【2012年高考试题】
1.【2012高考真题浙江理2】 已知i是虚数单位，则=
A .1-2i B.2-i C.2+i D .1+2i
2.【2012高考真题新课标理3】下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ）
的共轭复数为 的虚部为
3.【2012高考真题四川理2】复数（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】
4.【2012高考真题陕西理3】设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B.
【解析】或，而复数是纯虚数，是纯虚数，故选B.
5.【2012高考真题上海理15】若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A． B． C． D．
6.【2012高考真题山东理1】若复数满足（为虚数单位），则为
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】。故选A。
7.【2012高考真题辽宁理2】复数
(A) (B) (C) (D)
9.【2012高考真题广东理1】 设i为虚数单位，则复数=
A．6+5i B．6-5i C．-6+5i D．-6-5i
【答案】D
【解析】=．故选D．
10.【2012高考真题福建理1】若复数z满足zi=1-i，则z等于
A.-1-I B.1-i C.-1+I D.1=i
【答案】A.
【解析】根据知，，故选A.
11.【2012高考真题北京理3】设a，b∈R。“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
12.【2012高考真题安徽理1】复数满足：；则（ ）
13．【2012高考真题天津理1】i是虚数单位，复数=
（A） 2 + i （B）2 – i
（C）-2 + i （D）-2 – i
【答案】B
【解析】复数，选B.
14.【2012高考真题全国卷理1】复数=
A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i
【答案】C
【解析】，选C.
15.【2012高考真题重庆理11】若，其中为虚数单位，则
16.【2012高考真题上海理1】计算： （为虚数单位）。
【答案】
【解析】复数。
17.【2012高考江苏3】（5分）设，（i为虚数单位），则的值为 ▲ ．
18.【2012高考真题湖南理12】已知复数 (i为虚数单位)，则|z|=_____.
【答案】10
【解析】=，.
【2011年高考试题】
一、选择题:
1. (2011年高考山东卷理科2)复数z=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为
（A）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
4.(2011年高考浙江卷理科2)把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=
（A） （B） （C）（D）
【答案】 A
【解析】 故选A
5．(2011年高考广东卷理科1)设复数z满足(1+i)z=2，其中i为虚数单位，则Z=（ ）
A．1+i B．1-i C．2+2i D．2-2i
【解析】B.由题得所以选B.
6.(2011年高考辽宁卷理科1)a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ ）
（A）2 （B） (C) (D)1
答案： B
解析：,a>0,故a=.
7. (2011年高考全国新课标卷理科1)复数的共轭复数是（ ）
A B C D;
8.(2011年高考江西卷理科1)若，则复数
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为=，所以复数,选D.
9. (2011年高考江西卷理科7)观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
10．(2011年高考江西卷理科10)如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是
12．(2011年高考湖北卷理科1)i为虚数单位，则=
A.－i B.－1 C.i D.1
答案：A
解析：因为错误！不能通过编辑域代码创建对象。,故错误！不能通过编辑域代码创建对象。所以选A.
13．(2011年高考陕西卷理科7)设集合，
则为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】：由即
由得即故选C
14.(2011年高考重庆卷理科1)复数
（A） (B)
(C) (D)
解析：选B. 。
二、填空题:
1. (2011年高考山东卷理科15)设函数,观察:
根据以上事实，由归纳推理可得：
当且时， .
【答案】
【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为,即,所以归纳出分母为的分母为,故当且时，.
2.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点
③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点
④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
3. (2011年高考湖北卷理科15)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
n=1
n=2
n=3
n=4
由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个[黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示）
4．(2011年高考陕西卷理科13)观察下列等式
照此规律，第个等式为
【答案】
3、(2011年高考安徽卷江苏3)设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_________
【答案】1
【解析】因为，所以,故的实部是1.
三、解答题:
1．(2011年高考上海卷理科19)（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。
（19）(2011年高考安徽卷理科19)（本小题满分12分）
（Ⅰ）设证明，
（Ⅱ），证明.
