数学试题(文科)

(考试时间：120分钟   满分：150分)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设复数(其中为虚数单位)，则=

A.     B. 3    C. 5    D. 

【答案】A

【解析】

分析：化简复数，利用复数模的公式求解即可.

详解：因为，

所以=，故选A.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

2.已知集合，，则

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】

分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，求出集合的补集，解方程化简集合，利用集合交集的定义进行计算即可.

详解：因为或，

所以

又因为，

所以 ，故选C.

点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.

3.已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是

A. -1，3    B. ，3    C. -1，，3    D. ，，3

【答案】B

【解析】

分析：分别研究五个幂函数的奇偶性与单调性，从而可得结果.

详解：因为在上单调递增，所以，排除选项；

当时，为非奇非偶函数，不满足条件，排除，

故选B.

点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.

4.若正项等比数列满足，则其公比为

A.     B. 2或-1    C. 2    D. -1

【答案】C

【解析】

分析：设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得，即，可解得的值，根据正项数列，排除不合题意的公比即可.

详解：根据题意，设等比数列的公比为，

若，则有，

即，

解可得或，

由数列为正项等比数列，可得，故选C.

点睛：本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

5.运行如图所示的程序框图，则输出的等于

A.     B.     C. 3    D. 1

【答案】B

【解析】

分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.

详解：当时，满足进行循环的条件，故；

当时，满足进行循环的条件，故；

当时，满足进行循环的条件，故；

当时，不满足进行循环的条件，退出循环，

输出，故选B.

点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

6.若为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件

C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

分析：根据线面平行的性质以及线面垂直的性质可得充分性成立，由可能可得必要性不成立.

详解：由且能推出，充分性成立；

若且，则或者，必要性不成立，

因此“”是“”的充分不必要条件，故选A.

点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

7.右图是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的值：随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为个，落在圆内的豆子个数为个，则估计圆周率的值为

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

分析：设正六边形边长为，则内切圆的半径为，求出圆的面积和正六边形的面积，由几何概型概率公式列方程可得结果.

详解：设正六边形边长为，则内切圆的半径为， 

由几何概型概率公式可得，

，故选D. 

点睛：本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.

8.函数的图象大致为

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

【详解】分析：用排除法，根据奇偶性可排除选项；由 ，可排除选项 A，从而可得结果.

详解：因为，

所以函数是奇函数，

函数图象关于原点对称，可排除选项,

由，可排除选项，故选D.

点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

9.若的三个内角所对的边分别是，若，且，则

A. 10    B. 8    C. 7    D. 4

【答案】B

【解析】

分析：利用诱导公式、两角和与差的正弦公式将展开，结合正弦定理和余弦定理进行化简可得.

详解：,

即，

即，

由正弦定理和余弦定理得：

，

即，

即，

则，故选B.

点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及两角和与差的正弦公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

10.已知双曲线(，)的上焦点为，是双曲线虚轴的一个端点，过，的直线交双曲线的下支于点.若为的中点，且，则双曲线的方程为

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】

分析：设出以及的坐标，求出的坐标，利用在双曲线上，以及勾股定理列出方程组，求出，从而可得结果.

详解：双曲线的上焦点为是双曲线虚轴的一个端点，过的直线交双曲线的下支于点，若为的中点，且，

可得则，

由题意可得，解得，

所以双曲线的方程为，故选C.

点睛：本题主要考查待定系数求双曲线方程，属于难题.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.

11.我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为

A.     B. 40    C.     D. 

【答案】D

【解析】

分析：根据三视图，还原几何体的直观图可得，该几何体的表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，根据三视图所给数据，求出矩形与梯形的面积，求和即可.

详解：

由三视图可知，该刍童的直观图是如图所示的六面体，图中正方体棱长为， 分别是所在正方体棱的四等分点，其表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，矩形面积为，梯形的上下底分别为，梯形的高为，梯形面积为，所以该刍童的表面积为 ，故选D. 

点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.

12.若函数在区间上是非单调函数，则实数的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】

分析：函数在区间上是非单调函数，等价于在有解，即在有解，换元后，求出的范围即可.

详解： ,,

在区间上是非单调函数，

在有解，即在上有解，

即在有解，设，

在上有解，

时，分别有，

所以，即实数的取值范围是，故选A.

点睛： 本题主要考查导数的应用及数学的转化与划归思想，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中，本题中，将“不单调”转化为“方程有解”，再转化“求函数值域”，是解题的关键.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.已知，，则的值等于_________.

【答案】2

【解析】

分析： 由，可得，直接利用对数运算法则求解即可得，计算过程注意避免计算错误.

详解：由，可得，

则，故答案为.

点睛：本题主要考查指数与对数的互化以及对数的运算法则，意在考查对基本概念与基本运算掌握的熟练程度.

14.若满足约束条件，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值，

联立直线方程：，可得点的坐标为：，

据此可知目标函数的最大值为：.

15.已知，.当最小时，___________.

【答案】

【解析】

分析：由，可得,求出，可得，利用二次函数的性质可得结果.

详解：，

得，

，

，

当时，有最小值，故答案为.

点睛：本题主要考查平面向量的运算及利用二次函数求最值，属于中档题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．

16.已知数列的前项和为，且数列为等差数列.若，，则__________.

【答案】3027

【解析】

分析：由数列为等差数列，可设，化为，由，得且，联立解得，进而可得结果.

详解：数列为等差数列，可设，化为，

，

联立解得：，则，故答案为.

点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可以得到函数的图象.

(Ⅰ)求的解析式；

(Ⅱ)比较与的大小.

