一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑.
1．2021的相反数是（ ）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
2．下列各选项的运算结果正确的是（ ）
A．（2x2）3＝8x6 B．5a2b﹣2a2b＝3
C．x6÷x2＝x3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
3．自古以来就是中国的固有领土，在“百度”搜索引擎中输入“最新消息”，能搜索到与之相关的结果个数约为40000，这个数字用科学记数法表示为（ ）
A．4×104 B．46.4×106 C．4.×106 D．0.4×107
4．如图中几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝，则BC等于（ ）
A．45 B．5 C． D．
6．如图所示的各图中可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．从一副（54张）扑克牌中任意抽取一张，正好为K的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
9．能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是（ ）
A．
B．且∠A＝∠C′
C．且∠B＝∠A′
D．且∠B＝∠B′
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．25° C．15° D．10°
11．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的60元降到42元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是（ ）
A．60（1﹣x）2＝42 B．42（1﹣x）2＝60
C．60（1﹣x%）2＝42 D．42（1﹣x%）2＝60
12．如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）
13．因式分解：x3﹣4x＝ ．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
15．计算﹣的结果是 ．
16．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第n个图案中黑色三角形的个数为 ．
三、解答题（本大题满分68分）
17．（1）计算：|﹣|+（π﹣2）0﹣2cos60°．
（2）解不等式组，并写出它的最大负整数解．
18．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，绳长、井深各几尺？
19．农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的麦苗的株数为 ，图①中m的值为 ；
（2）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数
20．如图，我国某海城有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向．
（1）直接写出：∠ACB＝ ，∠ABC＝ ．
（2）求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）
21．如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．
（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，
①求证：△AOE≌△COD；
②求证：AE＝BE；
（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'，若AD'∥BC，求证：CD2＝2OD•BD．
22．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，求△BCD的面积；
（3）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑.
1．2021的相反数是（ ）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
解：2021的相反数是：﹣2021．
故选：A．
2．下列各选项的运算结果正确的是（ ）
A．（2x2）3＝8x6 B．5a2b﹣2a2b＝3
C．x6÷x2＝x3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
解：A、（2x2）3＝8x6，故正确；
B、应为5a2b﹣2a2b＝3a2b，故本选项错误；
C、应为x6÷x2＝x4，故本选项错误；
D、应为（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项错误．
故选：A．
3．自古以来就是中国的固有领土，在“百度”搜索引擎中输入“最新消息”，能搜索到与之相关的结果个数约为40000，这个数字用科学记数法表示为（ ）
A．4×104 B．46.4×106 C．4.×106 D．0.4×107
解：将40000用科学记数法表示为4.×106．
故选：C．
4．如图中几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
解：从几何体的左边看可得到一列两个小正方形．
故选：A．
5．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝，则BC等于（ ）
A．45 B．5 C． D．
解：∵sinA＝＝，AB＝15，
∴BC＝5．
故选：B．
6．如图所示的各图中可看成由下方图形绕着一个顶点顺时针旋转90°而形成的图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：该题中A选项顺时针旋转不重叠，可排除；C选项顺时针旋转对角线是相交而不是重叠，可排除，
D选项也无法利用旋转得到；
故选：B．
7．从一副（54张）扑克牌中任意抽取一张，正好为K的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：从一副（54张）扑克牌中任意抽取一张，正好为K的概率＝＝．
故选：A．
8．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（ ）
A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣
解：设反比例函数解析式为y＝，
将（2，﹣4）代入，得：﹣4＝，
解得k＝﹣8，
所以这个反比例函数解析式为y＝﹣，
故选：D．
9．能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是（ ）
A．
B．且∠A＝∠C′
C．且∠B＝∠A′
D．且∠B＝∠B′
解：能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是，且∠B＝∠A'；
理由是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
故选：C．
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．25° C．15° D．10°
解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2，BC＝2，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝∠BOC＝30°，
