一．解答题（共19小题）
1．（2015•黄冈模拟）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
2．（2015•武汉模拟）如图，在△ABC与△ABD中，BC=BD，∠ABC=∠ABD．点E为BC中点，点F为BD中点，连接AE，AF．求证：AE=AF．
3．（2015春•铜陵校级月考）如图，已知BD为△ABC的中线，CE⊥BD于E，AF⊥BD于F．于是小白说：“BE+BF=2BD”．你认为他的判断对吗？为什么？
4．（2014•南京）【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF．
5．（2014•泰安）如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．
（1）求证：∠FMC=∠FCM；
（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．
6．（2014•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．
7．（2014•自贡）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．
8．（2014•重庆）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．
求证：①ME⊥BC；②DE=DN．
9．（2014•德州）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
10．（2014•内江）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数．
11．（2014•福田区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AB=3cm，则BE= cm．
（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．
12．（2014•汕尾校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：BD=2CE．
13．（2014•长春模拟）探索与证明：
（1）如图1，直线m经过正三角形ABC的顶点A，在直线m上取两点 D，E，使得∠ADB=60°，∠AEC=60°．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明；
（2）将（1）中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使∠ADB=120°，∠AEC=120°．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．
14．（2014•怀柔区一模）问题：在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为∠B的平分线，探究AD、BD、BC之间的数量关系．
请你完成下列探究过程：
（1）观察图形，猜想AD、BD、BC之间的数量关系为 ．
（2）在对（1）中的猜想进行证明时，当推出∠ABC=∠C=40°后，可进一步推出∠ABD=∠DBC= 度．
（3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：在BC上截取BE=BD，连接DE，在此基础上继续推理可使问题得到解决．你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对（1）中的猜想加以证明．也可以选用其它的方法证明你的猜想．
15．（2014•市中区一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一点，BD=BC．过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．求证：BE⊥CD．
16．（2014•江西模拟）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）求证：AB垂直平分DF．
17．（2013•烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
18．（2009•本溪）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
19．（2012•青海）请阅读，完成证明和填空．
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60度．请证明：∠NOC=60度．
（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN= ，且∠DON= 度．
（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN= ，且∠EON= 度．
（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．
请大胆猜测，用一句话概括你的发现： ．
七年级三角形难题突破
参与试题解析
一．解答题（共19小题）
1．（2015•黄冈模拟）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题；探究型． |
| 分析： | 要证（1）△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°，需证∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供． |
| 解答： | （1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90° ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD 即∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． （2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE． 证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE， ∴∠ADB=∠E． ∵∠DAE=90°， ∴∠E+∠ADE=90°． ∴∠ADB+∠ADE=90°． 即∠BDE=90°． ∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE． |
| 点评： | 本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证． |
2．（2015•武汉模拟）如图，在△ABC与△ABD中，BC=BD，∠ABC=∠ABD．点E为BC中点，点F为BD中点，连接AE，AF．求证：AE=AF．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | 根据BC=BD，以及中点的定义证得BE=BF，然后利用SAS即可证得△ABE≌△ABF，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得． |
| 解答： | 证明：∵BC=BD，点E为BC中点，点F为BD中点， ∴BE=BF， ∵在△ABE和△ABF中， ， ∴△ABE≌△ABF（SAS）， ∴AE=AF． |
| 点评： | 本题考查全等三角形的判定与性质，证明线段相等的常用方法就是转化为证明三角形全等． |
3．（2015春•铜陵校级月考）如图，已知BD为△ABC的中线，CE⊥BD于E，AF⊥BD于F．于是小白说：“BE+BF=2BD”．你认为他的判断对吗？为什么？
| 考点： | 全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据BD是中线得AD=CD，再根据CE⊥BD，AF⊥BD可以得到∠F=∠CED=90°，然后证明△AFD和△CED全等，再根据全等三角形对应边相等得DE=DE，再根据线段的和差关系即可证明． |
