实验报告
实验项目名称 矩阵的特征值与特征向量
所属课程名称 高等数学实验
实 验 类 型 上机实验
实 验 日 期 2012-5-31
班 级 09数应2班
学 号 291010825
姓 名 牛 小 英
成 绩
| 一、实验概述： | |||||
| 【实验目的】 学习掌握利用Mathematica(4．0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量；利用特征值求二次型的标准形 【实验原理】 (1)命令Eigenvalues，给出方阵M的特征值． (2)命令Eigenvectors[M]，给出方阵M的特征向量．但是时输出中含有零向量，此时输出中的非零向量才是真正的特征向量． (3)命令Eigensystem[M]，给出方阵m的特征值和特征向量．同样，有时输出的向量中含有零向量． (4)调用“线性代数．向量组正交化”软件包命令是 < 【实验环境】 1.软件:联想系列电脑：Pentium(R)Dual-Core CPU E6600.3.06GHZ 2.1.966B的内存 Windows-XP.SP3. 3.Mathematica5.2 | |||||
| 二、实验内容： | |||||
| 【实验方案】 1．求方阵的特征值与特征向量 2. 矩阵的相似变换 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 1．求方阵的特征值与特征向量 Clear[M]; M={{1,2,3},{2,1,3},{3,3,6}}; Eigenvalues[M] Eigenvectors[M] Eigensystem[M] 用命令Eigenvalues[M]立即求得方阵M的特征值，命令Eigenvectors[M]立即求得方阵M的特征向量，命令Eigensystem[M]立即求得方阵的特征值和特征向量 例14.2求方阵M的特征值和特征向量 (*Example14.2*) G={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6,1,-2}}; Eigensystem[G] G={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6.0,1,-2}}; Eigensystem[G] 例14．，已知：是方阵的特征值，求t． (*Example14.3*) Clear[A,q]; A={{2-3,0,0},{-1,2-t,-3},{-1,-2,2-3}}; q=Det[A]; Solve[q 0,t] 例14．4已知z=(1，1，一I)是方阵A=J 5 (*Example14.4*) Clear[A,B,v,a,b,t]; A={{t-2,1,-2},{-5,t-a,-3},{1,-b,t+2}}; v={1,1,-1}; B=A.v; Solve[{B[[1]] 0,B[[2]] 0,B[[3]] 0},{a,b,t}] 2-矩阵的相似变换 若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则A与对角阵相似．实对称阵总与对角阵相似，且存在正交阵P，使P’AP为对角阵．命令EigenVectors[A]与Eigensystem[A]给出还未经过正交化和单位化的特征向量因此要对特征向量进行正交化和单位化所用的命令是GramSchmidt[ ]不过首先要输人调用软件包< Clear[A,p]; A={{4,1,1},{2,2,2},{2,2,2}}; Eigenvalues[A]; p=Eigenvectors[A]//Transpose Inverse[p].A.p jor=JordanDecomposition[A] jor[[1]] jor[[2]] 例14 6方阵A是否与对角阵相似? Clear[A]; A={{1,0},{2,1}}; Eigensystem[A] 例14．7 Clear[x,v]; v={{4,0,0},{-2,2-x,-2},{-3,-1,1}}; Solve[Det[v] 0,x] 例14．8对实对称矩阵A= < A={{0,1,1,0},{1,0,1,0},{1,1,0,0},{0,0,0,2}}; Eigenvalues[A] Eigenvectors[A] p=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]//Transpose 例14．9求一个正交变换，化二次型为标准二次型的矩阵为 f=Table[x[j],{j,4}].A.Table[x[j],{j,4}]//Simplify f/.Table[x[j] (p.Table[y[j],{j,4}])[[j]],{j,4}]//Simplify 【实验结论】（结果） 1.用Mathematica命令求方阵的特征值和特征向量很方便，从而便于利用特征值求二次型的标准形。 2.本次实验比较成功。 | |||||
| 【实验小结】（收获体会） 1.通过本次实验，我掌握了利用Mathematica命令求方阵的特征值和特征向量。 2.通过本次实验，我掌握了利用特征值求二次型的标准形。 3.通过本次实验，我学会了利用Eigenvalues命令求方阵的特征值。 4.通过本次实验，我学会了利用Eigenvectors命令求方阵的特征向量。 5.通过本次实验，我学会了利用Eigensystem命令求方阵的特征值和特征向量。 | |||||
| 三、指导教师评语及成绩： | |||||
评 语 | 评语等级 | ||||
| 优 | 良 | 中 | 及格 | 不及格 | |
| 1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强 | |||||
| 2.实验方案设计合理 | |||||
| 3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻） | |||||
| 4实验结论正确. | |||||
成 绩： 指导教师签名： 批阅日期： | |||||
第一题
Clear[A];
A={{-1,2,2},{2,-1,-2},{2,-2,-1}};
Eigenvalues[A]
Eigenvectors[A]
Eigensystem[A]
{-5,1,1}
{{-1,1,1},{1,0,1},{1,1,0}}
{{-5,1,1},{{-1,1,1},{1,0,1},{1,1,0}}}
第二题
Clear[A];
A={{1,1,1,1},{1,1,-1,-1},{1,-1,1,-1},{1,-1,-1,1}};
Eigenvalues[A]
Eigenvectors[A]
Eigensystem[A]
{-2,2,2,2}
{{-1,1,1,1},{1,0,0,1},{1,0,1,0},{1,1,0,0}}
{{-2,2,2,2},{{-1,1,1,1},{1,0,0,1},{1,0,1,0},{1,1,0,0}}}
第三题
Clear[A,q]
A={{0-1,0,-1},{0,0-2,0},{-1,0,0-t}}
q=Det[A]
Solve[q 0,t]
{{-1,0,-1},{0,-2,0},{-1,0,-t}}
2-2 t
{{t 1}}
第四题
Clear[A,B,v,a,b,t];
A={{t-2,1,1},{1,t-2,1},{1,1,t-2}};
v={1,k,1};
B=A.v;
Solve[{B[[1]] 0,B[[2]] 0,B[[3]] 0},{t,k}]
{{t 0,k 1},{t 3,k -2}}
第五题
Clear[A]
A={{0,-1,2},{0,1,0},{1,-1,1}}
Eigensystem[A]
{{0,-1,2},{0,1,0},{1,-1,1}}
{{2,-1,1},{{1,0,1},{-2,0,1},{1,1,1}}}
第六题
Clear[A,P,x,v];
A={{2,0,0},{0,0,1},{0,1,0}};
v={{-3,0,0},{0,-1,-1},{0,-1,-1-x}};
Solve[Det[v] 0,x]
{{x 0}}
Eigenvalues[A]
P=Eigenvectors[A]//Transpose
{2,-1,1}
{{1,0,0},{0,-1,1},{0,1,1}}
Inverse[p].A.p//Simplify
Transpose[p].A.p//Simplify
第七题
< A={{1,2,4},{2,-2,2},{4,2,1}}; Eigenvalues[A] Eigenvectors[A] {6,-3,-3} {{2,1,2},{-1,0,1},{-1,2,0}} C=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]//Transpose Transpose[C].C Inverse[C].A.C//Simplify 1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。 2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。 3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。 4．实验环境：实验用的软、硬件环境。 5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。概括整个实验过程。 对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。对于创新性实验，应注明其创新点、特色。 6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。 7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。 8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。 9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。下载本文
附录2：实验报告填写说明 Transpose[C].A.C//Simplify