【命题意图】：本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式恒定变形能力和推理论证能力。
【证明】：(Ⅰ)由于，所以
要证明：
只要证明：
只要证明：
只要证明：
只要证明：
由于，上式显然成立，所以原命题成立。
2. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分）
已知数列与满足：， ，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，证明：是等比数列；
（Ⅲ）设证明：．
【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
（Ⅰ）解:由,,可得, 又
当n=1时,,由,,得;
当n=2时,,可得.
当n=3时,,可得.
（III）证明：由（II）可得，
于是，对任意，有
将以上各式相加，得
即，
此式当k=1时也成立.由④式得
从而
所以，对任意，
3. (2011年高考湖南卷理科16)对于，将表示为，当时，
，当时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，
，故，），则（1） ；（2） .
答案：2; 1093
4. (2011年高考湖南卷理科22)（本小题满分13分）已知函数
求函数的零点个数，并说明理由；
设数列满足证明：存在常数
使得对于任意的都有
解：由知，，而且，
，则为的一个零点，且在内由零点，
因此至少有两个零点.
综上所述，有且只有两个零点.
解法2 由，记则
当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，
从而在上至多有一个零点.
综上所述，有且只有两个零点.
记的正零点为，即
（1）当时，由得，而，因此.
由此猜测：.下面用数学归纳法证明.
①当时，显然成立，
②假设当时，成立，则当时，由
知
因此，当时，成立
故对任意的成立
5. (2011年高考广东卷理科20)设数列满足,
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：对于一切正整数n,
【解析】（1）由
令，
当
①当时，
6．(2011年高考广东卷理科21)（本小题满分14分）
【解析】解：（1）证明：切线的方程为
当
当
（2）的方程分别为
求得的坐标，由于，故有
1）先证：
（）设
当
当
（）设
当
注意到
（3）求得的交点
而是Ｌ的切点为的切线，且与轴交于，
由（１）线段Q1Q2，有
当
在（0，2）上，令
7. (2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）
(Ⅰ)已知函数，求函数的最大值；
(Ⅱ)设均为正数，证明：
（1）若，则；
（2）若，则
本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想.
解析：
（Ⅰ）的定义域为，令，解得，
当时，，在（0，1）内是增函数；
当时，，在内是减函数；
故函数在处取得最大值
（Ⅱ）
（1）由（Ⅰ）知，当时，有，即，
，从而有，得，
求和得,
,,即
.
8.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且
（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设
【解析】：（Ⅰ）由得，
前项为，
【解析】：（Ⅰ）
故
（Ⅱ）法一：第次抽取时概率为，则抽得的20个号码互不相同的概率
由（Ⅰ），当
即有故
10．(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）
设整数，是平面直角坐标系中的点，其中
（1）记为满足的点的个数，求；
（2）记为满足是整数的点的个数，求
解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。
（1）因为满足的每一组解构成一个点P,所以。
（2）设，则
对每一个k对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；
当n-1被3整除时，解数一共有：
当n-1被3除余1时，解数一共有：
当n-1被3除余2时，解数一共有：
11．(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分）
若数列满足，数列为数列，记=．
（Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；
（Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；
（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。
所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.
又因为a1=12，a2000=2011,
所以a2000=a1+1999.
故是递增数列.
综上，结论得证。
（Ⅲ）令
因为
……
【2010年高考试题】
（2010浙江理数）（5）对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是
（A） （B）
（C） （D）
解析：可对选项逐个检查，A项，，故A错，B项，，故B错，C项，，故C错，D项正确。
（2010全国卷2理数）（1）复数
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】.
（2010辽宁理数）(2)设a,b为实数，若复数，则
（A） (B)
(C) (D)
（2010江西理数）1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（ ）
A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2
C. x=1，y=1 D. x=1，y=2
（2010四川理数）（1）i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝
（A）－1 （B）1 （C） （D）
解析：由复数性质知：i2＝－1
故i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1
答案：A
（2010天津理数）（1）i 是虚数单位，复数
(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i
【答案】A
【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.