| 解答： | 解：对．理由如下： ∵BD为△ABC的中线， ∴AD=CD， ∵CE⊥BD于E，AF⊥BD于F， ∴∠F=∠CED=90°， 在△AFD和△CED中，， ∴△AFD≌△CED（AAS）， ∴DE=DF， ∵BE+BF=（BD﹣DE）+（BD+DF）， ∴BE+BF=2BD． |
| 点评： | 本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． |
4．（2014•南京）【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ∠B≥∠A ，则△ABC≌△DEF．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；作图—应用与设计作图．菁优网版权所有 |
| 专题： | 压轴题；探究型． |
| 分析： | （1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明； （2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等； （3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等； （4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可． |
| 解答： | （1）解：HL； （2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H， ∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角， ∴180°﹣∠B=180°﹣∠E， 即∠CBG=∠FEH， 在△CBG和△FEH中， ， ∴△CBG≌△FEH（AAS）， ∴CG=FH， 在Rt△ACG和Rt△DFH中， ， ∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL）， ∴∠A=∠D， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）； （3）解：如图，△DEF和△ABC不全等； （4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF． 故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A． |
| 点评： | 本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细． |
5．（2014•泰安）如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．
（1）求证：∠FMC=∠FCM；
（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有 |
| 专题： | 几何综合题． |
| 分析： | （1）根据等腰直角三角形的性质得出DF⊥AE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案； （2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行线的判定得出答案． |
| 解答： | （1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点， ∴DF⊥AE，DF=AF=EF， 又∵∠ABC=90°， ∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余， ∴∠DCF=∠AMF， 在△DFC和△AFM中， ， ∴△DFC≌△AFM（AAS）， ∴CF=MF， ∴∠FMC=∠FCM； （2）AD⊥MC， 理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC， ∴∠FDE=∠FMC=45°， ∴DE∥CM， ∴AD⊥MC． |
| 点评： | 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，得出∠DCF=∠AMF是解题关键． |
6．（2014•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
（1）求证：△BCD≌△FCE；
（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；旋转的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 几何综合题． |
| 分析： | （1）由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE； （2）由（1）可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进而可求出∠BDC的度数． |
| 解答： | （1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE， ∴CD=CE，∠DCE=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE， 在△BCD和△FCE中， ， ∴△BCD≌△FCE（SAS）． （2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE， ∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE， ∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°， ∵EF∥CD， ∴∠E=180°﹣∠DCE=90°， ∴∠BDC=90°． |
| 点评： | 本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． |
7．（2014•自贡）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 几何综合题． |
| 分析： | （1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF． （2）利用角的关系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得结果． |
| 解答： | （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC， ∵BE⊥BF， ∴∠FBE=90°， ∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°， ∴∠ABE=∠CBF， 在△AEB和△CFB中， ∴△AEB≌△CFB（SAS）， ∴AE=CF． （2）解：∵BE⊥BF， ∴∠FBE=90°， 又∵BE=BF， ∴∠BEF=∠EFB=45°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°， 又∵∠ABE=55°， ∴∠EBG=90°﹣55°=35°， ∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°． |
| 点评： | 本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的关键是求得△AEB≌△CFB，找出相等的线段． |
8．（2014•重庆）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．
求证：①ME⊥BC；②DE=DN．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题；几何综合题． |
