一、选择题(每题4分，共40分)

1．要使式子有意义，则a的取值范围是(　　)

A．a≠2      B．a≥0      C．a＞0且a≠2      D．a≥0且a≠2

2．已知2是关于x的方程x2－2ax＋4＝0的一个解，则a的值是(　　)

A．1      B．2      C．3      D．4

3．下列说法中不正确的是(　　)

A．三个内角度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形

B．三边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形

C．三个内角度数之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形

D．三边长之比为1∶2∶的三角形是直角三角形

4．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是(　　)

A．9      B．8      C．7      D．6

5．某班级采用小组学习制，在一次数学单元测试中，第一组成员的测试成绩(单位：分)分别为95，90，100，85，95，其中成绩为85分的同学有一道题目被老师误判，其实际成绩应为90分，那么该小组的实际成绩与之前的成绩相比，下列说法正确的是(　　)

A．数据的中位数不变      B．数据的平均数不变  

C．数据的众数不变      D．数据的方差不变

6．下列计算，正确的是(　　)

A. ＝－2      B. ＝2  

C．3－＝3          D. ＋＝

7．若关于x的一元二次方程x2－4x＋m＋2＝0有两个不相等的实数根，且m为正整数，则此方程的解为(　　)

A．x1＝－1，x2＝3      B．x1＝－1，x2＝－3  

C．x1＝1，x2＝3          D．x1＝1，x2＝－3

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝(　　)

A．2      B．3      C．4      D．2 

(第8题)　　　　　　 (第9题)

9．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰：半广以乘正从”，就是说：“三角形的面积＝底×高÷2”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即利用三角形的三条边长来求三角形的面积，用式子可表示为S＝ (其中a，b，c为三角形的三条边长，S为三角形的面积)．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝，AD＝，对角线BD＝，则平行四边形ABCD的面积为(　　)

A.      B.      C.      D.

10．如图，在正方形ABCD的对角线BD上截取BE＝BC，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过点B作BH⊥AE于点G，交AD于点H，则下列结论错误的是(　　)

A．AH＝DF      B．S四边形EFHG＝S△DEF＋S△AGH

C．∠AEF＝45°      D．△ABH≌△DCF

(第10题)　　　　 　　　 (第13题)

二、填空题(每题5分，共20分)

11．若关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0有一个根是2，则m＋n＝________．

12．关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，则m的最大整数值是________．

13．如图，平行四边形ABCD中，AB∶BC＝3∶2，∠DAB＝60°，点E在AB上且AE∶EB＝1∶2，点F是BC中点，过点D作DP⊥AF于点P，DQ⊥CE于点Q，则DP∶DQ＝______________．

14．边长为2的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，且BC＝2BF，则线段DE的长为______________．

三、(每题8分，共16分)

15．计算：2×－＋.

16．解方程：x2＋4x－3＝0.

四、(每题8分，共16分)

17．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：

(1)通过计算判断△ABC的形状；

(2)在图中确定一个格点D，连接AD，CD，使四边形ABCD为平行四边形，并求出▱ABCD的面积．

(第17题)

18．为进一步提升企业产品竞争力，某企业加大了科研经费的投入，2018年该企业投入科研经费5 000万元，2020年投入科研经费7 200万元，假设该企业这两年投入科研经费的年平均增长率相同．

(1)求这两年该企业投入科研经费的年平均增长率；

(2)若该企业科研经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2022年该企业投入科研经费多少万元．

五、(每题10分，共20分)

19．如图，把一个等腰直角三角形零件(△ABC，其中∠ACB＝90°)放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠D＝∠E＝90°，测得AD＝5 cm，BE＝7 cm，求该三角形零件的面积．

(第19题)

20．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为14米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．

(1)设花圃的一边AB长为x米，则另一边AD的长为________米(用含x的代数式表示)；

(2)若花圃的面积刚好为45平方米，求此时花圃的长与宽．

(第20题)

六、(12分)

21．某校要从王同学和李同学中挑选一人参加县知识竞赛，在五次选拔测试中他们的成绩(单位：分)如下表．

(1)完成下表．

(3)历届比赛表明，成绩达到80分以上(含80分)就很可能获奖，成绩达到90分以上(含90分)就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？请说明理由．

七、(12分)

22．如图，已知点D是△ABC的边BC的中点，直线AE∥BC，过点D作DE∥AB，分别交AE，AC于点E，F.

