数    学（理工农医类）（北京卷）

    本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题  共40分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数对应的点位于                              （   ）

（A）第一象限     （B）第二象限    （C）第三象限      （D）第四象限

（2）若与都是非零向量，则“”是“”的     （   ）

     （A）充分而不必要条件              （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件                  （D）既不充分也不必要条件

（3）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有

                                                                     （   ）

     （A）36个         （B）24个       （C）18个           （D）6个     

（4）平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是                                                  （   ）

    （A）一条直线                      （B）一个圆     

 （C）一个椭圆                      （D）双曲线的一支

（5）已知是上的减函数，那么的取值范围是（  ）

    （A）                           （B）          

（C）                           （D）

（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有                          （    ）

    （A）     （B）   （C）    （D）

（7）设，则等于        （    ）

    （A）     （B）   （C）    （D）

（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过             路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50 

（A）                  （B）

（C）                 （D）

第Ⅱ卷（共110分）

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

（9）的值等于__________________.

（10）在的展开式中，的系数中__________________（用数字作答）.

（11）若三点共线，则的值等于_________________.

（12）在中，若，则的大小是______________.

（13）已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于_______,最大值等于____________.

（14）已知三点在球心为，半径为的球面上，，且，那么两点的球面距离为_______________，球心到平面的距离为______________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（15）（本小题共12分）

        已知函数，

    （Ⅰ）求的定义域；

    （Ⅱ）设是第四象限的角，且，求的值.

（16）（本小题共13分）

        已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）的值.

（17）（本小题共14分）

    如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小.

（18）（本小题共13分）

        某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.

        方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

        方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

        假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.

    （Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；

    （Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）

（19）（本小题共14分）

已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.

    （Ⅰ）求的方程；

    （Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.

（20）（本小题共14分）

在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.

（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；

（Ⅱ）若“绝对差数列”中，，数列满足，，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；

（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

参

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）D　（2）C　（3）B　（4）A  （5）C　（6）A　（7）D　（8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）　（10）－14  （1）　（12）  （13）　　（14）　

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共12分）

解：（Ⅰ）由cosx≠0得故f(x)的定义域为

（Ⅱ）因为，且a是第四象限的角。

所以， 

故

（16）（共13分）

解法一：

（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上，在（1，2）上，

在（2，＋∞）上

故在（－∞，1），（2，＋∞）上递增，在（1，2）上递减。

因此在x=1处取得极大值，所以。

（Ⅱ）

由

得

解得a=2，b= -9，c=12

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）设

又

所以

由

即

得m=6

所以a=2，b= -9，c=12

（17）（共14分）

解法一：

（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD

∴AB是PB在平面ABCD上的射影

又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，

∴AC⊥PB

（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO。

∵ABCD是平等四边形，

∴O是BD的中点，

又E是PD的中点，

∴EO∥PB

又PB平面AEC，EO平面AEC，

∴PB∥平面AEC。

（Ⅲ）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为

又

∴

∴OE⊥AC，OG⊥AC

∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角。

∵

∴

∴二面角的大小为

（18）（共13分）

解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，

则

（Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率

应聘者用方案二考试通过的概率

（Ⅱ）因为所以

即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大。

（19）（共14分）

解法一：

（Ⅰ）由知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长

又半焦距c=2，故虚半轴长

所以W的方程为

（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（），（）

当

当AB与x 轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，与W的方程联立，消去y得：

故

所以

又因为

综上，当取得最小值2。

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）设A，B的坐标分别为，则

令

则，所以

当且仅当时，“=”成立

所以的最小值是2。

（20）（共14分）

（Ⅰ）解： 

（答案不惟一）

（Ⅱ）解：因为绝对差数列，所以自第20项开始，该数列是。

即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，所以当时，an的极限不存在。

当

（Ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项，证明如下：

假设中没有零项，由于，所以对于任意的n，都有，从而当

；

当

即的值要么比至少小1，那么比至少小1。

令

则

由于c1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项c1<0，这与cn>0（n=1,2,3,…）矛盾，从而必有零项。

若第一次出现的零项为第n项，记，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A即

所以绝对差数列中有无穷多个零的项。下载本文