| 分析： | （1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可； ②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，从而求出∠DAE=∠ECM，根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD，再利用“角边角”证明△ADE和△CDN全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． |
| 解答： | 证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°， ∵FC⊥BC， ∴∠BCF=90°， ∴∠ACF=90°﹣45°=45°， ∴∠B=∠ACF， ∵∠BAC=90°，FA⊥AE， ∴∠BAE+∠CAE=90°， ∠CAF+∠CAE=90°， ∴∠BAE=∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴BE=CF； （2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形， ∴HE=BH，∠BEH=45°， ∵AE平分∠BAD，AD⊥BC， ∴DE=HE， ∴DE=BH=HE， ∵BM=2DE， ∴HE=HM， ∴△HEM是等腰直角三角形， ∴∠MEH=45°， ∴∠BEM=45°+45°=90°， ∴ME⊥BC； ②由题意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°， ∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°， ∴∠CAE=∠CEA=67.5°， ∴AC=CE， 在Rt△ACM和Rt△ECM中 ，， ∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL）， ∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°， 又∵∠DAE=×45°=22.5°， ∴∠DAE=∠ECM， ∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC， ∴AD=CD=BC， 在△ADE和△CDN中， ， ∴△ADE≌△CDN（ASA）， ∴DE=DN． |
| 点评： | 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角． |
9．（2014•德州）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 压轴题；探究型． |
| 分析： | 问题背景：根据全等三角形对应边相等解答； 探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可； 实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EAF=∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可． |
| 解答： | 解：问题背景：EF=BE+DF； 探索延伸：EF=BE+DF仍然成立． 证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG， ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴∠B=∠ADG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF， ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△GAF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF； 实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C， ∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°， ∠EOF=70°， ∴∠EOF=∠AOB， 又∵OA=OB， ∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF=AE+BF成立， 即EF=1.5×（60+80）=210海里． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． |
| 点评： | 本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点． |
10．（2014•内江）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；多边形内角与外角．菁优网版权所有 |
| 专题： | 几何综合题． |
| 分析： | （1）利用正五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，再利用全等三角形的判定得出即可； （2）利用全等三角形的性质得出∠BAM+∠ABP=∠APN，进而得出∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC即可得出答案． |
| 解答： | （1）证明：∵正五边形ABCDE， ∴AB=BC，∠ABM=∠C， ∴在△ABM和△BCN中 ， ∴△ABM≌△BCN（SAS）； （2）解：∵△ABM≌△BCN， ∴∠BAM=∠CBN， ∵∠BAM+∠ABP=∠APN， ∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°． 即∠APN的度数为108°． |
| 点评： | 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正五边形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． |
11．（2014•福田区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AB=3cm，则BE= 6 cm．
（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | （1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，CA=CB，然后利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE； （2）根据全等三角形的性质得到AD=BE，而DB=AB=3cm，所以BE=6cm； （3）根据全等三角形的性质得到∠1=∠2，而∠3=∠4，然后根据三角形内角和定理即可得到∠EBD=∠ECD=90°． |
| 解答： | （1）证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形， ∴CD=CE，CA=CB， ∵∠ACB=90°，∠DCE=90°， ∴∠ECD+∠DCB=∠DCB+∠ACB，即∠ECB=∠ACD， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）解：∵△ACD≌△BCE， ∴AD=BE， ∵DB=AB=3cm， ∴BE=2×3cm=6cm； （3）解：BE与AD垂直．理由如下： ∵△ACD≌△BCE， ∴∠1=∠2， 而∠3=∠4， ∴∠EBD=∠ECD=90°， ∴BE⊥CD． 故答案为6． |
| 点评： | 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质． |