（2010广东理数）2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=（ ）
A．4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3
2. A．
（2010全国卷1理数）(1)复数
(A)i (B) (C)12-13 (D) 12+13
（2010山东理数）(2) 已知（a,b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=
(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3
1.（2010安徽理数）1、是虚数单位，
A、 B、 C、 D、
1.B
【解析】，选B.
【规律总结】为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数的代数运算，结合得结论.
2. （2010福建理数）
（2010重庆理数）（11）已知复数z=1+I ，则=____________.
解析：
（2010北京理数）（9）在复平面内，复数对应的点的坐标为 。
答案：（-1,1）
（2010江苏卷）2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为_________.
[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。
（2010湖北理数）1．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是
A．E B.F C.G D.H
1．【答案】D
【解析】观察图形可知,则，即对应点H（2，－1），故D正确.
【2009年高考试题】
21．( 2009·天津理1) i是虚数单位，=
（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i
考点定位本小考查复数的运算，基础题。
解析：，故选择D。
23．( 2009·浙江文理3)设（是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
答案：D 命题意图本小题主要考查了复数的运算和复数的概念，以复数的运算为载体，直接考查了对于复数概念和性质的理解程度．
解析对于
24．( 2009·山东文理2)复数等于（ ）．
A． B． C． D．
26．( 2009·辽宁理2)已知复数，那么=
28． (2009·广东理2) 设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，
A． 8 B． 6 C． 4 D． 2
解析，则最小正整数为4，选C．
31． (2009·福建理13) 复数的实部是 -1 。
解析 =-1-I,所以实部是-1。
32． (2009·福建理11)若（i为虚数单位， ）则_________
答案：2
解析：由，所以故。
【2008年高考试题】
3．（2008·山东）设z的共轭复数是，或z+=4,z·＝8，则等于
（A）1 （B）-i (C)±1 (D) ±i
4．（2008·广东）已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析，而，即，
答案：C
【2007年高考试题】
1．(2007·广东) ．若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=
(A) 2 (B) (C) - (D) -2
解：(1+bi)(2+i)=2-b+(1+2b)i，而复数(1+bi)(2+i)是纯虚数，那么由2-b=0
且1+2b≠0得b=2，故选A。
【2006高考试题】
一、选择题（共11题）
2．（北京卷）在复平面内，复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
解：故选D
3．（福建卷）设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是
A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0
4．（广东卷）若复数满足方程，则
A. B. C. D.
解析：由，故选D.
5．（江西卷）已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则z＝（ ）
A． B. C. D.
解：故选D。
6．（全国卷I）如果复数是实数，则实数
A． B． C． D．
解析：复数=(m2－m)+(1+m3)i是实数，∴ 1+m3=0，m=－1，选B.
8．(陕西卷)复数等于( )
A.1－i B.1+i C.－1+ i D.－1－i
解析: 复数=，选C．
11．（浙江卷）已知
(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i
【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。
解析：，由、是实数，得
∴，故选择C。
二、填空题（共4题）
12．（湖北卷）设为实数，且，则 。
解：，
而 所以，解得x＝－1，y＝5，
所以x＋y＝4。
13．(上海卷)若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ ．
解：已知；
14．(上海卷)若复数满足（为虚数单位），其中则。
【2005高考试题】
1（广东卷）若，其中、，使虚数单位，则(D)
（Ａ）０（Ｂ）２（Ｃ）（Ｄ）５
2.（北京卷）若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为 ．
3. （福建卷）复数的共轭复数是 （ B ）
A． B． C． D．
4. （湖北卷） （ C ）
A． B． C． D．
5. （湖南卷）复数z＝i＋i2＋i3＋i4的值是 （B）
A．－1 B．0 C．1 D．i
6. （辽宁卷）复数在复平面内，z所对应的点在 （B ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7. (全国卷II) 设、、、，若为实数，则 ( A)
(A) (B) (C) (D)
8. (全国卷III) 已知复数.
