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2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能用公式解决简单问题 

教

学

步

骤

及

教

学

内

容

1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

例1．根据数列前4项，写出它的通项公式：

（1）1，3，5，7……；

（2），，，；

（3），，，。

解析：（1）=2；   （2）= ；  （3）= 。

练一练

（1）已知，则在数列的最大项为__             ；（2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为___；

（3）已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围；

2、等差数列的判断方法：

定义法或。

例2．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（    ）

A.等比数列，但不是等差数列                B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列                D.既非等比数列又非等差数列

答案：B；

解法一：an=

∴an=2n－1（n∈N）

又an+1－an=2为常数，≠常数

∴{an}是等差数列，但不是等比数列.

解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列。

练一练：设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列。

3、等差数列的通项：或。

4、等差数列的前和：，。

例3：等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是(　　)

A．S7　　　　　　　　　        B．S8

C．S13                          D．S15

解析：设a2＋a4＋a15＝p(常数)，

∴3a1＋18d＝p，解a7＝p.

∴S13＝＝13a7＝p.

答案：C

例4．等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n为(　　)

A．48       B．49       C．50      D．51

解析：∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4，则由a1＝得d＝，令an＝33＝＋(n－1)×，可解得n＝50.故选C.

答案：C

练一练

(1)等差数列中，，，则通项　　　　；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______   ；

例5：设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.

解析：S9＝9a5＝－9，

∴a5＝－1，S16＝8(a5＋a12)＝－72.

答案：－72

例6：已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为(　　)

A．11  B．19

C．20  D．21

解析：∵ <－1，且Sn有最大值，

∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，

∴S19＝＝19·a10>0，

S20＝＝10(a10＋a11)<0.

所以使得Sn>0的n的最大值为19，故选B.

答案：B

练一练

（1）数列 中，，，前n项和，则＝＿，＝     ；

（2）已知数列 的前n项和，求数列的前项和.

5、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）

6.等差数列的性质：

（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

（4）若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、 ，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. 

练一练：

等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为             。

（5）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。

练一练：项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数.

（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则.

练一练：设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________；

(7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

练一练：等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；

例7．（1）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（    ）

A.d＜0                                    B.a7＝0

C.S9＞S5                                D.S6与S7均为Sn的最大值

（2）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（    ）

A.130                B.170                C.210              D.260

解析：（1）答案：C；

由S50，

又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，

由S7>S8，得a8<0，而C选项S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，

由题设a7=0，a8<0，显然C选项是错误的。

（2）答案：C

解法一：由题意得方程组，

视m为已知数，解得，

。

解法二：设前m项的和为b1，第m+1到2m项之和为b2，第2m+1到3m项之和为b3，则b1，b2，b3也成等差数列。

于是b1=30，b2=100－30=70，公差d=70－30=40。

∴b3=b2+d=70+40=110

∴前3m项之和S3m=b1+b2+b3=210.

解法三：取m=1，则a1=S1=30，a2=S2－S1=70，从而d=a2－a1=40。

于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。

二、【考点梳理】

1.在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。

2.补充的一条性质

1）项数为奇数的等差数列有： ， 

2）项数为偶数的等差数列有：，      

3.等差数列的判定：{an}为等差数列

即：  ；

4.三个数成等差可设：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d；

  四个数成等差可设：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.

5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.2）点在没有常数项的二次函数上。其中，公差不为0.

6.等差数列前n项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解）

1）若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。

（ⅰ）若已知通项，则最大；

（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大；

2）若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值

（ⅰ）若已知通项，则最小；

（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小。

7.等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等

通项公式

2）推广：an=am+（n－m）d.

3）变式：a1=an－（n－1）d，d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.

求和公式

变式： ===a1+（n－1）·=an+（n－1）·（－）.

等差中项

2）推广：2=

重

要

性

质

特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…。

4

增减性

它

性

质

    Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常数项的二次函数；

审核人                  2015 年    月    日