(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；

(2)如果四边形ADCE是矩形，△ABC应满足什么条件？并说明理由；

(3)如果四边形ADCE是菱形，直接写出△ABC应满足的条件：__________________．

(第22题)

八、(14分)

23．对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．

(2)性质探究：如图②，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O.猜想：AB2＋CD2与AD2＋BC2有什么关系？并证明你的猜想．

(3)解决问题：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE.已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．

(第23题)

答案

一、1.D　2.B　3.A　4.B　5.A

6．B　7.C

8．C　提示：在Rt△ABC中，CE为AB边上的中线，所以CE＝AB＝AE.因为CE＝5，AD＝2，所以DE＝3.因为CD为AB边上的高，所以在Rt△CDE中，由勾股定理可求得CD＝4，故选C.

9．B

10．B　提示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AD＝CD＝AB＝BC.

∵BE＝BC，∴AB＝BE.

又∵BG⊥AE，

∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°.

在Rt△ABH中，∠AHB＝90°－∠ABH＝67.5°.

又∵∠AGH＝90°，

∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°.

在△ADE和△CDE中，DE＝DE，∠ADE＝∠CDE＝45°，AD＝CD，

∴△ADE≌△CDE，

∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，

∴∠ABH＝∠DCF.

在△ABH和△DCF中，∠BAH＝∠CDF，AB＝DC，∠ABH＝∠DCF，

∴△ABH≌△DCF，

∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°.

∵∠CFD＝∠EAF＋∠AEF，

∴67.5°＝22.5°＋∠AEF，

∴∠AEF＝45°，故A，C，D正确；

连接HE.

∵BH是AE的垂直平分线，

∴AG＝EG，AH＝HE，

∴S△AGH＝S△HEG，

∠AHG＝∠EHG＝67.5°，

∴∠DHE＝45°.

∵∠ADE＝45°，

∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE，

∴EH＝ED，

∴△DEH是等腰直角三角形．

∵EF不垂直于DH，∴FH≠FD，

∴S△EFH≠S△EFD，

∴S四边形EFHG＝S△HEG＋S△EFH＝S△AGH＋S△EFH≠S△AGH＋S△DEF，

故B错误，故选B.

二、11.－2

12．4　提示：∵关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，

∴Δ＝4－8(m－5)≥0，且m－5≠0，

解得m≤5.5，且m≠5，

则m的最大整数值是4.

13．2∶　提示：如图，连接DE，DF，过点F作FN⊥AB交AB延长线于点N，过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，

根据三角形的面积和平行四边形的面积公式得S△DEC＝S△DFA＝S平行四边形ABCD，

即AF×DP＝CE×DQ，

∴AF×DP＝CE×DQ.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC.

∵∠DAB＝60°，

∴∠CBN＝∠DAB＝60°，

∴∠BFN＝∠MCB＝30°.

∵AB∶BC＝3∶2，

∴设AB＝3a，则BC＝2a.

∵F是BC的中点，AE∶EB＝1∶2，

∴BF＝a，BE＝2a，

∴BN＝a，易知BM＝a，

由勾股定理得FN＝a，CM＝a，

AF＝＝a，

CE＝＝2 a，

∴a·DP＝2 a·DQ，

∴DP∶DQ＝2∶.

(第13题)

14. 或　提示：如图①，过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M，连接CE.

∵正方形ABCD关于BD对称，

∴△ABE≌△CBE，

∴∠BAE＝∠BCE.

由∠ABC＝∠AEF＝90°易得∠BAE＝∠EFC，∴∠BCE＝∠EFC，

∴CE＝EF，∴N是CF的中点．

∵BC＝2BF，∴CN＝BC＝.

易得四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，

∴CN＝DM＝ME＝，

∴ED＝.

如图②所示，过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M，连接CE.

∵正方形ABCD关于BD对称，

∴△ABE≌△CBE，

∴∠BAE＝∠BCE.

