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2013中考数学最后冲刺--专题强化训练

专题一：代数综合运用问题（1）

1. （2012黑龙）总理2011年11月16日主持召开常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区。现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：

         运往地

（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的

总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并

求出最少总运费。

【答案】解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（18－x）辆，根据题意得

16x＋10（18－x）=228 ，解得x=8，

∴18－x=18－8=10。

答：大货车用8辆，小货车用10辆。

（2）w=720a＋800（8－a）+500（9－a）+650[10－（9－a）]=70a＋11550，

∴w=70a＋11550（0≤a≤8且为整数）。

（3）由16a＋10（9－a）≥120，解得a≥5。

又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8且为整数。

∵w=70a+11550，k=70＞0，w随a的增大而增大，

∴当a=5时，w最小，最小值为W=70×5+11550=11900。

答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元。

【考点】一元一次方程和一次函数的应用

【分析】（1）设大货车用x辆，则小货车用18－x辆，根据运输228吨物资，列方程求解。

 （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8－a）辆，前往甲地的小货车为（9－a）辆，前往乙地的小货车为[10－（9－a）]辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式。

（3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案。

2. （2012黑龙江绥化10分）在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．

（1）改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？

（2）该市某县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所？

【答案】解：（1）设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍所需资金y万元，

则，解得。

答：改造一所A类学校和一所B类学校的校舍分别需资金90万元，130万元。（2）设A类学校应该有a所，则B类学校有（8－a）所．

则，解得。∴1≤a≤3，即a=1，2，3。

∴共有3种改造方案：方案一：A类学校有1所，B类学校有7所；方案二：A类学校有2所，B类学校有6所；方案三：A类学校有3所，B类学校有5所。

【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解。本题等量关系为：

 改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元；

改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元。

（2）不等式（组）的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式（组）求解。本题不等量关系为：

地方财政投资A类学校的总钱数+地方财政投资B类学校的总钱数≥210；

国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数≤770。

3. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价l80元，售价320元；乙种服装每件进价l50元，售价280元．

(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件?

(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润=售价一进价)不少于26700元， 且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案?

(3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(0【答案】解：（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200－x）件，

根据题意得：180x＋150（200－x）=32400，

解得：x=80，200－x=200－80=120。

∴购进甲、乙两种服装80件、120件。

（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200－y）件，根据题意得：

，解得：70≤y≤80。

∵y是正整数，∴共有11种方案。

（3）设总利润为W元，则W=（140－a）y+130（200－y），即w=（10－a）y+26000。

①当0＜a＜10时，10－a＞0，W随y增大而增大，

∴当y=80时，W有最大值，此时购进甲种服装80件，乙种服装120件。

②当a=10时，（2）中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以。

③当10＜a＜20时，10－a＜0，W随y增大而减小，

∴当y=70时，W有最大值，此时购进甲种服装70件，乙种服装130件。

【考点】一元一次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用。

【分析】（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200－x）件，根据两种服装共用去32400元，即可列出方程，从而求解。

（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200－y）件，根据总利润（利润=售价-进价）不少于26700元，且不超过26800元，即可得到一个关于y的不等式组，解不等式组即可求得y的范围，再根据y是正整数整数即可求解。

（3）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案。

4. （2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价

定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种

新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购

买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元．

(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?

(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并

写出自变量x 的取值范围．

(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)

【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。

答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。

（2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x；

当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x；当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。

∴。

（3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，

此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为2750元。

【考点】二次函数的应用。

【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。

（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式。（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。

5. （2012湖北孝感12分）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．

(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根．

【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得

△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，

∴原方程总有两个不相等的实数根。

（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1•x2=m+1。∵|x1－x2|＝2，

 ∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8。∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0。

解得：m1=－3，m2=1。当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1= ，x2=－。

 当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+ ，x2=－2－。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的根的判别式△=b2－4ac的符号来判定该方程的根的情况。（2）根据根与系数的关系求得x1＋x2和x1•x2，由已知条件|x1－x2|＝2平方后可以得到关于x1＋x2和x1•x2的等式，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值，最后将m值代入原方程并解方程。

6. （2012湖北鄂州10分）某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备

每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣至少60件。已知每件服装的收入和

所需工时如下表：

（1）请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z。

（2）求y与x之间的函数关系式。

（3）问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？

【答案】解：（1）从件数方面：z=360－x－y， 从工时数方面：由x+y+z=120整理得：z=480－2x－y。

（2）由（1）得360－x－y=480－2x－y，整理得：y=360－3x。

（3）由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720

由题意得，解得30≤x≤120。由一次函数的性质可知，当x=30的时候，

s最大，即当每周生产西服30件，休闲服270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。

【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）根据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z。

（2）由（1）整理得：y=360－3x。（3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，

得到关于x的一次函数。由题意得，解得30≤x≤120，从而根据一次函数的性质作答。

7. （2012黑龙江牡丹江10分）某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，并且篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题：

（1）求出足球和篮球的单价；

（2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，若已知足球的进价为50元，篮球的进价为65元，则在第二次购买方案中，哪种方案商家获利最多？

【答案】解：（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为x＋20元，根据题意，得8x＋14（x＋20）=1600，解得x=60。 x＋20=80。答：足球的单价为60元，则篮球的单价为80元。

（2）设购进足球y个，则购进篮球50－y个。 根据题意，得，解得。

 ∵y为整数，∴y=38，39，40。当y=38，50－y=12；当y=39，50－y=11；当y=40，50－y=10。

 ∴有三种方案： 方案一：购进足球38个，则购进篮球12个；

   方案二：购进足球39个，则购进篮球11个；方案一：购进足球40个，则购进篮球10个。

  （3）商家售的利润：38（60－50）＋12（80－65）=560（元）；

   商家售方案二的利润：39（60－50）＋11（80－65）=555（元）；

   商家售方案三的利润：40（60－50）＋10（80－65）=550（元）。

           ∴ 第二次购买方案中，方案一商家获利最多。

【考点】一元一次方程和一元一次不等式组的应用，