命题人：李杰 2013.1.20
第I卷（选择题 共45分）
一、选择题（每题3分，共45分）
1. =
A.– 1 + 2i B.1 + 2i C.– 5 + 10i D.– 1 – 2i
2.抛物线的准线方程是
A． B． C． D．
3．向量，则与其共线且满足的向量是
A． B．（4，－2，4） C．（－4，2，－4） D．（2，－3，4）
4．三点不共线，面外的任一点，下列条件中能确定点与点一定共面的是
A. B.
C. D.
5．已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是
A. B. C． D．
6.函数在[0，3]上最大，最小值分别为
A. 5，-15 B. 5，4 C. -4，-15 D. 5，-16
7．抛物线y＝x2到直线 2x－y＝4距离最近的点的坐标是
A． B．(1，1) C． D．(2，4)
8．给出下列三个命题：
（1），；
（2），方程无实数根；
（3）所有能被3整除的整数都是奇数．
其中正确的命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
9．若，则“”是“方程表示双曲线”的
A.充分不必要条件. B.必要不充分条件.
C.充要条件. D.既不充分也不必要条件.
10．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11. 对 ，函数不存在极值的充要条件是
A. B. 或7
C. 或21 D. 或
12．如图，正方体的棱长为2，点是平面上的动点，点在棱上，且，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为4，则动点的轨迹是
A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆
第Ⅱ卷（非选择题，共55分）
二、填空题（每题3分，共15分）
16.已知ABCD是复平面内的平行四边形,且A,B,C三点对应的复数分别是,则点D对应的复数是_____________.
17．平行六面体从一个顶点出发的三条棱长度都为1,且每两条成的角都为60°,则从这个顶点出发的平行六面体的对角线长为_________.
18．焦点在轴上的双曲线的离心率为，则
19. 函数的导数是_______.
20．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且在直线上的射影分别是，则的大小为
三、解答题(本大题共5小题，每小题8分，共40分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
21. (8分)已知数列中,,
(1)求
(2)试推测出数列的通项公式,并给出证明.
22. (8分)求直线与抛物线所围成图形的面积。
23.(8分)如图，在正方体中，为的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值．
24.(8分)已知函数。
（1）求函数的图像在处的切线方程；
（2）求的最大值;
(3) 设实数，求函数在上的最小值
25、(8分) 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过点且与椭圆相交于两点，当面积取得最大值时，求直线的方程．
参
一．ABCDC ABBA DAB
二．
三．21.（1）， 2分
（2）， 5分。 证明略 8分
22.解，方程组 得：直线与抛物线的交点的横坐标为和， 2分tesoon
由题设得
4分 8分
23.（1）； 4分
（2）平面，所以为平面的法向量， ，
设平面法向量为，又，，
即，取，
所以…………8分
, 又
函数的在处的切线方程为：
，
即 2分
（2）令得
当时，，在上为增函数
当时，，在上为减函数
5分
（3），由（2）知：
在上单调递增，在上单调递减。
在上的最小值
故当时，；
当时， 8分
25．解设椭圆方程为
（1）由已知得∴所求椭圆方程为 2分
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为
由，消去y得关于x的方程： 4分
由直线与椭圆相交于A、B两点，，解得
又由韦达定理得，
原点到直线的距离
. 6分
令，则
当且仅当即时，，此时
所以，所求直线方程为 8分下载本文