由∠ABF＝∠AEF＝90°易得∠BAE＝∠EFC，

∴∠BCE＝∠EFC，

∴CE＝EF，

∴FN＝CN.

∵BC＝2BF，

∴FC＝3，

∴CN＝，∴BN＝.

易得△BNE为等腰直角三角形，

∴EN＝BN＝，∴BE＝.

又∵BD＝＝2，

∴DE＝.

综上所述，DE的长为或.

(第14题)

三、15.解：2×－＋＝2－2＋＝2－2＋＝.

16．解：原方程可化为x2＋4x＋4－7＝0，

即(x＋2)2＝7，

开平方，得x＋2＝±，

解得x1＝－2＋，x2＝－2－.

四、17.解：(1)由题意可得，

AB＝＝，

AC＝＝2，

BC＝＝5.

∵()2＋(2)2＝25＝52，

即AB2＋AC2＝BC2，

∴△ABC是直角三角形．

(2)如图所示．

(第17题)

▱ABCD的面积为AB·AC＝×2＝10.

18．解：(1)设这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为x，

根据题意得5 000(1＋x)2＝7 200，

解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．

答：这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为20%.

(2)7 200×(1＋20%)2＝10 368(万元)．

答：预算2022年该企业投入科研经费10 368万元．

五、19.解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，

∴AC＝BC，∠ACD＋∠BCE＝90°.

∵∠D＝90°，

∴∠ACD＋∠DAC＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE.

在△ADC和△CEB中，

∴△ADC≌△CEB(AAS)，

∴DC＝BE＝7 cm，

∴AC＝＝＝ (cm)，

∴BC＝AC＝cm，

∴该三角形零件的面积为××＝37(cm2)．

20．解：(1)(24－3x)

(2)由题意可得(24－3x)x＝45，

解得x1＝3，x2＝5，

当AB＝3米时，AD＝15米＞14米，不符合题意，舍去，

当AB＝5米时，AD＝9米，符合题意．

答：花圃的长为9米，宽为5米．

六、21.解：(1)84；80；80；104

(2)在这五次测试中，成绩比较稳定的是李同学．

王同学的优秀率为×100%＝40%，

李同学的优秀率为×100%＝80%.

(3)选李同学参加比赛比较合适，因为李同学的优秀率高，成绩比较稳定，获奖机会大．

七、22.(1)证明：∵AE∥BC，DE∥AB，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AE＝BD.

∵点D是△ABC的边BC的中点，

∴BD＝CD，∴AE＝CD.

又∵AE∥CD，

∴四边形ADCE是平行四边形．

(2)解：△ABC是等腰三角形，

且AB＝AC.理由如下：

∵四边形ADCE是矩形，∴AD⊥BC.

∵点D是△ABC的边BC的中点，

∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．

(3)△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°

八、23.解：(1)四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：如图①，连接AC，BD，

∵AB＝AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB＝CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，即AC⊥BD，

∴四边形ABCD是垂美四边形．

①

(第23题)

(2)AB2＋CD2＝AD2＋BC2，证明如下：

∵四边形ABCD是垂美四边形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得AD2＋BC2＝OA2＋OD2＋OB2＋OC2，

AB2＋CD2＝OA2＋OB2＋OC2＋OD2，

∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2.

(3)如图②，设CE交AB于点M，交BG于点N，连接BE，CG，

∵四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形，

∴∠CAG＝∠BAE＝90°，

AG＝AC＝4，AE＝AB＝5，

∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，

即∠GAB＝∠CAE.

在△GAB和△CAE中，

∴△GAB≌△CAE(SAS)，

∴∠ABG＝∠AEC，

易知∠AEC＋∠AME＝90°，

又∵∠AME＝∠BMN，

∴∠ABG＋∠BMN＝90°，

∴∠BNM＝90°，

即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形．

由(2)可得CG2＋BE2＝CB2＋GE2，

在Rt△ACB中，AC＝4，AB＝5，

∴BC2＝AB2－AC2＝9，

在Rt△ACG中，CG2＝AC2＋AG2＝32，

在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2＝50，

∴9＋GE2＝32＋50，

解得GE＝或GE＝－ (不合题意，舍去)，

∴GE的长为.下载本文