第65讲  参数方程

 [时间：35分钟  分值：80分]

1．参数方程(t为参数)的普通方程为________．

2．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为θ∈[0，π]，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2在极坐标系中的方程为ρ＝.若曲线C1与C2有两个不同的交点，则实数b的取值范围是________．

3．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sinθ，设直线l的参数方程是(t为参数)．设直线l与x轴的交点是M，而N为曲线C上一动点，则|MN|的最大值是________．

4．直线(t为参数)的倾斜角为________．

5．设直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的方程为y＝3x＋4，则l1与l2的距离为________．

6．[2011·济南模拟]  曲线的参数方程是(t是参数，t≠0)，它的普通方程是________．

7．设极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合．已知曲线C1的极坐标方程是：ρcos＝m，曲线C2参数方程为： (θ为参数)，若两曲线有公共点，则实数m的取值范围是________．

8．[2011·南京模拟]  直线(t为参数)与圆ρ＝2cosθ相切，则此直线的倾斜角α＝________.

9．已知a，b，c成等差数列，则直线ax－by＋c＝0被曲线(θ为参数)截得线段的长度的最大值为________．

10．已知曲线(参数θ∈[0,2π))，则该曲线上的点与定点A(－1，－1)的距离的最小值是________．

11．[2011·湖南卷]  在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．

12．(13分)已知曲线C1： (t为参数)，C2： (θ为参数)．

(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3： (t为参数)距离的最小值．

13．(12分)[2011·福建卷]  在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；

(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

课时作业(六十五)

【基础热身】

1．y＝2x－3(0≤x≤2)　[解析] 消去参数sint，得y＝2x－3.因为sint∈[－1,1]，所以x∈[0,2]，所以普通方程为y＝2x－3(0≤x≤2)．

2．1≤b<　[解析] 曲线C1为半圆x2＋y2＝1(0≤y≤1)，曲线C2的直角坐标方程为x－y＋b＝0.

结合图形知，当直线与半圆相切时，＝1，即b＝(b＝－舍去)，

当直线经过点(－1,0)时，直线与半圆有两个交点，此时b＝1.故当1≤b<时，曲线C1与C2有两个不同的交点．

3.＋1　[解析] 曲线C的直角坐标方程为：x2＋y2－2y＝0，直线的普通方程为y＝－(x－2)，令y＝0得x＝2，即M点的坐标为(2,0)．

又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0,1)，半径r＝1，则|MC|＝，|MN|≤|MC|＋r＝＋1.

4．130°　[解析] 将参数方程(t为参数)化为普通方程，得＝－，即y－2＝－(x＋5)，所以y＝－tan50°(x＋5)＋2，即y＝tan130°(x＋5)＋2，所以直线的倾斜角为130°.

【能力提升】

5.　[解析] 由题知直线l1的普通方程为3x－y－2＝0，故l1与l2的距离为＝.

6．y2＝x＋2(x≥2)　[解析] 因为y2＝2＝t2＋＋2＝x＋2，而x＝t2＋≥2＝2.

7．[ －1,3]　[解析] 将两曲线方程化为直角坐标方程，得C1：x－y－2m＝0，C2：(x－2)2＋y2＝4.

因为两曲线有公共点，所以≤2，即－1≤m≤3，

故m∈[－1,3]．

8.或　[解析] 直线与圆的普通方程分别是y＝tanα·(x＋1)，(x－1)2＋y2＝1，由直线与圆相切，得＝1，所以tan2α＝.因为α∈[0，π)，则α＝或.

9．4　[解析] 因为a，b，c成等差数列，所以a－2b＋c＝0，即直线ax－by＋c＝0恒过定点P(1,2)，曲线的普通方程是椭圆＋＝1，因此点P(1,2)是椭圆的一个焦点，所以直线ax－by＋c＝0被曲线(θ为参数)截得线段的长度的最大值为4.

10.－1　[解析] 将化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1，它表示圆，圆心为C(1,0)，半径为r＝1，所以|CA|＝＝，那么圆上的点与定点A(－1，－1)的距离的最小值是|CA|－r＝－1.

11．2　[解析] 曲线C1的参数方程为化为普通方程：＋＝1　①， 

曲线C2的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，化为普通方程：x－y＋1＝0　②.

联立①，②得7x2＋8x－8＝0，此时Δ＝82－4×7×(－8)>0.故C1与C2的交点个数为2.

12．[解答] (1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1.

C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆；

C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

(2)当t＝时，P(－4,4)，又Q(8cosθ，3sinθ)，故M.

C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝|4cosθ－3sinθ－13|＝其中cosα＝，sinα＝.

从而d的最小值为.

【难点突破】

13．[解答] (1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，

得P(0,4)．

因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．

(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cosα，sinα)，

从而点Q到直线l的距离为

d＝＝

＝cos＋2.

由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.下载本文