时量：120分钟  分值：150分

参考公式：球的表面积，球的体积， 圆锥侧面积

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1.（集合的运算）集合，，则（    ）

    A．         B．           C．          D． 

2.（函数的概念）下列四个函数中，与表示同一函数的是（    ）

A.      B.                 C.           D. 

3.（直线的截距）直线在轴上的截距为，则（    ）

A.     B.     C.    D. 

4.（函数的单调性）下列函数中,在区间上是增函数的是（    ）

A．        B．        C．         D． 

5.（直线平行）已知直线和直线，它们的交点坐标是（    ）

A．（0，1）           B．（1，0）           C．（-1，0）         D．（-2，-1）

6.（函数的图像）当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（    ）

(A)    (B)                (C)                (D) 

7.（异面直线所成的角）在右图的正方体中，分别为棱和棱的中点，则异面直线和所成的角为（    ）            

    A．    B．         C．    D． 

8.（函数的零点）已知函数的图像是连续不断的，有如下，对应值表：

A． 2个        B. 3个         C .4个            D.  5个

9.（球的体积与表面积）已知正方体的内切球（球与正方体的六个面都相切）的体积是，那么球的表面积等于（    ）

     A．         B.         C.           D. 

10.（函数的奇偶性和单调性）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ）

A．        B． 

C．        D． 

11.（指对数的综合）三个数的大小关系为（ ）

A. B. 

C． D. 

12.(函数综合) 对于函数定义域中任意的有如下结论

①        ②  

③               ④  

 当时,上述结论中正确的序号是（    ）

A. ①②           B. ②④          C. ①③         D. ③④

二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．请将答案填在答题卡相应位置.

13．（圆的标准方程）已知圆的方程为，则圆心坐标为         ，半径为    2       .

14.（三视图）如果一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是           

15.（直线的斜率）直线的斜率是                  

16.（幂函数）幂函数的图象过点，则______

17.（定义域）函数的定义域为             . 

18.（分段函数与解不等式）已知函数则的值                ． 

19.（函数的奇偶性）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么时，       . 

20.（立体几何的综合）

已知两条不同直线、，两个不同平面、，给出下列命题：

①若垂直于内的两条相交直线，则⊥；

②若∥，则平行于内的所有直线；

③若， 且∥，则∥； 

④若，，则⊥；

其中正确命题的序号是    ①④       ．（把你认为正确命题的序号都填上）

三、解答题:本题共有5个小题，8分+10分+10分+10分+12分=50分．

21.(指数与对数的运算)（本题满分8分）计算：

(1)；  (2) 

解：（1）原式=…………（4分）

（2）原式=…………………………（8分）

22. (直线方程) （本题满分10分）已知三个顶点是，， 

(1)求边上的垂直平分线的直线方程；（7分）

（2）求点到边所在直线的距离．（3分）

解：（1）， 

       ，………（2分）

         则所求直线的斜率为：………………………………………（4分）

又的中点的坐标为，所以边的上的中垂线所在的直线方程为：

………………………………………………………………………………（7分）

            （2）直线的方程为： 

          则点到直线：的距离为： ……………（10分）

23.在三棱柱中，侧棱垂直于底面， 

(1) 求证：；     (2) 求证：；    （3）求三棱锥的体积. 

解：（1）证明：

∵，…………（2分）

…

∴……………（3分）

（2）证明：在直三棱柱中……………………………（4分）

  ……………………………（5分）

……………………………………………（6分）

……………………………………………………（7分）

（3）…………………………………………………（8分）

……………………………………（10分）

24. (函数与单调性) （本小题满分10分）

右图是一个二次函数的图象.

   (1)写出这个二次函数的零点；

(2)求这个二次函数的解析式；

(3)当实数在何范围内变化时，在区间上是单调函数．

解：（1）由图可知二次函数的零点为………………（2分）

（2）设二次函数为,点在函数上，    

解得

所以………………………………………………（6分）   （3），开口向下，对称轴为

        当，即时，在上递减………………………………（8分）

当， 即时，在上递增  

综上所述或…………………………………………………………………（10分）

         注：第(1)小题中若零点写为，，扣1分。

25. (函数的奇偶性) （本小题满分12分）

已知。

  （1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并予以证明；

（3）求使的的取值范围。

解：(1)…………………………………………………………………（2分）

所以函数的定义域为………………………………………………………（3分）

    (2) 任意取，则……………………………………………………（4分）

即…………………………………………………………………（6分）

所以函数是奇函数．…………………………………………………………………（7分）

(3) 由，可得，即

…………………………………………………………（9分）

……………………………………………………（11分）

所以，………………………………………（12分）

附加题:

26．从点处发出一条光线，与直线相遇于点后反射，反射光线恰与圆相切，求线段的长．

解： 设点关于直线对称的点为

则，解得………………………（3分）

据物理学知识可知反射光线的反向延长线必过，……（4分）

所以设直线的方程为： …………………………………………………………（5分）

则圆心到直线的距离…………………………………………………………（7分）

解得或(根据题意要舍去) ……………………………………………（8分）

联立直线方程，解得，

即的坐标为………………………………………………………………（9分）

……………………………（10分）

27.已知四面体的条棱的长为，条棱的长为，求它的体积。

解： 根据分析可知满足题目条件的四面体有两种情况，也就是棱长为的棱共面和异面

（1）当棱长为的棱异面时，四面体的图形如右图

……………………………………………………（2分）

经过计算，，………………………………………（4分）

，所以三角形并不存在，即这种情况的三棱锥也不存在………………（5分）

（2）当棱长为的棱共面时，四面体的图形如右图

……………………………………………………（7分）

……………………………………………………（9分）

………………………………………………………（10分）

28．设函数的定义域关于原点对称，对定义域内任意的存在和，使，且满足：

（1）；

（2）当时， 

请回答下列问题：（1）判断函数的奇偶性并给出理由；（2）判断在上的单调性并给出理由．

解：（1）函数在定义域内是奇函数………………………………………………………（1分）

因为在定义域内，对任意存在和，使，且满足：；

由于函数的定义域关于原点对称，必与同时在定义域内，…（2分）

同样存在存在和，使，且满足：，……（3分）

即

 ………………………………………………………………………………………………（4分）

函数在定义域内是奇函数. ……………………………………………………………………………（5分）

（2）函数在上是单调递增函数……………………………………………………………………（6分）

任意取，且，则

函数在定义域内是奇函数，且当时，，

，，…………………………………………………（7分）

又

……………………………………………………………………………………………（9分）

函数在上是单调递增的……………………………………………………………………（10分）下载本文