9. （山东卷）（1） （ D ）
（A） （B） （C）1 （D）
10. （天津卷）2．若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为 （ C ）
A．－2 B．4 C．－6 D．6
11. （浙江卷）在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( B )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限
12. (重庆卷) （ A ）
A． B．－ C． D．－
13. （江西卷）设复数：为实数，则x=（ A）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
14.（上海）在复数范围内解方程(i为虚数单位)
【2004高考试题】
1.（北京）当时，复数在复平面上对应的点位于（ D ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．（上海）若复数满足，则的实部是 1 。
3．（湖北）复数的值是 （ A ）
A．－16 B．16 C． D．
4．（湖南）复数的值是 （ D ）
A． B．－ C．4 D．－4
【2003高考试题】
※3.（2002京皖春，4）如果θ∈（，π），那么复数（1＋i）（cosθ＋isinθ）的辐角的主值是（ ）
A.θ＋ B.θ＋ C.θ D.θ＋
4．（2002全国，2）复数（i）3的值是（ ）
A. －i B.i C.－1 D.1
5.（2002上海，13）如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）
※6.（2001全国文，5）已知复数ｚ＝，则arg是（ ）
A. B. C. D.
※9.（2000上海理，13）复数z＝（i是虚数单位）的三角形式是（ ）
A.3［cos（）＋isin（）］ B.3（cos＋isin）
C.3（cos＋isin） D.3（cos＋isin）
10.（2000京皖春，1）复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
※12.（1998全国，8）复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（ ）
A. B.
C.± D.±
13.（1996全国，4）复数等于（ ）
A.1+i B.－1+i
C.1－i D.－1－i
14.（1994上海，16）设复数z=－i（i为虚数单位），则满足等式zn=z且大于1的正整数n中最小的是（ ）
A.3 B.4 C.6 D.7
15.（1994全国，9）如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2，那么|z+i+1|的最小值是（ ）
A.1 B. C.2 D.
二、填空题
16.（2003上海春，6）已知z为复数，则z+＞2的一个充要条件是z满足 .
17.（2002京皖春，16）对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i（x1、y1、x2、y2为实数），定义运算“⊙”为：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2．设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为P1、P2，点O为坐标原点．如果w1⊙w2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为 ．
18.（2002上海，1）若z∈C，且（3＋z）i＝1（i为虚数单位），则z＝ ．
19.（2001上海春，2）若复数z满足方程i=i－1（i是虚数单位），则z=_____.
20.（1997上海理，9）已知a=（i是虚数单位），那么a4=_____.
21.（1995上海，20）复数z满足（1+2i）=4+3i，那么z=_____.
三、解答题
26.（2001上海理，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝z2n－1，n∈N｝．
（Ⅰ）设α是方程x＋的一个根，试用列举法表示集合Mα；
（Ⅱ）设复数ω∈Mz，求证：MωMz．
27.（2001上海文，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝zn，n∈N｝．
（Ⅰ）设z是方程x+=0的一个根，试用列举法表示集合Mz．若在Mz中任取两个数，求其和为零的概率P；
（Ⅱ）若集合Mz中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由．
28.（2000上海春，18）设复数z满足|z|＝5，且（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|z－m|＝5（m∈R），求z和m的值.
※30.（1999全国理，20）设复数z＝3cosθ＋i·2sinθ.求函数y＝θ－argz（0＜θ＜）的最大值以及对应的θ值.
※31.（1999上海理，19）已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实数根b，且z=a+bi，求复数（1－ci）（c＞0）的辐角主值的取值范围.
※32.（1999上海文，19）设复数z满足4z+2=3+i，ω=sinθ－icosθ（θ∈R）.求z的值和|z－ω|的取值范围.
※33.（1998上海文，18）已知复数z1满足（z1－2）i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求复数z2的模.
※34.（1998上海理，18）已知向量所表示的复数z满足（z－2）i=1+i，将绕原点O按顺时针方向旋转得，设所表示的复数为z′，求复数z′+i的辐角主值.
※35.（1997全国文，20）已知复数z=i，w=i，求复数zw+zw3的模及辐角主值.
38.（1996上海理，22）设z是虚数，w=z+是实数，且－1＜ω＜2.
（Ⅰ）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（Ⅱ）设u=，求证：u为纯虚数；
（Ⅲ）求w－u2的最小值.
