几何模型1：两定一动型（两点之间线段最短）

       图一                             图二   

几何模型2：两动一定型（两点之间线段最短）

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．

几何模型3（1）：两定两动型（两点之间线段最短）

在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。

几何模型3（2）：两定两动型（将军过桥）（两点之间线段最短）

       图1                   图2             图3

【将军过桥】

已知将军在图1中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？

考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（如图2）．

问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（如图3）．

几何模型4：一定两动型（点线之间垂线段最短）

在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

例题讲解：

几何模型1：两定一动型（两点之间线段最短）

1 （2020·内蒙古包头市·包头外国语实验学校八年级期中）如图，四边形OABC为正方形，边长为10，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为（4，0），P是OB上的一个动点，则PD＋PA的最小值是_____．

【答案】.

解：作出D关于OB的对称点D′，则D′的坐标是（0，4）．则PD+PA的最小值就是AD′的长．

则OD′=4，OA=10,

∴AD′= 

则PD+PA和的最小值是．

故答案是：．

【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及最短路线问题，正确作出P的位置是关键．

【变式1】（2020·湖北黄冈市·八年级期末）如图，正方形  中，， 是  的中点，点  是对角线  上一动点，则  的最小值为（    ）

A．4    B．    C．    D．

【答案】B

解：连接DE，交AC于点P，连接BD，

点B与点D关于AC对称，

的长即为的最小值，

是BC的中点，

，

在中，

的最小值是．

故选：B．

【点拨】本题考查两点对称的性质、两点间的距离、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

【变式2】（2020·湖南长沙市·九年级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，动点P满足＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为（　　）

A．10    B．8    C．8    D．8

【答案】C

【分析】根据S△PAB＝S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是4的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．

解：设中边上的高是．

，

，

，

动点在与平行且与的距离是4的直线上，

如图，作关于直线的对称点，连接，，则的长就是的最小值．

在中，，，

，

即的最小值为．

故选：C．

【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

几何模型2：两动一定型（两点之间线段最短）

2 （2020·重庆市蜀都中学校八年级期中）如下图，，在、上分别找一点M、N，当周长最小时，的度数是_____________．

【答案】120°

【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．

解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．

∵∠DAB=120°，

∴∠AA′M+∠A″=180°-∠BAD=60°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，

故答案为：120°．

【点拨】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．

【变式】（2020·无锡市胡埭中学八年级月考）如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（    ）

A．84°    B．88°    C．90°    D．96°

【答案】B

【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点 ,,即可得出，进而得出 即可得出答案．

 解：如图示，作关于和的对称点， ，连接，交于，交于 ，则即为的周长最小值．

延长，作于点，

，

，

，

，，

且， ，

，

故选：B．

【点拨】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．

几何模型3：两定两动型（两点之间线段最短）

3（2021·全国八年级）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，在轴和轴上分别有两点、，则，，，四点组成的四边形的最小周长为__．

【答案】．

【分析】作点A关于y轴的对称点C，点B关于x轴的对称点D，连接CD交y轴于P，交x轴于Q，则此时，四边形APQB的周长最小，且四边形的最小周长=AB+CD，根据两点间的距离公式即可得到结论．

 解：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接交轴于，交轴于，

则此时，四边形的周长最小，且四边形的最小周长，

点的坐标是，点的坐标是，

，，

，，

四边形的最小周长，

故答案为：．

【点拨】本题考查了坐标与图形性质，轴对称-最短路径问题，两点间的距离公式，正确的确定点P和点Q的位置是解题的关键．

4（2020·深圳亚迪学校）如图，菱形ABCD的边长为6，，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若，则的最小值为________．

【答案】

【分析】作AM⊥AC，连接CM交BD于F，根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．

解：如图，连接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，连接CM交BD于F，

∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，

∴BD⊥AC，

∵AM⊥AC，

∴AM∥BD，

∴AM∥EF，

∵AM＝EF，AM∥EF，

∴四边形AEFM是平行四边形，

∴AE＝FM，

∴AE＋CF＝FM＋FC＝CM，

根据两点之间线段最短可知，此时AE＋FC最短，

∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°

∴BC＝AB，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB＝6，

在Rt△CAM中，CM＝

∴AE＋CF的最小值为．

故答案为：．

【点拨】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题．

【变式】（2020·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是________．

【答案】

【分析】

如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．证明BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，再根据B′H≥B′F，求出B′F即可解决问题．

【详解】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．

与x轴交于点C，与y轴变于点A，

令x=0，y=，令y=0,得x=

∴A（0，），C（，0），

∴OA＝，OC＝，

∴AC==2OA，

∴∠ACO＝30°，

∵EH⊥OC，

∴EH＝EC，

∵BB′＝DE，BB′∥DE，

∴四边形DBB′E是平行四边形，

∴BD＝B′E，

∵BM∥AC，

∴∠BMC＝∠ACO＝30°，

∵∠BCM＝90°，BC＝，

∴BM＝2BC＝3，

∴B′M＝1＋3，

∵∠MFB′＝90°，

∴B′F＝MB′＝，

∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，

∴BD＋EC≥，

∴BD＋EC的最小值为，

故答案为．

【点拨】本题考查一次函数的性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．

几何模型4：一定两动型（点线之间垂线段最短）

5（2020·深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学九年级一模）如图，中，，为边上的一动点，则的最小值等于（    ）

A．    B．3    C．    D．

【答案】C

【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，有锐角三角函数可得EP=PD，即PB+PD=PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．

解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，

∵AB∥CD

∴∠EDP=∠DAB=60°，

∴sin∠EDP=，

∴EP=PD，

∴PB+PD=PB+PE

∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，

∵sin∠A=，

∴BE=，

故选C.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，锐角三角函数的性质，解题的关键是得到当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，符合题意.

【变式】（2020·成都市铁中府河学校九年级期中）如图，在矩形中，，垂足为，动点分别在上，则的值为__________，的最小值为_____________．

【答案】3        

【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP＋PQ最小，从而可求得AP＋PQ的最小值等于DE的长．

解：设，则，

∵四边形为矩形，且，

，，

，

又，

，

，即，

，

在中，由勾股定理可得，

即，解得：，

，

如图，设点关于的对称点为，连接，

则，

是等边三角形，

,

∴当、三点在一条线上时，最小，

由垂线段最短可知当时，最小，

．

故答案是：3；．

【点拨】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP＋PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算． 下载本文