一、选择题

1．棱锥至少由多少个面围成(　　)

A．3　　　　

B．4　　　　

C．5　　　　

D．6

[答案]　B

[解析]　三棱锥有四个面围成，通常称为四面体，它是面数最少的棱锥．

2．四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别是1、2，侧棱长为，则该四棱台的高为(　　)

A.　　　

B.　　　

C.　　　

D. 

[答案]　A

[解析]　如图所示，由题意知，四棱台ABCD－A1B1C1D1为正四棱台，

设O1、O分别为上、下底面的中心，连结OO1、OA、O1A1，过点A1作A1E⊥OA，E为垂足，则A1E的长等于正四棱台的高，

又OA＝，O1A1＝，

∴AE＝OA－O1A1＝，

在Rt△A1EA中，AA1＝，AE＝，

∴A1E＝＝＝.

3．过正棱台两底面中心的截面一定是(　　)

A．直角梯形  

B．等腰梯形

C．一般梯形或等腰梯形  

D．矩形

[答案]　C

[解析]　过正棱台两底面中心的截面与两底面的交线一定平行且不相等．当截面过侧棱时，截面是一般梯形；当截面不过侧棱时，由对称性，截面与两侧面的交线一定相等，所以截面是等腰梯形．故选C.

4．一个正三棱锥的底面边长为3，高为，则它的侧棱长为(　　)

A．2  

B．2  

C．3  

D．4

[答案]　C

[解析]　如图所示，正三棱锥S－ABC中，

O为底面△ABC的中心，SO为正三棱锥的高，SO＝，

AB＝3，∴OA＝，

在Rt△SOA中，SA＝＝＝3.

5．棱台的上、下底面面积分别为4和16，则中截面面积为(　　)

A．6  B．8  C．9  D．10

[答案]　C

[解析]　设中截面的面积为S，则

S＝＝9.

6．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是(　　)

A．三棱锥  B．四棱锥  C．五棱锥  D．六棱锥

[答案]　D

[解析]　如图正六棱锥中，O是正六边形ABCDEF的中心，OC＝OD＝CD，而SD>OD，∴SD>CD.

7．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面(　　)

A．至多只能有一个是直角三角形

B．至多只能有两个是直角三角形

C．可能都是直角三角形

D．必然都是非直角三角形

[答案]　C

[解析]　如图，当直线PA与平面ABC垂直，且BC与平面PAB垂直时，∠PAC，∠PAB，∠PBC都是直角．

8．在侧棱长为2的正三棱锥S－ABC中，∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝40°，过A作截面AEF，则截面的最小周长为(　　)

A．2  

B．4  

C．6  

D．10

[答案]　C

[解析]　将三棱锥沿SA剪开，展开如图．连结AA′交SB于E，交SC于F，则AA′即为△AEF的最小周长．

∵SA＝SA′＝2，∠ASA′＝120°，

∴AA′＝2×2sin60°＝6，故选C.

二、填空题

9．正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2，则它的斜高为__________．

[答案]　 

[解析]　如图，∵上、下底面正三角形边长分别1、2

∴O1E1＝，OE＝，又OO1＝2，

∴斜高E1E＝＝.

10．正四棱锥S－ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面，则截面面积为__________．

[答案]　 a2

[解析]　截面三角形三边长分别为a、a、a，为等腰直角三角形．∴面积S＝a2.

11．正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，对角线长为9，则棱台的斜高等于__________．

[答案]　 

[解析]　如图，BDD1B1是等腰梯形，B1D1＝5，BD＝7，BD1＝9，∴OO1＝＝3，

又O1E1＝，OE＝，在直角梯形OEE1O1中，

斜高E1E＝＝.

12．一个正三棱锥P－ABC的底面边长和高都是4，E、F分别为BC、PA的中点，则EF的长为__________．

[答案]　2

[解析]　如图在正△ABC中，AE＝2，

在正△PBC中，PE＝2，

在△PAE中，AE＝PE＝2，PA＝4，F为PA中点，∴EF⊥PA，∴EF＝＝2.

三、解答题

13．如图中的晶体结构可看作由哪些简单几何体构成？

[解析]　图(1)可看作由2个四棱锥构成；图(2)可看作由四棱柱构成．

14．已知正四棱锥P－ABCD中，底面积为36，一条侧棱长为，求它的高和斜高．

[解析]　如图，设PO为四棱锥的高，E为BC中点，则PE⊥BC，PE为斜高，正方形ABCD的面积为36，

∴边长AB＝6，∴OE＝3，OB＝3，

∴PO＝＝4，PE＝＝5，

∴高为4，斜高为5.

15．正四棱台的体对角线是5cm，高是3cm，求它的两条相对侧棱所确定的截面的面积．

[解析]　如图所示，过D1作D1E⊥BD于E，则D1E＝3cm.

∵对角线BD1＝5cm，

∴在Rt△BD1E中，BE＝4cm.

设棱台上、下底面的边长分别为a、b，

则BD＝b，B1D1＝a.

又∵四边形BDD1B1为等腰梯形，

且DE＝(b－a)＝BD－BE＝b－4，

∴(a＋b)＝8.

∴SBDD1B1＝(B1D1＋BD)·D1E

＝×(a＋b)×3＝12(cm2)．

16．如图在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两交角都是30°，在一条棱上取A、B两点，OA＝4 cm，OB＝3 cm，以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A、B两点间的最短绳长．

[解析]　作出三棱锥的侧面展开图，如图A、B两点间最短绳长就是线段AB的长度．

在△AOB中，∠AOB＝30°×3＝90°，

OA＝4 cm，OB＝3 cm，

所以AB＝＝5 cm.

所以此绳在A、B两点间的最短绳长为5 cm.

17．如图，正三棱台ABC－A1B1C1中，已知AB＝10，棱台一个侧面梯形的面积为，O1、O分别为上、下底面正三角形中心，D1D为棱台的斜高，∠D1DA＝60°.求上底面的边长．

[解析]　由AB＝10，

则AD＝AB＝5，

OD＝AD＝.

设上底面边长为x，则O1D1＝x.

过D1作D1H⊥AD于H，

则DH＝OD－OH＝OD－O1D1＝－x，

在△D1DH中，D1D＝＝2，

∴在梯形B1C1CB中，S＝(B1C1＋BC)·D1D，

∴＝(x＋10)·2，

∴40＝(x＋10)(10－x)．∴x＝2，

∴上底面的边长为2.下载本文