39.（1995上海，22）已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|＝1，且z1+z2=i.求z1、z2的值.
※40.（1995全国文，22）设复数z=cosθ+isinθ，θ∈（π，2π）.求复数z2+z的模和辐角.
※41.（1995全国理，21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数z2=1+i，求Z1和Z3对应的复数.
※42.（1994全国理，21）已知z=1+i，
（Ⅰ）设w=z2+3－4，求w的三角形式.
（Ⅱ）如果=1－i，求实数a，b的值.
43.（1994上海，22）设w为复数，它的辐角主值为π，且为实数，求复数w.
●答案解析
2.答案：A
解析：由已知z=［（m－4）－2（m+1）i］在复平面对应点如果在第一象限，则而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.
3.答案：B
解析：（1＋i）（cosθ＋isinθ）＝（cos＋isin）（cosθ＋isinθ）
＝［cos（θ＋）＋isin（θ＋）］
∵θ∈（，π） ∴θ＋∈（，）
∴该复数的辐角主值是θ＋．
6.答案：D
解法一：
解法二： ∴
∴应在第四象限，tanθ＝，θ＝arg．
∴arg是π．
8.答案：B
解析：根据复数乘法的几何意义，所求复数是
．
9.答案：C
解法一：采用观察排除法.复数对应点在第二象限，而选项A、B中复数对应点在第一象限，所以可排除.而选项D不是复数的三角形式，也可排除，所以选C.
解法二：把复数直接化为复数的三角形式，即
12.答案：D
解法一：∵－i=cos+isin
∴－i的三个立方根是cos（k=0，1，2）
当k=0时，；
当k=1时，；
当k=2时，.
13.答案：B
解法一：，
故（2+2i）4=26（cosπ+isinπ）=－26，1－，
故.
于是,
所以选B.
解法二：原式=
∴应选B
14.答案：B
解析：z=－i是z3=1的一个根，记z=ω，ω4=ω，故选B.
17.答案：
解析：设
∵w1⊙w2＝0 ∴由定义x1x2＋y1y2＝0
∴OP1⊥OP2 ∴∠P1OP2＝．
21.答案：2+i
解析：由已知，
故z=2+i.
22.解法一：设z＝a＋bi（a，b∈R），则（1＋3i）z＝a－3b＋（3a＋b）i．
由题意，得a＝3b≠0．
∵|ω|＝，
∴|z|＝．
将a＝3b代入，解得a＝±15，b＝±15．
故ω＝±＝±（7－i）．
解法二：由题意，设（1＋3i）z＝ki，k≠0且k∈R，
则ω＝．
∵|ω|＝5，∴k＝±50．
故ω＝±（7－i）．
23.解：∵z＝1＋i，
∴az＋2b＝（a＋2b）＋（a－2b）i，
（a＋2z）2＝（a＋2）2－4＋4（a＋2）i＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i，
因为a，b都是实数，所以由az＋2b＝（a＋2z）2得
两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0，
解得a1＝－2，a2＝－4，
对应得b1＝－1，b2＝2．
所以，所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2．
（Ⅱ）z7＝1，z＝cosα＋isinα
∴z7＝cos7α＋isin7α＝1，7α＝2kπ
z＋z2＋z4＝－1－z3－z5－z6
＝－1－［cos（2kπ－4α）＋isin（2kπ－4α）＋cos（2kπ－2α）＋isin（2kπ－
2α）＋cos（2kπ－α）＋isin（2kπ－α）］
＝－1－（cos4α－isin4α＋cos2α－isin2α＋cosα－isinα）
∴2（cosα＋cos2α＋cos4α）＝－1，
cosα＋cos2α＋cos4α＝－
解法二：z2·z5＝1，z2＝
同理z3＝，z＝
∴z＋z2＋z4＝－1－－－
∴z＋＋＋z＋＋z＝－1
∴cos2α＋cosα＋cos4α＝
解法二：|z|＝1可看成z为半径为1，圆心为（0，0）的圆.
