量积

求线性目标函数的最值

【解析】

先画出图形，并用坐标表示，然后向量问题转化为求线性目标函数的最值，最终得的取值范围.

【解答】

解：如图：

设，，，

，，

则.

令，该问题可转化为求该目标函数在可行域中的最值问题，

由图可知，经过点时，取得最大值；经过点时，取得最小值，

故最优解为和，

代入得或，

故的取值范围是.

故选.

8.

【答案】

D

【考点】

函数单调性的性质

函数奇偶性的性质

【解析】

先根据函数的奇偶性确定函数的大致图像，然后判断函数的单调性，最后利用分类讨论思想讨论不等式成立时的取值范围.

【解答】

解：根据题意，函数图象大致如图：

①当时，成立；

②当时，要使，

即，

可得或，

解得；

③当时，要使，

即，

可得或，

解得.

综上，的取值范围为.

故选.

二、多选题

9.

【答案】

A,C,D

【考点】

双曲线的渐近线

椭圆的标准方程

圆的标准方程

直线的一般式方程

【解析】

根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可.

【解答】

解：，，即.

，

，

此时是椭圆，且其焦点在轴上，

选项正确；

，时，，

，

选项错误；

，时，可推断出是双曲线，

且其渐近线方程为，

选项正确；

，时，，

代表两条直线，

选项正确.

故选.

10.

【答案】

B,C

【考点】

诱导公式

由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

正弦函数的图象

【解析】

先用图像上两零点间的距离求出函数的周期，从而求得，而后利用五点对应法求得，进而求得图像的解析式.

【解答】

解：由函数的部分图像，

可知，，

，

，

.

将点代入得，，

.

，当时，，

不符合题意，故选项错误；

，当时，，

，

故选项正确；

，

，

故选项正确；

，

，

故选项错误.

故选.

11.

【答案】

A,B,D

【考点】

不等式性质的应用

基本不等式在最值问题中的应用

【解析】

选项左边是代数式形式，右边是数字形式，且已知，故可考虑通过基本不等式和重要不等式建立与的关系；

选项先利用指数函数的增减性将原不等式简化为二元一次不等式，然后利用不等式的性质及已知条件判断；

选项需要利用对数的运算和对数函数的增减性将不等式转化为关于的关系式，然后利用基本不等式建立与已知条件的关系；

选项基本不等式的变形应用.

【解答】

解：，，则，

，当且仅当时取等号，

，

可得，故正确；

，，

，故正确；

，，当且仅当时取等号，

，故错误；

，，当且仅当时取等号，

，

即，

则，故正确.

故选.

12.

【答案】

A,C

【考点】

概率的应用

概率与函数的综合

利用导数研究函数的单调性

【解析】

选项根据题目给出信息熵的定义可直接判断；

选项根据题意先得到的关系，然后构造关于的函数，最后利用导数判断新函数的增减性；

选项根据题目给定信息化简后可判断；

选项分别求出，利用作差法结合对数的运算即可判断.

【解答】

解：，若，则，

，故正确；

，若，则，

则.

设，

则

，

当时，；

当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

当时，取最大值，故错误；

，若，，)，

则，

所以随着的增大而增大，故正确；

，若，随机变量所有可能的取值为，，，，

由，，）知：

；

 ；

 ；

 ;

，

，

∵，

，

所以，故错误．

故选.

三、填空题

13.

【答案】

【考点】

抛物线的性质

【解析】

先根据题目给定信息求出直线方程，联立直线和抛物线方程，再利用韦达定理和抛物线的性质转化求出弦长.

【解答】

解：设，，

抛物线的焦点为，

则直线方程为，

代入抛物线方程得，

∴，

根据抛物线方程的定义可知.

故答案为：.

14.

【答案】

【考点】

等差数列的前n项和

等差关系的确定

【解析】

先判断出与公共项所组成的新数列的公差、首项，再利用等差数列的前项和的公式得出结论.

【解答】

解：数列各项为：，，，，，

数列各项为：，，，，，

观察可知，是首项为，公差为的等差数列，

所以数列的前项和为.