故选：A．
11．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的60元降到42元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是（ ）
A．60（1﹣x）2＝42 B．42（1﹣x）2＝60
C．60（1﹣x%）2＝42 D．42（1﹣x%）2＝60
解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
根据题意可列方程60（1﹣x）2＝42，
故选：A．
12．如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr＝，
解得r＝．
答：该圆锥的底面圆的半径是．
故选：D．
二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）
13．因式分解：x3﹣4x＝ x（x+2）（x﹣2） ．
解：x3﹣4x
＝x（x2﹣4）
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 m＞﹣4 ．
解：由已知得：
△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，
解得：m＞﹣4．
故答案为：m＞﹣4．
15．计算﹣的结果是 ．
解：＝﹣＝．
故答案为：．
16．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第n个图案中黑色三角形的个数为 n（n+1） ．
解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，
第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，
第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，
…
∴第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+⋯+n＝n（n+1）．
故答案为：n（n+1）．
三、解答题（本大题满分68分）
17．（1）计算：|﹣|+（π﹣2）0﹣2cos60°．
（2）解不等式组，并写出它的最大负整数解．
解：（1）原式＝+1﹣2×
＝+1﹣1
＝；
（2）解不等式x+5≤0，得x≤﹣5，
解不等式，得：x≤﹣3，
则不等式组的解集为x≤﹣5，
所以不等式组的最大负整数解为﹣5．
18．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，绳长、井深各几尺？
解：设绳长是x尺，井深是y尺，
依题意有：，
解得：，
答：绳长是36尺，井深是8尺．
19．农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的麦苗的株数为 25 ，图①中m的值为 24 ；
（2）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数
解：（1）本次抽取的麦苗的株数为：2+3+4+10+6＝25（株），
m%＝1﹣8%﹣12%﹣16%﹣40%＝24%，
故答案为：25，24；
（2）平均数是：，
∵16cm出现的次数最多，
∴苗高的众数是：16，
∵按从小到大排列后，第13个数在16cm组中，
∴苗高的中位数是：16．
20．如图，我国某海城有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向．
（1）直接写出：∠ACB＝ 45° ，∠ABC＝ 60° ．
（2）求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号）
解：（1）∠ACB＝90°﹣30°﹣（90°﹣75°）＝45°，∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
故答案为：45°，60°；
（2）过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∵∠ABD＝60°
∴∠DAB＝90°﹣60°＝30°，（海里），
∵∠CAB＝30°+45°＝75°，
∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°，
∵∠ACB＝45°
∴∠DAC＝∠ACB＝45°，
∴CD＝AD＝（海里），
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴（海里），
答：货船与港口A之间的距离是海里．
21．如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．
（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，
①求证：△AOE≌△COD；
②求证：AE＝BE；
（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'，若AD'∥BC，求证：CD2＝2OD•BD．
【解答】（1）证明：①∵AE∥DC，
∴∠CDO＝∠AEO，∠DCO＝∠EAO，
在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（AAS）；
②∵△AOE≌△COD，
∴CD＝AE，OD＝OE，
∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD，
∴BE＝CD，
∴AE＝BE；
（2）证明：如图2，过点A作AF∥DC交BD于点E，交BC于点F，
∵AD'∥BC，
∴∠D'AB＝∠ABC，
由翻折可知，∠D'AB＝∠DAB，
∴∠ABC＝∠DAB，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠ABD，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DAB﹣∠EAB，即∠DBC＝∠DAE，
∵AE∥DC，
∴∠AED＝∠CDB，
∴△ADE∽△BCD，
∴＝，
∴AE•CD＝DE•BD，
由②可知，AE＝CD，OD＝EO，
∴DE＝2OD，
∴CD2＝2OD•BD．
22．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，求△BCD的面积；
（3）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0时，得：y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
∵B（3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，
∴E（1，2），
∴DE＝4﹣2＝2，
∴S△BCD＝S△BDE+S△CDE＝×2×2+×2×1＝3；
（3）抛物线上存在点P，使∠PAB＝∠ABC，
①当点P是抛物线上与点C对称的点时，则有∠PAB＝∠ABC，
∵点C（0，3）关于对称轴x＝1的对称点坐标为（2，3），
∴P1（2，3），
②当直线PA∥BC时，则有∠PAB＝∠ABC，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴直线AP的解析式中一次项系数为﹣1，
设与BC平行的直线AP2的解析式为y＝﹣x+m，
将A（﹣1，0）代入，得：1+m＝0，
解得：m＝﹣1，
∴直线AP2的解析式为y＝﹣x﹣1，
联立抛物线解析式得：，
解得：，（舍去），
∴P2（4，﹣5）．
综上所述，P1（2，3），P2（4，﹣5）．