而z1可看成在坐标系中的点（2，－2）
∴|z－z1|的最大值可以看成点（2，－2）到圆上的点距离最大.由图12—2可知：|z－z1|max＝2＋1
26.（Ⅰ）解：∵α是方程x2－x＋1＝0的根
∴α1＝（1＋i）或α2＝（1－i）
当α1＝（1＋i）时，∵α12＝i，α12n－1＝
∴
当α2＝（1－i）时，∵α22＝－i
∴
∴Mα＝｝
28.解：设z＝x＋yi（x、y∈R），
∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25，
而（3＋4i）z＝（3＋4i）（x＋yi）＝（3x－4y）＋（4x＋3y）i，
又∵（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，
∴3x－4y＋4x＋3y＝0，得y＝7x
∴x＝±，y＝±
即z＝±（＋i）；z＝±（1＋7i）．
当z＝1＋7i时，有|1＋7i－m|＝5，
即（1－m）2＋72＝50，
得m=0，m=2.
当z＝－（1＋7i）时，同理可得m＝0，m＝－2．
解：∵该直线上的任一点P（x，y），其经变换后得到的点Q（x＋y，x－y）仍在该直线上，
∴x－y＝k（x＋y）＋b，
即－（k＋1）y＝（k－）x＋b，
30.解：由0＜θ＜得tanθ＞0．
由z＝3cosθ＋i·2sinθ，得0＜argz＜及tan（argz）＝tanθ
故tany＝tan（θ－argz）＝
∵＋2tanθ≥2
∴≤
当且仅当＝2tanθ（0＜θ＜）时，
即tanθ＝时，上式取等号.
所以当θ＝arctan时，函数tany取最大值
由y＝θ－argz得y∈（）．
由于在（）内正切函数是递增函数，函数y也取最大值arctan．
评述：本题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.明考复数实为三角.语言简练、情景新颖，对提高考生的数学素质要求是今后的命题方向.
∴复数（1－ci）的辐角主值在［0，
范围内，有arg［（1－ci）］＝arctan＝arctan（－1），
∵0＜c≤1，∴0≤－1＜1，
有0≤arctan（－1）＜，
∴0≤arg［（1－ci）］＜．
32.解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a－bi，代入4z+2=3+i
得4（a+bi）+2（a－bi）=3+i.
∴.∴z=i.
|z－ω|=|i－（sinθ－icosθ）|
=
∵－1≤sin（θ－）≤1，∴0≤2－2sin（θ－）≤4.
∴0≤|z－ω|≤2.
评述：本题考查了复数、共轭复数的概念，两复数相等的充要条件、复数的模、复数模的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力.
34.解：由（z－2）i=1+i得z=+2=3－i
∴z′=z［cos（－）+isin（－）］=（3－i）（i）=－2i
z′+i=－i=2（i）=2（cosπ+isinπ）
∴arg（z1+i）=π
评述：本题考查复数乘法的几何意义和复数辐角主值的概念.
35.解法一：zw+zw3=zw（1+w2）=（i）（i）（1+i）
=（1+i）2（i）=
故复数zw+zw3的模为，辐角主值为.
解法二：w=i=cos+isin
zw+zw3=z（w+w3）=z［（cos+isin）+（cos+isin）3］
=z［（cos+isin）+（cos+isin）］=z（）
=
故复数zw+zw3的模为，辐角主值为π.
评述：本题主要考查复数的有关概念及复数的基本运算能力.
又因为|OP|=||=1，|OQ|=|z2ω3|=|z|2|ω|3=1
∴|OP|=|OQ|.
由此知△OPQ为等腰直角三角形.
证法二：∵z=cos（－）+isin（－）.
∴z3=－i
又ω=.
∴ω4=－1
于是
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|
故△OPQ为等腰直角三角形.
（2）由z1=1+mi（m＞0），z12=z2得z2=（1－m2）+2mi
∴ω=－（1+m2）+2mi
tanθ=－
由m＞0，知m+≥2，于是－1≤tanθ≤0
又 －（m2+1）＜0，2m＞0，得π≤θ＜π
因此所求θ的取值范围为［π，π）.
