(空间向量与立体几何)
1、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图．其
中实点·代 表钠原子，黑点代表氯原子．建立空间直角坐标
系O－xyz后，图中 最上层中间的钠原子所在位置的坐标是
( )
A．(，，1) B．(0,0,1) C．(1，，1) D．(1，，)
2、若向量a＝(1，λ，2)，b＝(－2,1,1)，a，b夹角的余弦值为，则λ等于( )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
3、若A、B两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|AB|的取值范围是( )
A．[0,5] B．[1,5] C．(1,5) D．[1,25]
4、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则·的值为( )
A．a2 B. a2 C. a2 D. a2
4、已知正方体的不在同一个表面上的两个顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的棱长等于( )
A．4 B．2 C. D．2
5、如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(0,2,1)，b＝(，，)，那么这条斜线与平面的夹角是( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
6、正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7、直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成的角为( )
A．60° B．45° C．30° D．90°
8、设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2，0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则a等于( )
A．16 B．4 C．2 D．8
9、点P(1,2,3)关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|＝____________.
10、已知x，y，z满足(x－3)2＋(y－4)2＋z2＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是__________
11、若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x ＝________.
12、 已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λ＝＋＋， 则λ＝________.
13、长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为__________．
14、已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为________．
15、已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是_______________
16、在空间直角坐标系中，解答下列各题．
(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；
(2)在xOy平面内直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．
17.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：－－；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋ z，试求x、y、z的值．
18、如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求BD1与AC夹角的余弦值．
19、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.
(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
(2)证明AF⊥平面A1ED.
20、四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示．
(1)写出四棱锥P－ABCD中四对线面垂直关系(不要求证明)；
(2)在四棱锥P－ABCD中，若E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD.
高二第一学期(理科)数学期末复习专题训练
(空间向量与立体几何)参
1、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图．其中实点·代表钠原子，黑点代表氯原子．建立空间直角坐标系O－xyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是( )
A．(，，1) B．(0,0,1) C．(1，，1) D．(1，，)
答案：A
2、若向量a＝(1，λ，2)，b＝(－2,1,1)，a，b夹角的余弦值为，则λ等于( )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
解析：选A.cos〈a，b〉＝＝＝，解得λ＝1.
3、若A、B两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|AB|的取值范围是( )
A．[0,5] B．[1,5] C．(1,5) D．[1,25]
解析：选B.
|AB|＝＝
＝∈[1,5]．∴|AB|∈[1,5]．
4、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则·的值为( )
A．a2 B. a2 C. a2 D. a2
解析：选C.如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
＝(a＋b)，＝c，∴·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.
4、已知正方体的不在同一个表面上的两个顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的棱长等于( )
A．4 B．2 C. D．2
解析：选A.由于A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)是不在同一个表面上的两个顶点，所以它们是对角线的两个端点，故对角线长度等于|AB|＝＝4，若设正方体的棱长为a，则有a＝4，故a＝4.
5、如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(0,2,1)，b＝(，，)，那么这条斜线与平面的夹角是( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
解析：选D.cosθ＝＝，因此a与b的夹角为30°.从而可得斜面与平面的夹角为30°.
6、正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解析：
选D.如图，连接BD交AC于O，连接D1O.由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝，D1O＝，∴cos∠DD1O＝＝＝.∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.
7、直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成的角为( )
A．60° B．45° C．30° D．90°
解析：
选D.建立坐标系如图所示，易得M(0,0，)，A1(0，，0)，
A(0，，)，B1(1,0,0)，∴＝(1，－，－)，
＝(0，－，)．∴·＝1×0＋3－＝0，
∴⊥.即AB1⊥A1M.
8、设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2，0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则a等于( )
A．16 B．4 C．2 D．8
解析：选A.＝(－1，－3,2)，＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设＝x＋y (x、y∈R)，则(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4)＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)，
∴解得x＝－7，y＝4，a＝16.
9、点P(1,2,3)关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|＝__.
解析：∵P1(－1,2，－3)，P2(1，－2,3)．
∴|P1P2|＝＝2.
答案：2
10、已知x，y，z满足(x－3)2＋(y－4)2＋z2＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是__________
解：由已知得点P(x，y，z)在以M(3,4,0)为球心，为半径的球面上，x2＋y2＋z2表示原点O与点P的距离的平方，显然当O，P，M共线且P在O与M之间时，|OP|最小，此时|OP|＝|OM|－＝－＝5－.∴|OP|2＝27－10.
11、若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
解析：∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．
∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.答案：2
12、 已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λ＝＋＋，则λ＝________.
解析：如图，正方体中，＋＋＝＝3，∴λ＝3.
答案：3
13、长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为__________．
解析：建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，
B(1,2,0)，C1(0,2,2)，∴＝(－1,0,2)，
＝(－1,2,1)，∴cos〈，〉＝＝.
答案：
14、如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为________．
解析：不妨设正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系(x轴垂直于AB)，则C(0,0,0)，A(，－1,0)，
B1(，1,2)，D(，－，2)，则＝(，－，2)，
＝(，1,2)．设平面B1DC的法向量为n＝(x，y,1)，
由解得n＝(－，1,1)．
又∵＝(，－，－2)，∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝.
答案：
15、已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是_______________
解析：选C.如图建立坐标系Dxyz，则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，
B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，＝(－2,0,4)，＝(0,2,4)，＝(0,0,4)，设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
解得x＝2z且y＝－2z，不妨设n＝(2，－2,1)，
设点A1到平面AB1D1的距离为d，则d＝＝，
16、在空间直角坐标系中，解答下列各题．
(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；
(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．
解：(1)设点P(x,0,0)，由题意，得|P0P|＝＝，解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．
(2)由已知，可设M(x,1－x,0)，
则|MN|＝＝.
所以，当x＝1时，|MN|min＝，此时点M的坐标为(1,0,0)．
17.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：－－；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求x、y、z的值．
解：(1)∵＋＝，∴－－＝－(＋)＝－＝－＝.
(2)∵＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝－－，∴x＝，y＝－，z＝－.
18、如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求BD1与AC夹角的余弦值．
解：记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝.
(1)| |2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6，∴||＝，即AC1的长为.
(2)＝b＋c－a，＝a＋b，∴|1|＝，||＝，·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
∴cos〈，〉＝＝.∴AC与BD1夹角的余弦值为.
19、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.
(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF⊥平面A1ED.
解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，，0)．
(1)易得＝(0，，1)，＝(0,2，－4)，于是cos〈，〉＝＝－.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.
(2)证明：易知＝(1,2,1)，＝(－1，－，4)，＝(－1，，0)，于是·＝0，·＝0.因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.
又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.
20、四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示．
(1)写出四棱锥P－ABCD中四对线面垂直关系(不要求证明)；
(2)在四棱锥P－ABCD中，若E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD.
解：(1)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，CD⊥平面PAC.
(2)依题意AB，AD，AP两两垂直，分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．
则P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)．
∵E是PA的中点，∴点E的坐标为(0,0,1)，
＝(－2,0,1)，＝(2,2，－2)，＝(0,4，－2)．
设n1＝(x，y，z)是平面PCD的法向量．
由即
取y＝1，得n1＝(1,1,2)为平面PCD的一个法向量．
∵·n1＝－2×1＋0×1＋1×2＝0，∴⊥n1，
∴∥平面PCD.又BE⊄平面PCD，∴BE∥平面PCD.下载本文