故答案为：.

15.

【答案】

【考点】

同角三角函数基本关系的运用

扇形面积公式

【解析】

先利用解三角形和直线的位置关系求出圆的半径，然后求出阴影部分的面积，运用了数形结合的方法.

【解答】

解：由已知得到的距离与到的距离相等，均为.

作延长线于，于，

则.

，

.

，

.

设到的距离为，

由，可知到的距离为，

解得

半圆之外阴影部分面积为：

，

阴影部分面积为：

.

故答案为：.

16.

【答案】

【考点】

弧长公式

空间直角坐标系

圆的标准方程

两点间的距离公式

【解析】

根据题意画出直观图，建立合适的坐标系，求出交线上的点的轨迹方程，进而确定点的轨迹在平面上是以为半径的的弧，最后根据弧长公式求解.

【解答】

解：以为原点，，所在直线分别为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

轴是平面内与互相垂直的直线，

即，

设交线上的点的坐标是，

根据题意可得，

化简得，

所以球面与侧面的交线平面如图所示，

即交线长.

故答案为：.

四、解答题

17.

【答案】

解：选①：∵，，，

∴，

∴，

∴，∴.

∵，∴.

由正弦定理可得：，

又，

解得，，

∴，

故存在满足条件；

选②：，，.

∵，∴，

∴.

由正弦定理可得：，

∴，

∴

，

∴，

∴，，

故存在满足条件；

选③：，，，

∴，

∴，

∴，∴.

∵，∴.

又，矛盾.

故不存在满足条件．

【考点】

两角和与差的正弦公式

余弦定理

正弦定理

【解析】

条件①先根据题意，结合正弦定理用一边去表示另外两条边，然后用余弦定理求出三角形的三边的长；

条件②先用正弦定理结合已知求出的长，然后用余弦定理求出的长；

条件③先利用正弦定理结合已知用表示，然后利用余弦定理求得与给定值不同，从而判定三角形不存在.

【解答】

解：选①：∵，，，

∴，

∴，

∴，∴.

∵，∴.

由正弦定理可得：，

又，

解得，，

∴，

故存在满足条件；

选②：，，.

∵，∴，

∴.

由正弦定理可得：，

∴，

∴

，

∴，

∴，，

故存在满足条件；

选③：，，，

∴，

∴，

∴，∴.

∵，∴.

又，矛盾.

故不存在满足条件．

18.

【答案】

解：由题意可知为等比数列，，，

可得，

得，

  .

，

，

，

可得，

的通项公式为：.

为在中的项的个数，

当时，，

当时，，其中.

可知

.

【考点】

数列的求和

等比数列的通项公式

【解析】

先根据已知列式求出公比，求出首项，最后求得等比数列的通项公式；

由题意求得在数列中有项，在数列中有项，在数列中有项，，可知，．则数列的前项和可求．

【解答】

解：由题意可知为等比数列，，，

可得，

得，

  .

，

，

，

可得，

的通项公式为：.

为在中的项的个数，

当时，，

当时，，其中.

可知

.

19.

【答案】

解：根据抽查数据，

该市天的空气中浓度不超过，且浓度不超过的天数为：

，

因此，该市一天空气中浓度不超过，

且浓度不超过的概率的估计值为.

根据抽查数据，可得列联表：

根据的列联表得

，

由于，故有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.

【考点】

性检验

概率的意义

【解析】

根据题目已知信息利用频率估计概率；

根据题目给定信息画出列联表；

根据列联表计算的观测值，得出统计结论.

【解答】

解：根据抽查数据，

该市天的空气中浓度不超过，且浓度不超过的天数为：

，

因此，该市一天空气中浓度不超过，

且浓度不超过的概率的估计值为.

根据抽查数据，可得列联表：

根据的列联表得

，

由于，故有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.

20.

【答案】

证明：因为四边形为正方形，

故.

因为底面，故.

又由于，因此平面.

因为在正方形中，且平面， 平面，

故平面.

又平面，且平面与平面的交线为，

故.

因此平面.