12．（2014•汕尾校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：BD=2CE．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | 由已知条件，根据等腰三角形三线合一这一性质，CE=FE，再证明△ABD≌△ACF，证得BD=CF，从而证得BD=2CE． |
| 解答： | 证明：∵BE平分∠FBC，BE⊥CF， ∴BF=BC， ∴CE=EF， ∴CF=2CE， ∵∠BAC=90°，且AB=AC， ∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠FBE=∠CBE=22.5°， ∴∠F=∠ADB=67.5°， 在△ABD和△ACF中， ∵， ∴△ABD≌△ACF（AAS）， ∴BD=CF， ∴BD=2CE． |
| 点评： | 本题考查了等腰三角形的判断与性质，解题的关键是熟练应用等边对等角以及等腰三角形三线合一的性质． |
13．（2014•长春模拟）探索与证明：
（1）如图1，直线m经过正三角形ABC的顶点A，在直线m上取两点 D，E，使得∠ADB=60°，∠AEC=60°．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明；
（2）将（1）中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使∠ADB=120°，∠AEC=120°．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 应用题． |
| 分析： | （1）通过证明△DAB≌△ECA（AAS），∴AD=CE，BD=AE，从而证得BD+CE=AE+AD=DE： （2）通过△DAB≌△ECA（AAS），∴AD=CE，BD=AE，从而证得CE﹣BD=AD﹣AE=DE． |
| 解答： | 解：（1）猜想：BD+CE=DE．（1分） 证明：由已知条件可知：∠DAB+∠CAE=120°，∠ECA+∠CAE=120°， ∴∠DAB=∠ECA． 在△DAB和△ECA中，∠ADB=∠AEC=60°，∠DAB=∠ECA，AB=CA， ∴△DAB≌△ECA（AAS）． ∴AD=CE，BD=AE． ∴BD+CE=AE+AD=DE．（5分） （2）猜想：CE﹣BD=DE．（6分） 证明：由已知条件可知：∠DAB+∠CAE=60°，∠ECA+∠CAE=60°， ∴∠DAB=∠ECA． 在△DAB和△ECA中，∠ADB=∠AEC=120°，∠DAB=∠ECA，AB=CA， ∴△DAB≌△ECA（AAS）． ∴AD=CE，BD=AE． ∴CE﹣BD=AD﹣AE=DE．（10分） |
| 点评： | 本题考查了全等三角形的判定与性质，及等边三角形的性质，难度适中，注意熟练掌握这些知识以便灵活应用． |
14．（2014•怀柔区一模）问题：在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为∠B的平分线，探究AD、BD、BC之间的数量关系．
请你完成下列探究过程：
（1）观察图形，猜想AD、BD、BC之间的数量关系为 AD+BD=BC ．
（2）在对（1）中的猜想进行证明时，当推出∠ABC=∠C=40°后，可进一步推出∠ABD=∠DBC= 20 度．
（3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：在BC上截取BE=BD，连接DE，在此基础上继续推理可使问题得到解决．你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对（1）中的猜想加以证明．也可以选用其它的方法证明你的猜想．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）AD+BD=BC； （2）由等腰三角形的性质及角平分线的性质可得∠ABD=∠DBC=20°； （3）在BC上截取BF=BA，连接DF，在BC上截取BE=BD，连接DE，先证得△ABD≌△FBD，∠DFB=∠A=100°，∠DFC=80°，再得∠BED=∠BDE=80°，所以∠DFE=∠FED．再推得∠EDC=∠C，DE=EC，AD=EC，于是AD+BD=BC． |
| 解答： | 解：（1）AD+BD=BC； （2）∵AB=AC，∠A=100° ∴∠ABC=∠C=40° ∵BD为∠B的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=20°； （3）在BC上截取BF=BA，连接DF，在BC上截取BE=BD，连接DE， ∵BD为∠B的平分线， ∴∠ABD=∠DBC． ∴在△ABD和△FBD中， ， ∴△ABD≌△FBD． ∵∠A=100°， ∴∠DFB=∠A=100°， ∴∠DFC=80°， ∵BE=BD，∠DBC=20°， ∴∠BED=∠BDE=80°，∠DFE=∠FED． ∴DF=DE． ∵∠FED=80°，∠C=40°， ∴∠EDC=40°． ∴∠EDC=∠C． ∴DE=EC． ∴AD=EC． ∴AD+BD=BC． |
| 点评： | 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．正确的作出辅助线是解题的关键． |
15．（2014•市中区一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一点，BD=BC．过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．求证：BE⊥CD．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | 首先根据HL证明Rt△ECB≌Rt△EDB，得出∠EBC=∠EBD，然后根据等腰三角形底边上的高与顶角的平分线重合即可证明． |
| 解答： | 证明：∵ED⊥AB， ∴∠EDB=90°． 在Rt△ECB和Rt△EDB中， ， ∴Rt△ECB≌Rt△EDB（HL）， ∴∠EBC=∠EBD， 又∵BD=BC， ∴BF⊥CD，即BE⊥CD． |
| 点评： | 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，得出∠EBC=∠EBD，是解题的关键． |
16．（2014•江西模拟）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）求证：AB垂直平分DF．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | （1）根据∠ACB=90°，求证∠CAD=∠BCF，再利用BF∥AC，求证∠ACB=∠CBF=90°，然后利用ASA即可证明△ACD≌△CBF． （2）先根据ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=BD，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可． |
| 解答： | 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠CAB=∠CBA=45°， ∵CE⊥AD， ∴∠CAD=∠BCF， ∵BF∥AC， ∴∠FBA=∠CAB=45° ∴∠ACB=∠CBF=90°， 在△ACD与△CBF中， ∵， ∴△ACD≌△CBF； （2）证明：∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠BCE=∠CAE． ∵AC⊥BC，BF∥AC． ∴BF⊥BC． ∴∠ACD=∠CBF=90°， 在△ACD与△CBF中， ∵， ∴△ACD≌△CBF， ∴CD=BF． ∵CD=BD=BC， ∴BF=BD． ∴△BFD为等腰直角三角形． ∵∠ACB=90°，CA=CB， ∴∠ABC=45°． ∵∠FBD=90°， ∴∠ABF=45°． ∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线． ∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线， 即AB垂直平分DF． |