38.解：（Ⅰ）设z=a+bi，a、b∈R，b≠0
则w=a+bi+
因为w是实数，b≠0，所以a2＋b2=1，
即|z|=1.
于是w=2a，－1＜w=2a＜2，－＜a＜1，
所以z的实部的取值范围是（－，1）.
（Ⅱ）.
因为a∈（－，1），b≠0，所以u为纯虚数.
39.解：由|z1＋z2|=1，得（z1+z2）（）=1，又|z1|=|z2|=1，故可得z1+z2=－1，所以z1的实部=z2的实部=－.又|z2|=1，故z2的虚部为±，
z2=－±i，z2=z1.
于是z1+z1，
所以z1=1，z2=或z1=，z2=1.
所以，或
40.解法一：z2+z=（cosθ+isinθ）2+cosθ+isinθ=cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ
=2cosθcos+i·2sincos=2cos（cosθ+isinθ）
=－2cos［cos（π+θ）+isin（π+θ）］
∵θ∈（π，2π），∴∈（，π），∴－2cos＞0
∴复数z2+z的模为－2cos，辐角为2kπ+π+θ（k∈Z）
解法二：设Z1、Ｚ3对应的复数分别是z1、z3，根据复数加法和乘法的几何意义，依题意得
∴z1＝z2（1－i）＝（1－i）（1－i）＝i
z3＝z2－z1＝（1＋i）－（i）＝i
42.解：（Ⅰ）由z=1+i，有w=（1+i）2＋3（1－i）－4=－1－i，所以w的三角形式是
（cos）
43.解：因为w为复数，argw＝，所以设w=r（cos＋isin），
则，
从而4－r2＝0，得r=2.
因此w＝2（cos＝－＋i．
1、（2012滨州二模）设z＝1＋i（i是虚数单位），则＝
（A）－1－i （B）－1+i
（C）1－i （D）1+i
3、（2012德州一模）若复数为纯虚数，则实数的值为( )
A． B．0 C．1 D．或1
4、（2012济南3月模拟）复数的虚部是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，所以虚部为，选B.
5、（2012济南三模）是虚数单位，能使得成立的成立的最小正整数是
答案：3
解析：由，得，所以，即,所以最小的正整数为3。
6、（2012临沂3月模拟）复数
（A） （B） （C） （D）
7、（2012临沂二模）若纯虚数满足，（是虚数单位，是实数），则
（A）8 （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】因为是纯虚数，所以设，则，即，根据复数相等，得，所以，选B.
8、（2012青岛二模）. 设复数(其中为虚数单位)，则的虚部为
A． B． C． D．
9、（2012青岛3月模拟）已知复数满足,为虚数单位,则复数 .
答案：
【解析】
10、（2012日照5月模拟）已知i为虚数单位，复数，则复数z的虚部是
（A） （2） （C) (D）
答案：D
【解析】，复数的虚部是.选D。
11、（2012泰安一模）已知是虚数单位，则等于
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，选A.
12、（2012威海二模）复数的共轭复数为
A. B. C. D.
13、（2012烟台二模）已知复数，若在复平面上对应的点在虚轴上，则a的值是
A. B. C.2 D.
【江西省泰和中学2012届高三模拟】复数的实部为
（ ）A．i B．-I C．1 D．-1
【答案】C
【解析】因为，所以实部为1．
【2012唐山市高三模拟统一考试理】复数= （ ）
A．2i B．-2i C．2 D．-2
【答案】 A
【解析】本题主要考查复数的四则运算. 属于基础知识、基本运算的考查.
错误！不能通过编辑域代码创建对象。
【2012江西师大附中高三模拟】设复数错误！不能通过编辑域代码创建对象。，错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则错误！不能通过编辑域代码创建对象。在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【2012三明市普通高中高三上学期联考理】已知是虚数单位，则
A． B． C． D．
【2012黄冈市高三模拟考试理】复数（i是虚数单位）的虚部是（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】 C
【解析】本题主要考查复数的四则运算运算以及虚部的概念. 属于基础知识、基本运算的考查.
