第1章 函数

第2章 极限与连续

（一） 单项选择题

⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等．

A. ， B. ，

C. ， D. ，

分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同

A、，定义域；，定义域为R

定义域不同，所以函数不相等；

B、，对应法则不同，所以函数不相等；

C、，定义域为，，定义域为

所以两个函数相等

D、，定义域为R；，定义域为

定义域不同，所以两函数不等。

故选C

⒉设函数的定义域为，则函数的图形关于（C）对称．

A. 坐标原点 B. 轴

C. 轴 D. 

分析：奇函数，，关于原点对称

偶函数，，关于y轴对称

与它的反函数关于对称，

奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称

设，则

所以为偶函数，即图形关于y轴对称

故选C

⒊下列函数中为奇函数是（B）．

A. B. 

C. D. 

分析：A、，为偶函数

B、，为奇函数

或者x为奇函数，cosx为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数

C、，所以为偶函数

D、，非奇非偶函数

故选B

⒋下列函数中为基本初等函数是（C）．

A. B. 

C. D. 

分析：六种基本初等函数

（1） （常值）———常值函数

（2） 为常数——幂函数

（3） ———指数函数

（4） ———对数函数

（5） ——三角函数

（6） ——反三角函数

分段函数不是基本初等函数，故D选项不对

对照比较选C

⒌下列极限存计算不正确的是（D）．

A. B. 

C. D. 

分析：A、已知

B、

初等函数在期定义域内是连续的

C、

时，是无穷小量，是有界函数，

无穷小量×有界函数仍是无穷小量

D、，令，则原式

故选D

⒍当时，变量（C）是无穷小量．

A. B. 

C. D. 

分析；，则称为时的无穷小量

A、，重要极限

B、，无穷大量

C、，无穷小量×有界函数仍为无穷小量

D、

故选C

⒎若函数在点满足（A），则在点连续。

A. B. 在点的某个邻域内有定义

C. D. 

分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即

连续的充分必要条件

故选A

（二）填空题

⒈函数的定义域是 ．

分析：求定义域一般遵循的原则

（1） 偶次根号下的量

（2） 分母的值不等于0

（3） 对数符号下量（真值）为正

（4） 反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于1

（5） 正切符号内的量不能取

然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域

要求

得求交集 

定义域为 

⒉已知函数，则 ．

分析：法一，令得

则则

法二，所以

⒊ ．

分析：重要极限，等价式

推广则

则

⒋若函数，在处连续，则 e ．

分析：分段函数在分段点处连续

 所以

⒌函数的间断点是 (为第一类间断点．

分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点

初等函数在其定义域范围内都是连续的

分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）

不等，所以为其间断点

⒍若，则当时，称为无穷小量 ．

分析：

所以为时的无穷小量

（三）计算题

⒈设函数

求：．

解：，，

⒉求函数的定义域．

解：有意义，要求解得

则定义域为

⒊在半径为的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．

解： 

设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R （其中，AB为梯形上底，下底CD与半园直径重合，O为园心，E为AB中点）

直角三角形AOE中，利用勾股定理得

则上底AB＝

故

⒋求． （第4，5，6，7，9的极限还可用洛贝塔法则做）

解：＝

⒌求．

解：

⒍求．

解：

⒎求．

解：

⒏求．

解：

⒐求．

解：

⒑设函数

讨论的连续性，并写出其连续区间．

解：分别对分段点处讨论连续性

（1）

所以，即在处不连续

（2）

所以即在处连续

由（1）（2）得在除点外均连续

故的连续区间为下载本文