| 点评： | 本题主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何知识．要注意的是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． |
17．（2013•烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 AE∥BF ，QE与QF的数量关系式 QE=QF ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | （1）证△BFQ≌△AEQ即可； （2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可； （3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． |
| 解答： | 解：（1）AE∥BF，QE=QF， 理由是：如图1，∵Q为AB中点， ∴AQ=BQ， ∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ=90°， 在△BFQ和△AEQ中 ∴△BFQ≌△AEQ（AAS）， ∴QE=QF， 故答案为：AE∥BF；QE=QF． （2）QE=QF， 证明：如图2，延长FQ交AE于D， ∵Q为AB中点， ∴AQ=BQ， ∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE， ∴∠QAD=∠FBQ， 在△FBQ和△DAQ中 ∴△FBQ≌△DAQ（ASA）， ∴QF=QD， ∵AE⊥CP， ∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线， ∴QE=QF=QD， 即QE=QF． （3）（2）中的结论仍然成立， 证明：如图3， 延长EQ、FB交于D， ∵Q为AB中点， ∴AQ=BQ， ∵BF⊥CP，AE⊥CP， ∴BF∥AE， ∴∠1=∠D， 在△AQE和△BQD中， ， ∴△AQE≌△BQD（AAS）， ∴QE=QD， ∵BF⊥CP， ∴FQ是斜边DE上的中线， ∴QE=QF． |
| 点评： | 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等． |
18．（2009•本溪）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 90 度；
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
| 考点： | 全等三角形的判定；等腰三角形的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | （1）问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论； （2）问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和； （3）问是第（1）问和第（2）问的拓展和延伸，要注意分析两种情况． |
| 解答： | 解：（1）90°． 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC． 即∠BAD=∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠ACE． ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB， ∴∠BCE=∠B+∠ACB， 又∵∠BAC=90° ∴∠BCE=90°； （2）①α+β=180°， 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC． 即∠BAD=∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠ACE． ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB． ∴∠B+∠ACB=β， ∵α+∠B+∠ACB=180°， ∴α+β=180°； ②当点D在射线BC上时，α+β=180°； 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∵在△ABD和△ACE中 ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°， ∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°， ∴α+β=180°； 当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β． 理由：∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAB=∠EAC， ∵在△ADB和△AEC中， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE， 即α=β． |
| 点评： | 本题考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．本题的亮点是由特例引出一般情况． |
19．（2009•青海）请阅读，完成证明和填空．
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60度．请证明：∠NOC=60度．
（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN= ，且∠DON= 度．
（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN= ，且∠EON= 度．
（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．
请大胆猜测，用一句话概括你的发现： ．
| 考点： | 全等三角形的判定；等边三角形的性质；正多边形和圆．菁优网版权所有 |
| 专题： | 压轴题；阅读型． |
| 分析： | （1）利用△ABC是正三角形，可得∠A=∠ABC=60°，AB=BC，又因BM=AN，所以△ABN≌△BCM，∠ABN=∠BCM，所以∠NOC=∠BCM+∠OBC=∠ABN+∠OBC=60°； （2）同（1）利用三角形全等，可知在正方形中，AN=DM，∠DON=90°； （3）同（1），利用三角形全等可知在正五边形中，AN=EM，∠EON=108°； （4）以上所求的角恰好等于正n边形的内角．（10分） |
| 解答： | （1）证明：∵△ABC是正三角形， ∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC， 在△ABN和△BCM中，， ∴△ABN≌△BCM，（2分） ∴∠ABN=∠BCM， 又∵∠ABN+∠OBC=60°， ∴∠BCM+∠OBC=60°， ∴∠NOC=60°； （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAM=∠ABN=90°，AD=AB， 又∵AM=BN， ∴△ABN≌△DAM（SAS）， ∴AN=DM，∠ADM=∠BAN， 又∵∠ADM+∠AMD=90°， ∴∠BAN+∠AMD=90° ∴∠AOM=90°；即∠DON=90°． （3）解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠A=∠B，AB=AE， 又∵AM=BN， ∴△ABN≌△EAM， ∴AN=ME， ∴∠AEM=∠BAN， ∴∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°； （4）解：以上所求的角恰好等于正n边形的内角．（10分） 注：学生的表述只要合理或有其它等价且正确的结论，均给分．本题结论着重强调角和角的度数． |
| 点评： | 本题需仔细分析图形，利用三角形全等即可解决问题，本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． |