错误！不能通过编辑域代码创建对象。，虚部是
【2012金华十校高三模拟联考理】复数错误！不能通过编辑域代码创建对象。（错误！不能通过编辑域代码创建对象。是虚数单位）是实数，则x的值为 （ ）
A．3 B．-3 C．0 D．错误！不能通过编辑域代码创建对象。
【答案】 B
【解析】本题主要考查复数的概念与复数的四则运算. 属于基础知识、基本运算的考查.
错误！不能通过编辑域代码创建对象。是实数，
∴错误！不能通过编辑域代码创建对象。
【2012武昌区高三年级调研理】复数的共轭复数为 （ ）
A． B． C． D．
【2012武昌区高三年级调研理】执行右边的程序框图，那么输出的S的值是 （ ）
A．2 450 B．2 550 C．5 050 D．4 900
【答案】A
【解析】本题主要考查算法框图的识图，属于基础知识、基本能力的考查.
从框图可以看出，它是要求输出98以内偶数的和，
错误！不能通过编辑域代码创建对象。
【2012年西安市高三年级质检理】复数的实部是
A.-1 B. 1 C.O D. -2
【2012宁德质检理】已知复数错误！不能通过编辑域代码创建对象。（其中i为虚数单位）在复平面上对应的点M在直线错误！不能通过编辑域代码创建对象。上，其中错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则错误！不能通过编辑域代码创建对象。的最小值为 。
【2012韶关第一次调研理】在复平面内，复数对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】错误！不能通过编辑域代码创建对象。，实部为正，虚部为负，所以复数对应的点位于第四象限。
【2012错误！不能通过编辑域代码创建对象。深圳中学模拟理】已知复数错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则错误！不能通过编辑域代码创建对象。在复平面内所对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【2012错误！不能通过编辑域代码创建对象。黑龙江绥化市一模理】已知复数错误！不能通过编辑域代码创建对象。，(错误！不能通过编辑域代码创建对象。),则“错误！不能通过编辑域代码创建对象。”是“错误！不能通过编辑域代码创建对象。为纯虚数”
的（ ）
A．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
【答案】A
【解析】若错误！不能通过编辑域代码创建对象。则错误！不能通过编辑域代码创建对象。为纯虚数；若错误！不能通过编辑域代码创建对象。为纯虚数，则错误！不能通过编辑域代码创建对象。。所以“错误！不能通过编辑域代码创建对象。”是“错误！不能通过编辑域代码创建对象。为纯虚数”的充分非必要条件
【2012 浙江瑞安模拟质检理】设复数错误！不能通过编辑域代码创建对象。满足错误！不能通过编辑域代码创建对象。，则错误！不能通过编辑域代码创建对象。= .
【答案】错误！不能通过编辑域代码创建对象。
【解析】错误！不能通过编辑域代码创建对象。，错误！不能通过编辑域代码创建对象。
【2012延吉市质检理】设，（是虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【2012浙江宁波市模拟理】已知i为虚数单位，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】错误！不能通过编辑域代码创建对象。，选D。
【2012安徽省合肥市质检理】复数（i为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A．1-i B．1+i C． D．
.
【2012吉林市模拟质检理】是虚数单位，若复数为纯虚
数，则实数m的值为 .
【答案】-1
【解析】由题可得错误！不能通过编辑域代码创建对象。，解得错误！不能通过编辑域代码创建对象。。
【2012江西南昌市调研理】集合M={4,-3m+(m-3)i} (其中i为虚数单位)，N={-9, 3},若M∩N≠ ,则实数m的值为 （ ）
A．-1 B．-3 C．3或-3 D．3
【2012广东佛山市质检理】已知是虚数单位，、，且，则
A． B． C． D．
【2012河南郑州市质检理】如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（ ）
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】，由题，解得。
【2012北京海淀区模拟理】复数错误！不能通过编辑域代码创建对象。
（A）错误！不能通过编辑域代码创建对象。 （B）错误！不能通过编辑域代码创建对象。 （C）错误！不能通过编辑域代码创建对象。 （D）错误！不能通过编辑域代码创建对象。
【答案】B
【解析】错误！不能通过编辑域代码创建对象。，选B。下载本文
