数学试卷（理）

一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，，则的真子集共有（   ）

A. 0个 1个 2个 3个

【答案】B

2.已知为虚数单位，则（   ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

3.设向量，，若，则（   ）

A.     B. -1    C.     D. 

【答案】C

4.在的二项展开式中，的系数等于（   ）

A. -180    B.     C.     D. 180

【答案】D

5.执行如图所示的程序框图，则输出的值等于（　　）

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

6.如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位mm），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：）为（   ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

7.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（   ）

A. 向左平行移动个单位

B. 向右平行移动个单位

C. 向左平行移动个单位

D. 向右平行移动个单位

【答案】D

8.已知，都为锐角，若，，则的值是（   ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

9.已知是抛物线：上的任意一点，以为圆心的圆与直线相切且经过点，设斜率为1的直线与抛物线交于，两点，则线段的中点的纵坐标为（   ）

A. 2    B. 4    C. 6    D. 8

【答案】A

10.在中，内角，，对的边分别为，，，平分交于点，，则的面积的最小值为（   ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

11.双曲线的焦点是，，若双曲线上存在点，使是有一个内角为的等腰三角形，则的离心率是（   ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

12.已知是自然对数的底数，不等于1的两正数，满足，若，则的最小值为（   ）

A. -1    B.     C.     D. 

【答案】D

二、填空题：本大题共4小题。

13.若，满足约束条件，则目标函数的最大值等于_____．

【答案】2

14.已知随机变量服从正态分布，则_____.

【答案】8

15.已知函数，若，则_____．

【答案】-4

16.已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，，,平面平面，则球的表面积为_____.

【答案】

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.数列中，，.

（1）求，的值；

（2）已知数列的通项公式是，，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围．

【答案】（1），（2），且是正整数

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件，分别令和，求得的值.（2）根据判断出数列的通项公式为，利用裂项求和法求得的值，利用累加法求得的值，根据列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】（1）∵，

∴

∴

（2）由数列的通项公式是，，中的一个，和得数列的通项公式是

由可得

∴

∴

∵，

∴

即

由，得，解得或

∵是正整数，

∴所求的取值范围为，且是正整数

【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查裂项求和法，考查累加法，属于中档题.

18.为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了、两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在的为优质品．现从该厂生产的、两种型号的节排器中，分别随机抽取500件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组；，，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图：

（1）设500件型产品性能质量评分的中位数为，直接写出所在的分组区间；

（2）请完成下面的列联表（单位：件）（把有关结果直接填入下面的表格中）； 

附：，其中.

【解析】

【分析】

（1）中位数左边和右边的频率各占一半，由此判断出中位数所在区间是.（2）根据题目所给数据填写好联表.（2）计算的值，由此判断出有的把握认为两种不同型号的节排器性能质量有差异.

【详解】解：（1）；

（2）列联表如下：

所以有的把握认为两种不同型号的节排器性能质量有差异.

【点睛】本小题主要考查由频率分布直方图判断中位数的位置，考查列联表及性检验，属于基础题.

19.在四棱锥中，四边形为菱形，且，，分别为棱，的中点．

（1）求证：平面；

（2）若平面，，求平面与平面所成二面角的正弦值．

【答案】（1）见证明（2）

【解析】

【分析】

（1）设的中点为，连接，，先证明，即证平面；（2）连接，，设，连接，连接. 分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.再利用向量方法求平面与平面所成二面角的正弦值为.

【详解】（1）证明：设的中点为，连接，.

∵，分别是，的中点，

∴，且.

由已知得，且.

∴，且.

∴四边形是平行四边形.

∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（2）连接，，设，连接，连接.

设菱形的边长为，由题设得，，，

平面，分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由题设得，，，，，

∴，.

设是平面的法向量，

则，化简得，

令，则，.∴.

同理可求得平面的一个法向量.

∴.

∴平面与平面所成二面角的正弦值为.

【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查空间角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理转化能力.

20.已知椭圆的中心在原点，左焦点、右焦点都在轴上，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为，在轴上方使成立的点只有一个．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的两直线，分别与椭圆交于点，和点，，且，比较与的大小．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据已知设椭圆的方程为，由已知分析得，解得，即得椭圆的方程为.（2）先证明直线的斜率为0或不存在时，.再证明若的斜率存在且不为0时，.

【详解】（1）根据已知设椭圆的方程为，.

在轴上方使成立的点只有一个，

∴在轴上方使成立的点是椭圆的短轴的端点.

当点是短轴的端点时，由已知得，

解得.

∴椭圆的方程为.

（2）.

若直线的斜率为0或不存在时，且或且.

由，

得.

若的斜率存在且不为0时，设：，

由得，

设，，则，，

于是 .

同理可得.

∴.

∴.

综上.

【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

21.已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求证：函数只有一个零点，且；

（3）用表示，的最小值，设，，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）见证明（3）

【解析】

【分析】

(1)利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程为.（2）先计算得，所以存在零点，且.再证明在上是减函数，即得证函数只有一个零点，且.(3)由题得，

在为增函数在，恒成立，即在区间上恒成立. 设，只需证明，再利导数求得的最小值，.

【详解】（1）∵，

∴切线的斜率，.

∴函数在点处的切线方程为.

（2）证明：∵，，

∴，，，

∴存在零点，且.

∵，

∴当时，；

当时，由得

.

∴在上是减函数.

∴若，，，则.

∴函数只有一个零点，且.

（3）解：，故，

∵函数只有一个零点，

∴，即.

∴.

∴在为增函数在，恒成立.

当时，即在区间上恒成立.

设，只需，

，在单调减，在单调增.

的最小值，.

当时，，由上述得，则在恒成立.

综上述，实数的取值范围是.

【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线的方程的求法，考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研究函数的恒成立问题和最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

已知常数是实数，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出的普通方程与的直角坐标方程；

（2）设曲线与相交于，两点，求的最小值．

【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为（2）8

【解析】

【分析】

（1）将的参数方程消去，得到的普通方程.对的极坐标方程两边乘以，由此求得的直角坐标方程.（2）联立的直角坐标方程，写出韦达定理，然后根据弦长公式求得的表达式，进而求得的最小值.

【详解】（1）的普通方程为

的直角坐标方程为

（2）设，则

由得，

∴，

∴

当时，

∴的最小值等于8

【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查弦长公式，属于中档题.

23.[选修4-5：不等式选讲]

已知函数.

（1）当时，解关于的不等式；

（2）当时，若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）当时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对分成和两类，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，求得的最小值，进而求得的取值范围.

【详解】（1）当时，

由得

由得

解：，得

∴当时，关于的不等式的解集为

（2）①当时，，

所以在上是减函数，在是增函数，所以，

由题设得，解得.②当时，同理求得.

综上所述，的取值范围为.

【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.下载本文