【答案】(1);(2).

【解析】

分析：(Ⅰ)将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，进而可得结果；(Ⅱ)利用三角函数的性质，判断出与的符号，即可得结果.

详解：(Ⅰ)将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，

再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，

即.                                    

(Ⅱ)，而.

∵，∴.         

点睛：本题考查三角函数图象变换、性质、诱导公式等基础知识，纵向伸缩或平移是对于而言，即 或；横向伸缩或平移是相对于而言，即（纵坐标不变，横坐标变为原来的倍），(时，向左平移个单位；时，向右平移个单位)．

18.2020年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：

(1)根据上表说明，能否有的把握认为，收看开幕式与性别有关？

(2)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.

(ⅰ)问男、女学生各选取多少人？

(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P.

附：，其中.

【解析】

分析：(Ⅰ)因为，所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关；(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生人，女生人；          (ⅱ)从人中，选取人的所有情况共有种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有种，由古典概型概率公式可得结果.

详解：(Ⅰ)因为，

所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关.         

(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，

男生人，女生人，

所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.           

(ⅱ)从8人中，选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种，

其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种，

所以，所求概率.      

点睛：本题主要考查频率分层抽样、古典概型概率公式以及性检验，属于中档题.

性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.

（注意：在实际问题中，性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）

19.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱的底面是梯形，，，，，，点在棱上，且.点是直线的一点，.

(Ⅰ)试确定点的位置，并说明理由；

(Ⅱ)求三棱锥的体积.

【答案】(1)见解析;(2)6.

【解析】

分析：(Ⅰ)在棱上取点，使得，可证明四边形为平行四边形，从而，过作交于，连接，则平面平面，由此得到平面即为所求，此时；(Ⅱ)利用，结合棱锥的体积公式可得结果.

详解：(Ⅰ)如图，在棱上取点，使得.

 又∵，∴.

∴四边形为平行四边形，∴.

过作交于，连结，

∴平面，平面，

∴平面即为所求，此时.             

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，平面，

∴.

点睛：本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 

20.记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆，以椭圆的焦点为顶点作相似椭圆.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点，且与椭圆仅有一个公共点，试判断的面积是否为定值(为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1);(2)6.

【解析】

分析：(Ⅰ)由相似椭圆的定义可得，椭圆的离心率，由长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，于是可得，从而可得椭圆的方程；(Ⅱ)设直线 .

由得，，利用判别式为零可得，联立与，利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得.

详解：(Ⅰ)由条件知，椭圆的离心率，且长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，

∴椭圆的方程为.                       

(Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线 .

由得，.

令得，.

联立与，化简得.

设A()，B()，则

∴，而原点O到直线的距离

∴.

当直线的斜率不存在时，或，则，原点O到直线的距离，

∴.

综上所述，的面积为定值6.                 

点睛：本题主要考查椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及椭圆的切线，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

21.已知函数(为自然对数的底数).

(Ⅰ)若函数的图象在处的切线为，当实数变化时，求证：直线经过定点；

(Ⅱ)若函数有两个极值点，求实数的取值范围.

【答案】(1)见解析. (2).

【解析】

分析：(Ⅰ)利用导数求出切线斜率，点斜式可得切线方程为直线的方程为，可得直线经过定点；(Ⅱ)分两种情况讨论的范围，函数有两个极值点等价于有两个不同的解，分别利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理与函数图象，列不等式可筛选出函数有两个极值点的实数的取值范围.

详解：(Ⅰ)∵，∴，.

又∵，∴直线的方程为，

∴直线经过定点(-2，0).                        

(Ⅱ)∵，∴.

设，则.

当时，，即在上单调递增，则最多有一个零点，函数至多有一个极值点，与条件不符；

当时，由，得.

当时，；当时，.

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，即.

令，解得.

∵，，∴，

∵在上单调递增，∴在上有唯一零点，

当时，；当时，.

∴在上有唯一极值点.

又∵当时，.

设，其中，则，

∴，∴.

即当时，，

而 ，

∵在上单调递减，∴在上有唯一零点，

当时，；当时，.

∴在上有唯一极值点.

综上所述，当有两个极值点时，.  

点睛：导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力.

请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.

22.选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，圆的方程为.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(Ⅰ)求直线及圆的极坐标方程；

(Ⅱ)若直线与圆交于两点，求的值.

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

分析：(Ⅰ)由直线的参数方程得普通方程为，利用可得直线及圆的极坐标方程；(Ⅱ)将直线：，与圆：联立得或，

不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为，且，于是.

于是，.  

详解：(Ⅰ)由直线的参数方程得，其普通方程为，

∴直线的极坐标方程为.

又∵圆的方程为，

将代入并化简得，

∴圆的极坐标方程为.       

(Ⅱ)将直线：，

与圆：联立，得，

整理得，∴.

不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为，且.

于是，.    

点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．

23.已知函数.

（1）解不等式；

（2）设的最小值为，实数，满足，，，求证：.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

分析：(Ⅰ) 对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果; (Ⅱ)由绝对值不等式性质得，，从而可得，令，利用基本不等式转化求解证明即可.

详解：(Ⅰ)，即.

(1)当时，不等式可化为.

又∵，∴；

(2)当时，不等式可化为.

又∵，∴.

(3)当时，不等式可化为.

又∵，∴.

综上所得，，或，即.

∴原不等式的解集为.                         

(Ⅱ)由绝对值不等式性质得，，

∴，即.

令，则，，

，

原不等式得证. 

点睛：绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．下载本文