解：由已知条件，四棱锥底面为正方形，底面.

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，

建立空间直角坐标系，如图所示.

因为，在直线上，

设，其中.

由题意得，，，，，

则，，.

设平面的一个法向量为，

则得

令，

则平面的一个法向量为.

设与平面成角为，

则

.

①若，则，

②若，则.

当时，

，

当且仅当，即时，$`` = "$成立，

.

当时，，

当时，为最大值．

综上所述，与平面成角的正弦值的最大值为.

【考点】

用空间向量求直线与平面的夹角

基本不等式在最值问题中的应用

直线与平面垂直的判定

【解析】

先求的平行线与面垂直，再利用线面垂直的判定即可得证；

选取合适的点建立空间直角坐标系，然后运用向量法结合基本不等式即可求得线面夹角的最大值.

【解答】

证明：因为四边形为正方形，

故.

因为底面，故.

又由于，因此平面.

因为在正方形中，且平面， 平面，

故平面.

又平面，且平面与平面的交线为，

故.

因此平面.

解：由已知条件，四棱锥底面为正方形，底面.

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，

建立空间直角坐标系，如图所示.

因为，在直线上，

设，其中.

由题意得，，，，，

则，，.

设平面的一个法向量为，

则得

令，

则平面的一个法向量为.

设与平面成角为，

则

.

①若，则，

②若，则.

当时，

，

当且仅当，即时，$`` = "$成立，

.

当时，，

当时，为最大值．

综上所述，与平面成角的正弦值的最大值为.

21.

【答案】

解：当时， ，

，

∴，，

∴，

即，

∴该切线在轴上的截距为，在轴上的截距为，

∴.

①当时，；

②当时，，

，

当时，，

当时，，

所以当时，取得最小值，

最小值为，从而；

③当时，

.

综上，的取值范围是.

【考点】

利用导数研究不等式恒成立问题

利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】

根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积；

不等式等价于，令，根据函数单调性可得，再构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出的范围.

【解答】

解：当时， ，

，

∴，，

∴，

即，

∴该切线在轴上的截距为，在轴上的截距为，

∴.

①当时，；

②当时，，

，

当时，，

当时，，

所以当时，取得最小值，

最小值为，从而；

③当时，

.

综上，的取值范围是.

22.

【答案】

解：由题设得，，

解得，.

所以的方程为.

证明：设，.

若直线与轴不垂直，

设直线的方程为，

代入得.

于是，.  ①

由知，

故，

可得，

将①代入上式可得，

整理得.

因为不在直线上，

所以，

故，，

于是的方程为，

所以直线过点.

若直线与轴垂直，可得.

由得.

又，

可得，

解得(舍去)，，

此时直线过点.

令为的中点，即.

若与不重合，则由题设知是的斜边，

故.

若与重合，则.

综上，存在点，使得为定值.

【考点】

圆锥曲线中的定点与定值问题

椭圆的标准方程

【解析】

根据椭圆方程的离心率、的关系及椭圆上一点列出关系式，解得即可得椭圆方程；

①当直线斜率存在时，设直线方程并与椭圆方程联立，写出韦达定理，结合可得 或，由点不在直线上可判断，进而根据可求解直线的方程，从而判断直线过定点；

②若直线与轴垂直，结合和椭圆方程，求得点的横坐标 ，由此可知直线过点；

由上述分类讨论可知为定值，根据直角三角形中线的性质确定定点，最后分两小类讨论与重合或者不重合最终确定为定值.

【解答】

解：由题设得，，

解得，.

所以的方程为.

证明：设，.

若直线与轴不垂直，

设直线的方程为，

代入得.

于是，.  ①

由知，

故，

可得，

将①代入上式可得，

整理得.

因为不在直线上，

所以，

故，，

于是的方程为，

所以直线过点.

若直线与轴垂直，可得.

由得.

又，

可得，

解得(舍去)，，

此时直线过点.

令为的中点，即.

若与不重合，则由题设知是的斜边，

故.

若与重合，则.

综上，存在点，使得为定值.下载本文